蔚 婧1，文 珺2，李彩彩3，李亞安1

（1.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，陜西西安 710072；2.廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院，廣西南寧530004；3.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071）

輔助變量純方位目標(biāo)跟蹤算法

蔚 婧1，文 珺2，李彩彩3，李亞安1

（1.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，陜西西安 710072；2.廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院，廣西南寧530004；3.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071）

為克服偽線性估計(jì)方法在純方位目標(biāo)跟蹤中估計(jì)參數(shù)的有偏性，提出了一種改進(jìn)的輔助變量算法.該算法通過曲線擬合前幾個(gè)時(shí)刻的方位角測量序列來獲得當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)方位角的估計(jì)值，并將此作為輔助變量，通過最小二乘方法對(duì)目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，理論上可以獲得目標(biāo)參數(shù)的無偏估計(jì).針對(duì)單、雙觀測站兩種不同情況，推導(dǎo)出了系統(tǒng)觀測模型，并給出了具體實(shí)現(xiàn)步驟.仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，與已有的研究相比，該算法具有更快的收斂速度和更高的估計(jì)精度，在工程實(shí)踐中具有廣泛的應(yīng)用.

目標(biāo)跟蹤；偽線性估計(jì)；輔助變量；控制理論

純方位跟蹤（Bearings-Only Tracking，BOT）是一種被動(dòng)跟蹤方式，它只利用獲得的目標(biāo)方位角信息來對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，具有相當(dāng)好的隱蔽性，近年來已成為我國跟蹤預(yù)警系統(tǒng)中的重要組成部分［1-2］.量測方程的非線性和目標(biāo)不完全可觀測性是純方位目標(biāo)跟蹤存在的難點(diǎn)問題［3-5］.

目前應(yīng)用于純方位目標(biāo)跟蹤的典型方法主要包括:極大似然估計(jì)器（Maximum Likelihood Estimator，MLE）［6-7］，偽線性估計(jì)器（Pseudo-Linearing Estimator，PLE）［8-9］，擴(kuò)展卡爾曼濾波方法（Extended Kalman Filter，EKF）［10］等.其中，偽線性估計(jì)器是解決非線性估計(jì)的有效方法，它計(jì)算量小，便于工程實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是該方法會(huì)產(chǎn)生有偏估計(jì)，但由于其在工程上的實(shí)用性，仍然受到眾多學(xué)者的關(guān)注.為了消除偽線性估計(jì)器方法的有偏性，基于輔助變量的偽線性估計(jì)器算法被提出，它可以獲得理論上的無偏估計(jì)，其中核心問題是輔助變量的選擇.

在研究現(xiàn)有算法的基礎(chǔ)上，筆者提出一種改進(jìn)的輔助變量構(gòu)造方法.該方法通過曲線擬合前幾個(gè)時(shí)刻的方位角測量序列來獲得當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)方位角的估計(jì)值，并將此作為輔助變量，通過最小二乘方法估計(jì)目標(biāo)參數(shù)，理論上可以獲得目標(biāo)參數(shù)的無偏估計(jì).

1 純方位目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)模型

分別為目標(biāo)在t時(shí)刻位于X，Y軸方向上的坐標(biāo)分量，vTx，vTy表示目標(biāo)在X，Y軸方向上的速度分量.觀測站1位于坐標(biāo)原點(diǎn)，觀測站2位于X軸上，觀測站間距為d，目標(biāo)距坐標(biāo)原點(diǎn)的初始距離為D0.

β1（k），β2（k）分別為觀測站1和觀測站2觀測到的方位角序列，以Y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0～2π:

由于存在“距離模糊”［4］的問題，僅依靠靜止單觀測站所獲得的目標(biāo)方位信息，無法同時(shí)解算出目標(biāo)的距離、航向、速度等全部參數(shù).為了獲得目標(biāo)的所有運(yùn)動(dòng)參數(shù)，必須使用兩個(gè)以上的觀測站，或者使觀測站機(jī)動(dòng).雖然單觀測站不能獲得目標(biāo)的所有參數(shù)，但是卻可以獲得目標(biāo)速度與初始距離的比值，在這種情況下，若對(duì)目標(biāo)速度具有一定先驗(yàn)知識(shí)，同樣可通過先驗(yàn)知識(shí)對(duì)目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行解算，實(shí)現(xiàn)完全觀測.為此，以下分別對(duì)單、雙觀測站的輔助變量偽線性估計(jì)算法進(jìn)行分析.

圖1　雙觀測站純方位目標(biāo)跟蹤幾何關(guān)系示意圖

2 單觀測站輔助變量偽線性估計(jì)算法

以圖1中位于坐標(biāo)原點(diǎn)的觀測站為例進(jìn)行分析.在任意時(shí)刻j，有

將式（2）代入式（3），可得

其中，ξj=sin（β1（j）-β1（0））；εj為等效的測量誤差.

