胡瑋軍

（邵陽學(xué)院 機(jī)械與能源工程系，湖南 邵陽　422000）

圍繞核心知識(shí)點(diǎn)對(duì)梳理材料力學(xué)課程結(jié)構(gòu)主線條的研究

胡瑋軍

（邵陽學(xué)院 機(jī)械與能源工程系，湖南 邵陽422000）

通過對(duì)材料力學(xué)課程中核心知識(shí)點(diǎn)“平面假設(shè)”的深入分析，闡述了課程結(jié)構(gòu)中的主線條。在推導(dǎo)基本變形公式時(shí)，遵循主線條，統(tǒng)一方法，從運(yùn)動(dòng)規(guī)律去揭示變形規(guī)律，從運(yùn)動(dòng)形式去判斷內(nèi)力性質(zhì)，將動(dòng)力學(xué)原理與變形原理緊密結(jié)合在一起，這種教學(xué)方法使學(xué)生比較容易理解變形協(xié)調(diào)關(guān)系，對(duì)基本變形中的應(yīng)力分布性質(zhì)會(huì)有更深入的理解。

材料力學(xué)；平面假設(shè)；應(yīng)力；變形；位移

材料力學(xué)課程體系復(fù)雜，理論深入、公式眾多，歷來是學(xué)生感到比較難學(xué)的一門課程。筆者在長期的教學(xué)實(shí)踐中逐漸認(rèn)識(shí)到提煉出課程的核心理論，并由此核心部分通過歸納、演繹，建立課程的結(jié)構(gòu)框架，梳理出課程主線條，提高學(xué)生對(duì)課程的整體認(rèn)知和把握，這種教學(xué)方法對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量是非常有幫助的。

材料力學(xué)中的許多公式都是基于平面假設(shè)而推出來的，對(duì)于細(xì)長桿而言，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的公式，其精確度可以滿足工程一般要求，由于平面假設(shè)簡化了橫截面各點(diǎn)之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，使得推導(dǎo)橫截面應(yīng)力公式大為簡化，故在材料力學(xué)現(xiàn)有課程體系中，平面假設(shè)是一個(gè)貫穿整個(gè)課程的知識(shí)點(diǎn)，是課程的核心理論。筆者在教學(xué)實(shí)踐中，突出強(qiáng)調(diào)平面假設(shè)在課程結(jié)構(gòu)中的核心作用，將各種基本變形進(jìn)行類比，在推導(dǎo)基本變形公式時(shí)，統(tǒng)一方法，梳理出課程的主線條——從運(yùn)動(dòng)規(guī)律去揭示變形規(guī)律，從運(yùn)動(dòng)形式去判斷內(nèi)力性質(zhì)，將動(dòng)力學(xué)原理與變形原理緊密結(jié)合在一起，這種教學(xué)方法使學(xué)生比較容易理解變形協(xié)調(diào)關(guān)系，對(duì)基本變形中的應(yīng)力分布性質(zhì)有更深入的理解。

1　平面假設(shè)的內(nèi)涵

平面假設(shè)是指桿在受力產(chǎn)生變形時(shí)，桿的橫截面上各點(diǎn)始終保持為一個(gè)平面。桿在承受載荷時(shí)，位移通常是比較復(fù)雜的情形，而平面假設(shè)理論的提出，可以大大簡化各點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，成為材料力學(xué)各應(yīng)力公式推導(dǎo)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。筆者在課堂教學(xué)對(duì)基本變形的公式推導(dǎo)中，始終圍繞從橫截面的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)而推理出作用在橫截面上的力的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從力與運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)力學(xué)規(guī)律去理解位移及變形，再利用平衡方程推導(dǎo)出應(yīng)力公式。

2　變形與位移

變形和位移的概念容易混淆。變形是指彈性體在外力作用下產(chǎn)生尺寸和形狀的變化。位移是指物體（質(zhì)點(diǎn)）空間位置的變化。物體中各質(zhì)點(diǎn)在外力等因素作用下必將產(chǎn)生相應(yīng)位移（在變形體力學(xué)中通常不考慮剛體的位移）。由于約束的存在，各質(zhì)點(diǎn)的位移必將受到某種限制，即位移要滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系，變形和位移往往是不同的，這種協(xié)調(diào)關(guān)系通常是非常復(fù)雜的。

