晏 鵬

(沭陽(yáng)縣沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)　江蘇 宿遷　223600)

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對(duì)容器重心位置變化的一點(diǎn)討論

晏 鵬

(沭陽(yáng)縣沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)江蘇 宿遷223600)

高一物理在有關(guān)重心的內(nèi)容方面，很多資料上有類似于這樣一道習(xí)題：將水慢慢注入一薄壁圓柱形燒杯直至水滿.在此過(guò)程中，系統(tǒng)(包括燒杯和水)的重心位置

A．慢慢下降 B．慢慢上升

C．先下降后上升 D．先上升后下降

對(duì)于這個(gè)習(xí)題的解析，資料上給出了這樣的答案：如圖1所示,在未注水時(shí)，燒杯和水的共同重心在容器的中心O點(diǎn)附近.隨著水的流入，系統(tǒng)的質(zhì)量分布發(fā)生了變化，系統(tǒng)的共同重心在O點(diǎn)下方某位置O′點(diǎn)處.當(dāng)容器注滿水后，系統(tǒng)的重心又回到了O點(diǎn)附近.因此，系統(tǒng)的重心是先下降后上升.此題正確答案為C.

圖1

這個(gè)答案給出了系統(tǒng)重心變化的3個(gè)狀態(tài)并由此得出正確的結(jié)果.但是對(duì)于系統(tǒng)重心的具體變化過(guò)程，答案沒(méi)有給出明確的分析.有學(xué)生對(duì)于這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生了如下疑問(wèn)：

(1)系統(tǒng)初始狀態(tài)和末狀態(tài)的重心在中心點(diǎn)O附近，但在注水過(guò)程中重心位置會(huì)不會(huì)有更為復(fù)雜的變化，如：下降—上升—下降—上升？

(2)在水未滿的過(guò)程中(如圖2)，重心如何變化？重心變化和水位變化是什么關(guān)系？

圖2

要得到系統(tǒng)重心具體變化過(guò)程，需要通過(guò)計(jì)算來(lái)分析重心的位置變化.對(duì)于由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，其重心C點(diǎn)的位置坐標(biāo)(xC，yC，zC)由如下公式求得

此題所涉及的系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單，系統(tǒng)重心與燒杯重心、水的重心都在一條豎直線上，如圖3所示.可以設(shè)坐標(biāo)都在x軸上.另外設(shè)系統(tǒng)重心為C點(diǎn)；燒杯質(zhì)量為m，重心A點(diǎn)坐標(biāo)為x1；水的質(zhì)量為m′,重心B點(diǎn)坐標(biāo)為-x2.由公式

可得

即

mx1=m′x2

(1)

圖3 圖4

如圖4，在注水過(guò)程中，當(dāng)重心C恰位于水面時(shí)，水面高度為2x2.設(shè)水的密度為ρ，則水的質(zhì)量

m′=ρS·2x2

(2)

代入式(1)可得

mx1=ρS·2x2·x2

(3)

(4)

將所得的結(jié)果與式(3)比較，很顯然若x1不變，式(4)是不成立的,所以假設(shè)不成立.要使式(4)成立，x1應(yīng)減小，C點(diǎn)應(yīng)上升.所以得到結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)重心處在液面處時(shí)，繼續(xù)注水，系統(tǒng)重心升高.

下面分析另一種情況：當(dāng)系統(tǒng)重心位于液面處時(shí)，降低水位，判斷重心如何變化.

(5)

所得結(jié)果與式(4)相同.所以得到相同的結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)重心處在液面處時(shí)，降低水位，系統(tǒng)重心仍升高.

綜上所述，可以得到結(jié)論：向空燒杯里注水時(shí)，系統(tǒng)重心降低，當(dāng)系統(tǒng)重心降至液面處時(shí)，系統(tǒng)重心最低；繼續(xù)注水，系統(tǒng)重心升高，當(dāng)燒杯注滿水時(shí)，系統(tǒng)重心升至原空燒杯重心處.所以，對(duì)于本文前面給出的例題，正確答案為C.

對(duì)上述結(jié)論的拓展應(yīng)用：

【例題】(第七屆全國(guó)奧賽決賽題)一薄壁圓柱形燒杯，半徑為r，質(zhì)量為m，重心位于中心線上，離杯底的距離為H，今將水慢慢注入杯中，問(wèn)燒杯連同杯內(nèi)的水共同重心最低時(shí)水面離杯底的距離等于多少？(設(shè)水密度為ρ)

解析：如圖5，由題意知當(dāng)重心下降到水面時(shí)，共同重心最低.

圖5

重心最低時(shí)y=yC，解方程求得

根據(jù)題意舍去負(fù)值得

要正確解決此題，必須應(yīng)用之前推導(dǎo)的結(jié)論，即：系統(tǒng)重心處于水面高度時(shí)為其最低位置.

2016-03-03)