定義目標(biāo)狀態(tài)矢量X0=［vTxD0，vTyD0］T，并將式（4）改寫成矩陣形式，可得偽測量方程為

其中，可得式（5）的最小二乘解為

對(duì)式（8）取數(shù)學(xué)期望，得

可知式（8）為有偏估計(jì)，為此引入輔助變量來消除有偏估計(jì).可選取上式的最優(yōu)輔助變量估計(jì)，為

采用最小二乘曲線擬合算法，利用前3個(gè)時(shí)刻測量的方位角β1（j-3），β1（j-2），β1（j-1），進(jìn)行n次曲線擬合.由于擬合的精度并不正比于擬合曲線的次數(shù)，并且考慮到每次觀測的時(shí)間間隔較短，因此在實(shí)際應(yīng)用中選取二次曲線擬合.

設(shè)β1（j-3），β1（j-2），β1（j-1）確定了如下的二次曲線:

其中，a0，a1，a2為多項(xiàng)式系數(shù).

3 雙觀測站輔助變量偽線性估計(jì)算法

同理，可以得到

其中，rij表示在j時(shí)刻目標(biāo)與觀測站i的徑向距離.由式（15）得到偽線性測量方程為

其中，

同理，可得基于輔助變量的最小二乘估計(jì)為

4 計(jì)算機(jī)仿真與分析

為驗(yàn)證上述方法的有效性，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，具體參數(shù)如下:目標(biāo)速度V=10 m/s，目標(biāo)航向?=140°，目標(biāo)與坐標(biāo)原點(diǎn)的初始距離D0=40 km，初始方位角β1（0）=30°，采樣周期T=1 s.每條曲線均經(jīng)過40次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)獲得.

4.1單觀測站情況

觀測站靜止于坐標(biāo)（0，0）處，觀測噪聲的均方差Δβ1=2°.由于靜止單站對(duì)目標(biāo)的觀測屬于不完全觀測，因此只能獲得目標(biāo)速度與初始距離的比值.為了對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行定量分析，引入均方誤差進(jìn)行比較.

圖2比較了用筆者提出的方法和文獻(xiàn)［8］中的方法構(gòu)造輔助變量獲得目標(biāo)參數(shù)估計(jì)值的均方誤差曲線.從圖2（a）和圖2（b）對(duì)目標(biāo)速度與初始距離的比值估計(jì)可以看出，筆者提出的方法只需十幾次采樣就可獲得參數(shù)的穩(wěn)定估計(jì)，而文獻(xiàn)［8］中的方法則需要50次左右的采樣才可以達(dá)到穩(wěn)定估計(jì)，而且均方誤差也較文獻(xiàn)［8］中的方法有所降低.圖2（c）為目標(biāo)航向角均方誤差曲線，可以看出筆者提出的方法無論是收斂速度還是估計(jì)精度均優(yōu)于文獻(xiàn)［8］中方法的.

圖2　單觀測站估計(jì)均方誤差

4.2雙觀測站情況

觀測站分別靜止于（0，0）和（500，0）處，觀測噪聲的均方差Δβ1=Δβ2=2°.由于雙觀測站可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的完全觀測，圖3分別給出了兩種方法對(duì)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的對(duì)比.

圖3　雙觀測站估計(jì)均方誤差

從仿真結(jié)果可以看出，與單觀測站情況類似，筆者提出的方法獲得的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)值均能快速收斂到穩(wěn)定值，而且具有較低的估計(jì)誤差，便于在工程應(yīng)用中快速對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位.

5 總 結(jié)

筆者結(jié)合純方位觀測的系統(tǒng)模型，提出了一種改進(jìn)的基于輔助變量的純方位目標(biāo)跟蹤方法.該方法通過曲線擬合前幾個(gè)時(shí)刻的方位角測量序列獲得當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)方位角的估計(jì)，并作為輔助變量，得到目標(biāo)參數(shù)的最小二乘估計(jì)，可獲得理論上的無偏估計(jì).筆者針對(duì)單、雙觀測站的不同情況，對(duì)算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟進(jìn)行了推導(dǎo).仿真實(shí)驗(yàn)表明，筆者提出的方法相較于文獻(xiàn)［8］中的方法具有更快的收斂速度和更小的估計(jì)誤差，便于快速實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的準(zhǔn)確定位，在工程實(shí)踐中具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

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（編輯:郭 華）

Modified instrumental variable method for bearings-only target tracking

YU Jing1，WEN Jun2，LI Caicai3，LI Ya’an
（1.College of Marine Science and Technology，Northwestern Polytechnical Univ.，Xi’an 710072，China；2.School of Computer&Electrical Information，Guangxi Univ.，Nanning 530004，China；3.School of Electronic Engineering，Xidian Univ.，Xi’an 710071，China）

To overcome the biased estimation of the pseudo-linear algorithm in bearings-only target tracking，a modified instrumental variable algorithm is proposed.In the new algorithm，the current bearings-only estimation angle is acquired by polyfitting several previous bearings angles.Then the estimated angle is used as the instrumental variable to get the motion parameters by applying the leastsquare method.The algorithm can achieve the theoretical unbiased estimation.Simulation results illustrate that the new modified instrumental variable algorithm has a better convergence rate and estimation accuracy than the existing research and that it is more suitable for engineering practice.

target tracking；pseudo-linear estimation；instrumental variable；control theory

TN953

A

1001-2400（2016）01-0167-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.01.030

2015-05-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51409214，51179157，61461007）

蔚 婧（1982-），女，講師，E-mail:yujing@nwpu.edu.cn.