3　彈性體變形的基本規(guī)律

首先定義作用在桿件上的力為廣義力，它可以是一個(gè)力、一個(gè)力偶、一對(duì)力或一對(duì)力偶，其產(chǎn)生的位移定義為廣義位移，可以是一個(gè)線位移、一個(gè)角位移、相對(duì)線位移或相對(duì)角位移。

對(duì)于材料力學(xué)中研究的線彈性體而言，力和變形之間的關(guān)系符合胡克定律，即：

其中F為廣義力，δ為廣義位移，C為彈性體的剛度。在不同的變形形式中，廣義力、廣義位移以及彈性體的剛度的具體定義有所不同而已。

4　橫截面在桿件基本變形中的運(yùn)動(dòng)分析

根據(jù)平面假設(shè)，桿件的變形是由于橫截面產(chǎn)生了相對(duì)位移，并且在位移過程中各點(diǎn)始終位于同一個(gè)平面。下面具體分析幾種基本變形中的情況：

（1）軸向拉伸（壓縮）變形中，受一對(duì)拉力（或壓力）作用，橫截面產(chǎn)生相對(duì)平移，其上各點(diǎn)產(chǎn)生的位移是相同的，因而各點(diǎn)所處新的位置仍能保證在一個(gè)平面上。由理論力學(xué)動(dòng)量守恒原理可以確定，由于橫截面是平移運(yùn)動(dòng)，橫截面內(nèi)力向形心簡化只會(huì)得到一個(gè)主矢（力），而沒有主矩（力偶）存在，則式（1）中的廣義力即為軸力。因而在橫截面上也只可能存在一種應(yīng)力（正應(yīng)力），且在橫截面上是均勻分布的，由平衡方程可以簡單表示為：F=σA。

則拉壓變形應(yīng)力公式為

軸向拉壓變形中正應(yīng)力與正應(yīng)變的關(guān)系為σ=Eε，由式（2）即可推出式（1）中廣義位移即為應(yīng)變（相對(duì)變形）ε，而剛度定義則為。

（2）扭轉(zhuǎn)變形中，桿件受到一對(duì)作用線與桿軸線平行的相對(duì)力偶作用，從實(shí)驗(yàn)觀察中可以確定橫截面產(chǎn)生了繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。由動(dòng)力學(xué)動(dòng)量矩守恒原理知道物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)是由于有力偶（且只能是力偶）的作用，橫截面上內(nèi)力向形心簡化就只得到一個(gè)軸線方向的力偶（扭矩），即知式（1）中的廣義力為扭矩。由于桿的軸向長度沒有發(fā)生變化，故在橫截面上不可能存在正應(yīng)力，只有切應(yīng)力存在。同一橫截面上各點(diǎn)轉(zhuǎn)角大小和轉(zhuǎn)向是相同的，因而切應(yīng)力的分布應(yīng)該與點(diǎn)到圓心的半徑成正比，并且對(duì)形心產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)是同向的。切應(yīng)力在橫截面上對(duì)圓心產(chǎn)生的力矩合成結(jié)果就是作用在橫截面上的扭矩，即平衡方程為

圖1　扭轉(zhuǎn)變形

從圖1微元扭轉(zhuǎn)變形中可以看出，橫截面扭轉(zhuǎn)角與切應(yīng)變的關(guān)系為，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為т=Gγ，將上述關(guān)系代入式（4），如果令，扭轉(zhuǎn)變形切應(yīng)力公

