劉香園，吳　濤，程強強

(1.安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

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關(guān)于繩結(jié)打法對其自動松脫和繩子強度影響的研究

劉香園1，吳濤2，程強強2

(1.安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

針對繩結(jié)打法對其在承受負(fù)荷時是否容易自動松脫和對繩子強度影響的問題，本文以繩結(jié)打法為切入點，通過相關(guān)數(shù)據(jù)的查找和手動測量，運用MATLAB軟件，主要構(gòu)建了繩結(jié)交叉點數(shù)與其松脫時所承受負(fù)荷大小的擬合模型，繩結(jié)半徑與達(dá)到極限強度時的應(yīng)力關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，得到判定繩結(jié)是否容易松脫的方法以及繩結(jié)半徑越大，結(jié)點處的極限強度越大的結(jié)論。

繩結(jié)打法；繩結(jié)松脫；負(fù)荷；繩結(jié)強度

在登山、航海、垂釣、野外生存等活動中，結(jié)繩是必不可少的技能之一，而繩結(jié)的松脫程度對于使用者有著重大的意義。針對不同用途，有多種繩結(jié)的編制方法，不同種類的繩結(jié)，其松脫程度以及強度存在差異。本文旨在給出判定繩結(jié)是否容易自動松脫的方法以及建立合適的數(shù)學(xué)模型估計不同繩結(jié)的強度(詳見2015年認(rèn)證杯數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽第二階段A題[1])。本文創(chuàng)新性的提出了判斷繩結(jié)是否容易松脫的方法，可為現(xiàn)實生活中的生產(chǎn)使用提供參考。

1　問題總分析

不同的打結(jié)方法會影響繩結(jié)在承受負(fù)荷時是否容易自動松脫，首先對繩結(jié)進(jìn)行分類，根據(jù)繩結(jié)的用途不同可以把繩結(jié)分為固定繩結(jié)、接繩繩結(jié)、保護(hù)繩結(jié)和操作繩結(jié)等類型。固定繩結(jié)是將繩索一端直接固定于自然物體上的打結(jié)方法；接繩繩結(jié)是將短繩接成長繩的使用的繩結(jié)；保護(hù)繩結(jié)使繩索之間或繩索與鐵索之間能夠產(chǎn)生摩擦和滑動；操作繩結(jié)用于特殊的攀登和下降技術(shù)中所采取的結(jié)法。

2　判定繩結(jié)是否容易自動松脫

2.1建模思路

打結(jié)方法與繩結(jié)松脫程度的關(guān)系，不易找到，但不同的打結(jié)方法，繩結(jié)間的交叉點數(shù)不同，而繩結(jié)的松脫程度可以用其松脫時承受的負(fù)荷力來衡量。因此通過繩結(jié)交叉點數(shù)和其自動松脫時所承受負(fù)荷力的分析可以估計出打結(jié)方法與繩結(jié)松脫程度的關(guān)系，其中，繩結(jié)交叉點數(shù)的確定如圖1所示。

圖1　繩結(jié)交叉點數(shù)

2.2模型的建立與求解

假設(shè)現(xiàn)在有一段PE繩子，分別打出八種常見的繩結(jié):平結(jié)、稱人結(jié)、半結(jié)、水結(jié)、蝴蝶結(jié)、雙套結(jié)、雙漁人結(jié)和“8”字結(jié)，得出相應(yīng)的交叉點數(shù)，通過查閱資料以及實驗，得到上述八種打結(jié)方式自動松脫時所承受的負(fù)荷力(平均值，取整)如表1：

表1　不同繩結(jié)的交叉點數(shù)及繩結(jié)所承受的負(fù)荷數(shù)

運用MATLAB軟件進(jìn)行曲線擬合[2]，得出相應(yīng)的擬合圖形如圖2所示：

圖2　繩結(jié)交叉點數(shù)與所承受負(fù)荷的擬合

可以得出，繩結(jié)交叉點數(shù)與其所承受負(fù)荷之間的函數(shù)表達(dá)式為：

F1=4.9083*k+1.4037

忽略其它因素，從表達(dá)式中大致可以得出繩結(jié)交叉點數(shù)與所承受的負(fù)荷力之間是成正相關(guān)的。而繩結(jié)松脫時所承受的負(fù)荷力越大說明了其越不容易松脫，因此當(dāng)繩結(jié)交叉點數(shù)越多時，繩結(jié)越不容易松脫。所以對于不同繩結(jié)的打法，可以通過測量交叉點的個數(shù)，從而得到該繩結(jié)是否容易脫落。

繩結(jié)的交叉點數(shù)與其是否容易自動松脫是成正相關(guān)的，即繩結(jié)交叉點數(shù)越多，繩結(jié)越不容易松脫。當(dāng)交叉點數(shù)在2～6間時，繩結(jié)易松脫；當(dāng)交叉點數(shù)在7～10間時，繩結(jié)不易松脫；當(dāng)交叉點數(shù)在10或10以上時，繩結(jié)難松脫。

