陳　林，姚林泉

（蘇州大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州215131）

不同無砟軌道類型對(duì)車輛動(dòng)力學(xué)特性影響的數(shù)值分析

陳林，姚林泉

（蘇州大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州215131）

利用車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論，建立了不同類型無砟軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型，分別計(jì)算了整體式無砟軌道、板式無砟軌道以及浮置板式無砟軌道在列車運(yùn)行下的振動(dòng)響應(yīng)，分析比較系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)受無砟軌道道床類型、車速、不平順波深、扣件剛度和板下彈簧剛度的影響。結(jié)果表明，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)均隨車速的提高而增大；車速、不平順波深、扣件剛度和板下彈簧剛度對(duì)整體道床式無砟軌道系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)影響最大，板式無砟軌道次之，對(duì)浮置板式無砟軌道系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)影響最?。幌鄬?duì)而言，浮置板式無砟軌道動(dòng)力特性最好，其次為板式無砟軌道，整體式無砟軌道的動(dòng)力特性最差。

車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)；整體式軌道；板式軌道；浮置板式軌道；振動(dòng)響應(yīng)

以地鐵為主的城市軌道交通是一種快捷、環(huán)保、舒適的大運(yùn)量交通運(yùn)輸方式，但是隨軌道交通而來的振動(dòng)和噪聲不僅影響周圍環(huán)境，還直接影響到人們的生活和健康［1］。為了減少維護(hù)作業(yè)時(shí)間和減少環(huán)境振動(dòng)等原因，城市軌道交通軌道結(jié)構(gòu)大多采用無砟軌道。無砟軌道類型較多，在無砟軌道的研發(fā)、試鋪及應(yīng)用過程中，許多國(guó)家都根據(jù)各自鐵路的特點(diǎn)，研發(fā)了各具特色的無砟軌道結(jié)構(gòu)形式，如整體道床、板式道床、浮置板式道床等軌道結(jié)構(gòu)。浮置板式無砟軌道在減震降噪方面效果明顯，適用于人口密集的區(qū)域和一些特殊地區(qū)，鋼彈簧浮置板軌道已在我國(guó)得到大量運(yùn)用［2］。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)方面進(jìn)行了大量的研究，取得了許多成果［3-4］。大部分工作集中在道床的減振性能研究，但在建立模型時(shí)，簡(jiǎn)化了列車模型，采用靜載荷和一系列正弦函數(shù)疊加的動(dòng)載荷來模擬列車荷載［5］。有的在研究軌道不平順波長(zhǎng)對(duì)軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響規(guī)律時(shí)［6］，缺少對(duì)列車振動(dòng)響應(yīng)的分析。在分析車速對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響時(shí)［7］，忽略了軌道不平順的影響，而研究表明，軌道不平順引起的列車振動(dòng)會(huì)隨著列車速度的提高成倍增大［8］。目前，很多研究者分析了地鐵隧道中浮置板式無砟軌道的振動(dòng)響應(yīng)［9］，卻很少與其他類型無砟軌道作對(duì)比，同時(shí)缺少考慮浮置板式無砟軌道道床結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響，為此需要進(jìn)一步開展相關(guān)方面的研究工作。

本文在前人的研究基礎(chǔ)上，建立了車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，在軌道諧波不平順條件下，分析比較了整體式無砟軌道、板式無砟軌道及浮置板式無砟軌道在列車通過時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)，揭示影響動(dòng)力響應(yīng)的內(nèi)在因素，從而為乘客乘坐的舒適性、軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的穩(wěn)定性提供一定的參考數(shù)據(jù)。

