☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

出活題考能力 簡約不簡單
——2016年上海數(shù)學試題評析

☉上海市七寶中學 文衛(wèi)星

2016年上海高考數(shù)學試題比較平穩(wěn).正所謂“出活題考能力，簡約不簡單”.理科均分約101分，這樣的分數(shù)符合正態(tài)分布，能有效區(qū)分各類考生的實際能力.試題沒有偏題、怪題，學生考試過程中心態(tài)較好，有利于考生正常發(fā)揮，師生反映良好.

一、重視思維考查，降低技巧要求

上海今年數(shù)學試題計算量較往年明顯減小，雖然考生感覺題目相對容易，但思維容量沒有減小，不僅表現(xiàn)在解答題中，客觀題也有所體現(xiàn).

例1（2016年上海卷理13）設a，b∈R，c∈［0，2π），若對任意實數(shù)x都有2sin（ 3x-）=asin（bx+c），則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組（a，b，c）的組數(shù)為____.

分析：試題形式新穎，容易得到a=2，要求b，c，就要得到關于b，c的等式或方程，于是問題轉(zhuǎn)化為解最簡三角方程，這樣沒有增加運算量，但增加了思維容量.

例2 （2016年上海卷理14）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，O為正八邊形A1A2…A8的中心，A（11，0）.任取不同的兩點Ai，Aj，點P滿足+=0，則點P落在第一象限的概率是________.

圖1

5 組：A4，A7；A5，A7；A6，A7；A5，A6；A5，A8，故點P落在第一象限的概率是.

點評：本題考查概率的定義及等價轉(zhuǎn)化思想，答案幾乎是可以口算，不像往年的第14題，即使會算，計算量往往較大.

例3（2016年上海卷理18）設f（x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）中至少有一個增函數(shù)；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（）.

A.①和②均為真命題

B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題

D.①為假命題，②為真命題

解析：這個題目的文字表述為：三個定義在R上的函數(shù)，如果每兩個函數(shù)之和是增函數(shù)，則每個函數(shù)都是增函數(shù)；如果每兩個函數(shù)之和是周期為T的函數(shù)，則每個函數(shù)都是周期為T的函數(shù).

文字表述便于理解題意，容易知道①是錯的，反例就是每個函數(shù)都是不減的函數(shù)，但水平部分不在同一區(qū)間內(nèi)（如圖2），這是構造性證明；如果用分段函數(shù)解析式表示，則要用較長時間，方法不同能力各異.

圖2

②是對的，證明看似容易想到但有也點難：

f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T）；

f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T）；

g（x）+h（x）=g（x+T）+h（x+T）.

由以上三式可得g（x）=g（x+T），所以g（x）是以T為周期的函數(shù)，同理可得f（x）、h（x）也是以T為周期的函數(shù).故選D.

點評：本題只是考查函數(shù)單調(diào)性和周期性的定義，沒有考查函數(shù)單調(diào)性、周期性的相關運算技巧，只有對相關概念透徹理解做起來才會得心應手，沒有套路可尋，只有能力展示.

上海數(shù)學卷的另一個特點是應用題特別長，今年也不例外，第20題是一道應用題，題目有9行，還有一個圖，咋一看挺嚇人，實際耐心讀完發(fā)現(xiàn)并不難，第（1）問考查拋物線的定義（當然有范圍限制），第（2）問所求面積可轉(zhuǎn)化為兩個梯形面積之和，這只要把點M的縱坐標代入拋物線方程求出橫坐標即可，所涉知識點并不多.

這樣的試題首先是對心理素質(zhì)的考查，如果心理素質(zhì)不好，恐怕連題目都讀不完，題目中還給一個未加說明的“面積的‘經(jīng)驗值’”需要理解，解題首先要讀懂題目，還要分析題目中的隱含條件（本題中函數(shù)的定義域），只有這樣才能有效解題，今年上海試卷中有些題目設計較好，對閱讀理解有一定要求.

例4（2016年上海卷理21（2））雙曲線x2-=1（b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，直線l過F2且與雙曲線交于A、B兩點.

解析：可設l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程整理得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0.

再設A（x1，y1），B（x2，y2），然后把各個向量的坐標算出來直接代入已知的向量等式中，再整理成k的方程，計算量較大.

1，其中k=，則計算量更小一些.