檢驗：用一根繩子實驗，當(dāng)繩結(jié)為營釘結(jié)時，繩結(jié)不易松脫；當(dāng)繩結(jié)為普魯士結(jié)時，繩結(jié)易松脫。而通過測量，知道營釘結(jié)的交叉點數(shù)為7個，普魯士結(jié)的交叉點數(shù)為2個，這與上述結(jié)論相一致。

3　有關(guān)繩結(jié)強度的定量估計

3.1問題的分析

一根完整的繩子在兩端受到拉力時，有一個被拉斷的極限強度。在繩子中間打了一個結(jié)后，由于繩結(jié)位置的彎折與纏繞，將使繩結(jié)位置成為整根繩子強度最低的一個薄弱點。對于不同種類的繩結(jié)，從直觀上去判斷其強度較為困難。而不同種類的繩結(jié)其繩結(jié)半徑是不同的，通過繩結(jié)半徑和繩結(jié)達(dá)到極限強度時應(yīng)力的關(guān)系，可以估計出其強度。

3.2模型的準(zhǔn)備

在一根完整的繩子兩端給予拉力時，繩子開始會產(chǎn)生彈性形變，到達(dá)一定程度時彈性形變結(jié)束進(jìn)而產(chǎn)生塑性形變，此過程中力的大小不變繩子會繼續(xù)出現(xiàn)拉伸現(xiàn)象，塑性形變結(jié)束后需要增加力才會使繩子繼續(xù)拉伸，隨著力的加大，繩子拉伸得越長，直到繩子斷開。

查閱相關(guān)資料，得到直徑為0.5 cm的PE直繩，其彈性限度的彈性系數(shù)為2 000N·m-1，而讓其產(chǎn)生塑性形變需要140N的力，當(dāng)加大外力時繩子會繼續(xù)形變直到斷裂。根據(jù)已有的數(shù)據(jù)及資料[3]建立相關(guān)模型如下：

選用一根直繩在兩端受到外力時繩子開始會產(chǎn)生彈性形變(在0～0.07這一段)，到達(dá)一定程度時彈性形變結(jié)束進(jìn)而產(chǎn)生塑性形變(在0.07～0.09這一段)，此過程中力的大小不變繩子會繼續(xù)出現(xiàn)拉伸現(xiàn)象，塑性形變結(jié)束后需要增加力才會使繩子繼續(xù)拉伸，隨著力的加大，繩子拉伸得越長，直到繩子斷開，直繩的極限強度在200N。

3.3模型的建立與求解

選取兩根半徑相同都為0.25 cm的繩子打出八種常見的繩結(jié)，并測出各自的直徑結(jié)果如圖3(a,b,c,d,e,f,g,h)所示：

圖3　八種常見繩結(jié)直徑測試

查閱相關(guān)資料[4]，得到了八種常見繩結(jié)達(dá)到極限強度時的應(yīng)力大小，整合以上測量以及查找的數(shù)據(jù)，如表2：

表2　繩結(jié)直徑與應(yīng)力數(shù)據(jù)表

運用MATLAB軟件進(jìn)行擬合，得到圖4：

圖4　繩結(jié)直徑與其所能承受的應(yīng)力關(guān)系圖

相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：

F=174.2d0.099 31

其中，R2=0.9857，可以看出函數(shù)擬合效果較好[5]。

結(jié)論：繩結(jié)半徑越大，其結(jié)點處的極限強度越強；半徑越小，結(jié)點處的極限強度越小。但始終都不會超過直繩的極限強度，可以通過估計繩結(jié)直徑從而來定量估計繩結(jié)強度。

[1]http://www.tzmcm.cn//wenjian/201502/A.rar

[2]吳禮斌.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)與建模(第2版)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2013:6.

[3]李俊峰,張雄.理論力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2010：8.

[4]過祥龍,董慎行,晏世雷.基礎(chǔ)物理學(xué)(上冊)[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2003:8.

[5]楊桂元. 數(shù)學(xué)建模[M].上海：上海財經(jīng)大學(xué)出版社，2015:2.

責(zé)任編輯王菊平

Impact of rope knotting on its automatic slackening and strength

LIU Xiang-yuan1, WU Tao2, CHENG Qiang-qiang2

(1.Financial College, Anhui University of Finance & Economics, Bengbu 233030, Anhui, China;2. College of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, Anhui, China)

Aiming to solve the problem whether rope knots slacken easily when loaded and their impact on rope strength, this paper starts with the types of rope knots. Through data and measurement, we build the fitting model of crossing points and force when rope knots slacken. Then we develop a mathematical model of knots radius and force when rope knots reach their ultimate strength. We have obtained the methods to tell whether a rope knot would slacken easily and reached the conclusion that the larger a knot radius is, the greater its ultimate strength would be.

knotting; loads; ultimate strength; knots radius

TS959.9

A

1003-8078(2016)03-0018-04

2015-11-15

10.3969/j.issn.1003-8078.2016.03.05

劉香園,女，安徽阜陽人，安徽財經(jīng)大學(xué)2013級本科生。

2015年國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201510378061)。