式為：

比較式（1）和式（4），則可得廣義位移，扭轉(zhuǎn)剛度為。

（3）平面純彎曲變形中，梁受到一對(duì)作用線與梁軸線垂直的相對(duì)力偶作用，導(dǎo)致橫截面產(chǎn)生相對(duì)于某條與軸線垂直的直線（中性軸）的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，橫截面上分布內(nèi)力（應(yīng)力）只能合成簡化為一個(gè)中性軸方向的力偶，即知式（1）中的廣義力為彎矩。由于要使橫截面上各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)始終保持在同一個(gè)平面上，各點(diǎn)繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角是相等的，則應(yīng)力方向只能垂直橫截面，且在中性軸兩側(cè)是反向的，即橫截面上只能存在正應(yīng)力且位于中性軸兩側(cè)的應(yīng)力方向是相反的，因而各點(diǎn)的位移與到中性軸的距離成正比。橫截面上正應(yīng)力合成為繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的彎矩，彎曲變形的平衡方程為：

圖2　彎曲變形

由圖2微元的變形圖中可以得出：d=（Δx）=ydθ，線段的應(yīng)變?yōu)?，由?yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可得：σ=Eε=Ey，即可推出。將上述等式代入式

綜上所述，從平面假設(shè)出發(fā)，桿在載荷作用下產(chǎn)生的變形，是由于橫截面的運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的。軸向拉伸（壓縮）時(shí)橫截面產(chǎn)生平行移動(dòng)，各點(diǎn)產(chǎn)生相同線位移，故只有正應(yīng)力存在。扭轉(zhuǎn)和彎曲變形時(shí)，橫截面發(fā)生的是轉(zhuǎn)動(dòng)，但是轉(zhuǎn)動(dòng)軸有所不同，扭轉(zhuǎn)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸是桿的軸線，各點(diǎn)是在原平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線方向沒有線位移，只有在原平面上存在角位移，故只有切應(yīng)力存在；彎曲時(shí)橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)軸是中性軸，各點(diǎn)變形后所在的平面偏離了原平面，與原橫截面平面產(chǎn)生了一個(gè)轉(zhuǎn)角，因而各點(diǎn)在軸向方向上有線位移，而原平面形狀沒有變化，故只產(chǎn)生正應(yīng)力而沒切應(yīng)力。

利用平面假設(shè)去分析推導(dǎo)各種基本變形的應(yīng)力分布和計(jì)算公式的思路是相同的，即首先確定橫截面的運(yùn)動(dòng)；再由此推斷橫截面上的內(nèi)力性質(zhì)，橫截面平移則內(nèi)力合成為一個(gè)力，若橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)則內(nèi)力合成為一個(gè)力偶；最后根據(jù)橫截面運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，分析各點(diǎn)位移的協(xié)調(diào)關(guān)系，利用胡克定律將物理關(guān)系代入，可推出各種變形的應(yīng)力計(jì)算公式，這是材料力學(xué)課程中最基本的方法，也是課程的主線條。這種方法不光在推導(dǎo)基本變形公式中采用，而且可以運(yùn)用到實(shí)際問題中，對(duì)工科學(xué)生來說比較容易理解，也容易構(gòu)建課程體系的整體結(jié)構(gòu)，學(xué)生普遍反映采用這種方法進(jìn)行教學(xué)效果良好。

［1］劉鴻文.材料力學(xué)玉［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］胡瑋軍，周東一.試論理論力學(xué)中的兩條主線［J］.中國電力教育，2013，（263）.

Around Core Knowledge Point to Sort out Main Structure of the Course of Mechanics of Materials

HU Wei-jun
（Department of Mechanical and Energy Engineering，Shaoyang College，Shaoyang，Hunan 422000，China）

Through ana1ysis of the core know1edge point of hypothesis of p1ane mechanism'in mechanics of materia1s course，this paper exp1ains the main structure of the course.When deducting the basic deformation formu1a，fo11owing the main structure，exposing deformation ru1e from the motion ru1e，judging interna1 force property from motion form and combining princip1e of dynamics with deformation princip1e makes it easier for the students to understand the stress distribution nature.

mechanics of materia1s；hypothesis of p1ane mechanism；stress；deformation；disp1acement

G642

A

2095-980X（2016）03-0100-02

2016-01-22

本文系2014年邵陽學(xué)院專業(yè)綜合改革試點(diǎn)教學(xué)改革研究專項(xiàng)（2014ZJG06）的研究成果。

胡瑋軍（1967-），女，湖南邵陽人，副教授，主要研究方向：工程力學(xué)。