點評：看似一個不難的解析幾何題，使用方法不同，繁簡程度不同，思維水平高低由此可見，命題者可謂匠心獨運，值得注意的是，注重思維能力考查的做法還有多處.

二、數(shù)列有點“虛”，重在考素養(yǎng)

不少老師認為今年對數(shù)列的考查“不到位”，幾個試題只是涉及最簡單的通項公式和求和公式，估計高中學生畢業(yè)若干年后這些公式仍能記得，或者說今年在考查核心素養(yǎng)方面是一個亮點.筆者以為這不影響思維能力的考查，與考查套模式的“能力題”相比，今年的題目更新、更活、更能選拔出思維敏捷的考生，命題難度也更大.當然如果對數(shù)列知識考查能再更深入一些則更完美.

例5（2016年上海卷文14題）無窮數(shù)列｛an｝由k個不同的數(shù)組成，Sn為｛an｝的前n項和.若對任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，則k的最大值為____.

解析：因為對任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，所以a1為2或3. 若a1=2，則后依次是1，-1，0（或依次是1，0，-1，即-1和0可以互換），…，共有4個數(shù)，此時k=4；若a1=3，則后面依次是-1，0，1（或-1，1，0，即1和0可以互換），此時k=4、1 或-1，換成其他實數(shù)則不行，所以k的最大值為4.

點評：本題沒有考查具體的等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，表面上看只是考查數(shù)列前n項和的定義，實際上這是一個構造性問題，解答需要分類，根據(jù)第一項判斷后一項取值情況，考生還因容易忘掉0而致誤，考查思維的縝密性.解題過程中需要枚舉或構造具體例子，平時看似不以為然，但在高考的特定環(huán)境中要迅速做對還是很不容易的.本題重在考查邏輯推理，不超綱、不囿本，是一道鮮活的考查能力的好題.

例6（2016年上海卷理11）已知無窮等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項和為Sn，且=S.下列條件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（）.

A.a1＞0，0.6＜q＜0.7 B.a1＜0，-0.7＜q＜-0.6

C.a1＞0，0.7＜q＜0.8 D.a1＜0，-0.8＜q＜-0.7

點評：本題是今年數(shù)列中數(shù)學味“最濃”的一題，涉及等比數(shù)列求和公式、|q|＜1? limqn=0，通過不等式恒成

n→∞立判斷a1＜0需要反證法思想，判斷q的具體范圍需要通過n=1，2等都細致地考查邏輯推理與思維的嚴謹性.

例7（2016年上海卷理23）若無窮數(shù)列｛an｝滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，則稱｛an｝具有性質(zhì)P.

（1）略；

（2）若無窮數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，無窮數(shù)列｛cn｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn，判斷｛an｝是否具有性質(zhì)P，并說明理由；

（3）設｛bn｝是無窮數(shù)列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）.求證：“對任意a1，｛an｝都具有性質(zhì)P”的充要條件為“｛bn｝是常數(shù)列”.

分析：第（1）題略.解答第（2）題要發(fā)現(xiàn)a1=a5，這個臺階設的不高，但還是有考生不能發(fā)現(xiàn)或發(fā)現(xiàn)晚了一點，敏銳地發(fā)現(xiàn)可以利用的條件也是一種能力（獲取和利用信息的能力）.接下來要通過反例否定｛an｝不是P數(shù)列，這些都是在“肯定需要證明，否定只需一個反例”的辯證思想指導下實現(xiàn)的.

第（3）題首先運用分析法得到要證｛bn｝是常數(shù)列，只要證明｛an｝是常數(shù)列，只要證明存在a1，使a1=b1+sina1總成立.對此，一種想法是通過構造設函數(shù)f（x）=x-b1和g（x）=sinx，由于f（x）與g（x）的圖像總有交點，說明存在a1.另一種想法是構造一個函數(shù)f（x）=x-b1-sinx，證明f（x）有零點，取a1為此零點.這時只要取m∈N*，使mπ＞|b1|，從而f（mπ）=mπ-b1＞0，f（-mπ）=-mπ-b1＜0，所以f（x）一定存在零點.

至于結論的書寫，可以用分析法，也可以用綜合法，還可以反證法（命題組提供反證法）.作為最后一道壓軸題，本題計算量不大，但思維容量不小，突出對理性思維的考查，導向非常好.

文科22題第（3）問也是運算量不大、思維容量不小的題目，雖然載體不同，但命題思想和手段一脈相承.今年試題還有一個特點就是最后三個起到區(qū)分作用（壓軸題）的3個大題的部分小題，或?qū)λ季S要求較高，或有多種不同的解法，且不同解法之間難易程度不同.這既可以使各種類型的考生得到相應的分數(shù)，又能有效地區(qū)分各類考生的能力，提高試卷的區(qū)分度.

三、一題考遍函數(shù)，思想方法網(wǎng)羅

理科第22題、文科第23題都是以對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)性質(zhì).

例8 （2016年上海卷理22）a∈R，函數(shù)f（x）= log+a）.

2

（1）略；

（2）若關于x的方程f（x）-log2［（a-4）x+2a-5］=0的解集中恰好有一個元素，求a的取值范圍；（3）設a＞0，若對任意t∈，1］，函數(shù)（fx）在區(qū)間［t，

t+1］上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍.

分析：第（2）題關鍵是對題設“方程的解集恰好有一個元素”的理解，一般考生可以得到a=3或a=4滿足條件. 當a≠3且a≠4時，去掉對數(shù)符號得方程（a-4）x2+（a-5）x+1=0，此方程有兩解，即=-1和=，這時就要檢驗真數(shù)是否大于0，即+a＞0且+a≤0或+a≤0且+a＞ 0，解得a的范圍.

其基本道理是：若loga（fx）=logag（x）（a＞0，a≠1），則（fx）=g（x）＞0.

這些都是從方程的角度看，既有思想又有方法，也可以從形的角度，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像有一個交點，或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個區(qū)間有一個零點，但分類討論及運算比代數(shù)法要繁.

解答第（3）題首先要證明f（x）是單調(diào)減函數(shù).在得到f（t）-f（t+1）≤1后，可以采用分離變量、可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、可以用數(shù)形結合等方法，每種方法涉及的具體知識點也不同.試題入口寬，學生感到不難，而一旦動手解題，就要面臨具體解法的選擇，有利于區(qū)分考生的能力（當然，有些考生可能只想到一種方法，那根據(jù)其所選方法也能看出能力高低，甚至有考生想不到一種方法），能用簡單方法做對說明能力強，對問題的本質(zhì)理解深刻，對方法掌握全面.

點評：本題涉及函數(shù)單調(diào)性、解方程、解不等式、最值等知識點，主要數(shù)學思想有函數(shù)與方程、數(shù)形結合，主要方法有轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等，一題幾乎考遍函數(shù)中重要的思想和方法，是一道四兩撥千斤的題目.

四、幾點感受

（1）希望今年的“出活題考能力，簡約不簡單，平凡不平庸”的命題風格能保持下去，發(fā)揮“高考指揮棒”對教學的指導作用.這不僅是對命題者理念的考驗，更是對其能力的考驗.高考的目的是選拔、區(qū)分各類考生的真實水平，而有些難題大家都不會，甚至命題組的答案不少老師也看不懂，那樣的試題不可能有好的區(qū)分度.

（2）誠如有些老師所言，今年試題對數(shù)列和解析幾何的考查還可以“更到位”一點，立體幾何對線面關系，尤其是空間想象能力的考查力度也可再大一些，這更能甄別資優(yōu)考生.

（3）個別試題敘述是否可以再斟酌，避免對題意產(chǎn)生歧義.比如理科第23題的“設｛bn｝是無窮數(shù)列”，命題者的本意是“｛bn｝是無窮數(shù)列”在前，是事先給定的.而有人（特別是考生）理解是｛bn｝只要是無窮數(shù)列就可以，那么對任意a1，構造則可得an=｛a1， n為奇數(shù)，即對任意的p∈N*及q=p+2滿足a=a，且sina，n為偶數(shù).pq1ap+1=aq+1，即“對任意a1，｛an｝都具有性質(zhì)P”，但當a1≠0時，｛bn｝并不是常數(shù)列，因此必要性不成立.其實，只要在｛bn｝前加上“給定”兩字就不會產(chǎn)生歧義.瑕不掩瑜，本題還是很好的試題.當然，后一種理解是否正確，歡迎同行不吝指正.

總之，2016年上海數(shù)學試卷是一份難得的好試卷，特別是在以后文理合卷的情況下，能給普通中學和文科的學生以極大的學習數(shù)學的自信心.如果高考數(shù)學能考出好成績，當然也有利于學生樹立自尊心.