1　車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型

1.1車輛模型

設(shè)車輛模型由1個(gè)車體、2個(gè)轉(zhuǎn)向架、4個(gè)輪對(duì)及2層懸掛系統(tǒng)組成，如圖1所示。車體視為質(zhì)量Mc和繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc的剛體，每個(gè)轉(zhuǎn)向架視為質(zhì)量Mt和繞其質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jt的剛體，每個(gè)車輪視為質(zhì)量為Mw的剛體。一系懸掛的彈簧剛度和阻尼系數(shù)分別為kct和cct，二系懸掛的彈簧剛度和阻尼系數(shù)分別為ktw和ctw。車體自由度是其質(zhì)心處的豎向位移Zc和轉(zhuǎn)角θc，轉(zhuǎn)向架自由度是其質(zhì)心處的豎向位移Zti和θti轉(zhuǎn)角（i=1時(shí)為前轉(zhuǎn)向架自由度，i=2時(shí)為后轉(zhuǎn)向架自由度），輪對(duì)自由度分別為其質(zhì)心處的豎向位移Zw1，Zw2，Zw3和Zw4，因此，車輛總共有10個(gè)自由度［10］。車輛定距之半為lc，轉(zhuǎn)向架固定軸距之半為lt。

圖1　車輛的力學(xué)模型Fig.1　The dynamic model of vehicle

1.2軌道結(jié)構(gòu)模型

整體道床動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，鋼軌和剛性基礎(chǔ)之間的剛度krb，阻尼為crb。根據(jù)板式道床的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，視軌道板為支承在連續(xù)分布的線性彈簧與線性阻尼上的有限長(zhǎng)自由梁，軌道板以下混凝土基礎(chǔ)視為剛性基礎(chǔ)，其動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。每塊軌道板長(zhǎng)為L(zhǎng)s，鋼軌和板之間的剛度為kp，阻尼為cp，板和剛性基礎(chǔ)之間的剛度k，阻尼c。根據(jù)鋼彈簧浮置板式道床的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，浮置板視為連續(xù)彈性離散點(diǎn)支承上的有限長(zhǎng)自由梁，浮置板以下視為剛性基礎(chǔ)，其動(dòng)力學(xué)模型如圖4所示。每塊浮置板長(zhǎng)為L(zhǎng)f，鋼軌和浮置板之間的剛度為kp，阻尼為cp，浮置板和剛性基礎(chǔ)之間的剛度為ks，阻尼為cs。3種無砟軌道道床模型都將鋼軌視為按扣件間距分布的彈性點(diǎn)支承上的Euler梁［11］，輪軌垂向相互作用采用Hertz非線性彈性接觸模型。

圖2　整體道床模型Fig.2　The model of monolithic track bed

圖3　板式道床模型Fig.3　The model of slab track bed

圖4　浮置板式道床模型Fig.4　The model of floating slab track bed

2　車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

首先，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立車輛振動(dòng)的微分方程，其矩陣形式為［12］

其中，［Mv］，［Cv］，［Kv］分別為車輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；［Fv］為力向量，位移列向量為

其次，建立鋼軌的振動(dòng)方程。不計(jì)鋼軌本身阻尼影響，由Euler梁彎曲動(dòng)力學(xué)可得到其動(dòng)力學(xué)方程為［12］

為第i個(gè)扣件對(duì)鋼軌的作用力，ErIr為鋼軌抗彎剛度，Pj（t）為第j位輪對(duì)作用在鋼軌上的垂向力，nr為軌道長(zhǎng)度內(nèi)扣件的個(gè)數(shù)，xri為第個(gè)扣節(jié)點(diǎn)在鋼軌上的坐標(biāo)值，xwj為第j位輪對(duì)的坐標(biāo)值。方程（3）為四階偏微分方程，用Ritz法進(jìn)行降階處理，鋼軌視為簡(jiǎn)支梁模型，設(shè)其正則振型函數(shù)是

其中，Lr為鋼軌長(zhǎng)度。則方程（3）的解可表示為

這里Nr為所截取的模態(tài)階數(shù)；qrn（t）為正則坐標(biāo)。將（6）代入（3）式，兩邊同乘各階振型，然后積分，再利用模態(tài)的正交性，可得到關(guān)于正則坐標(biāo)的二階常微分方程為

再次，建立板式道床中的軌道板垂向振動(dòng)方程［12］

其中：EI為軌道板的抗彎剛度；ρ為軌道板單位長(zhǎng)度質(zhì)量；nr為鋼軌扣件數(shù)目；n為板下彈簧數(shù)目，鋼軌支點(diǎn)反力Frsi（t）和彈簧支點(diǎn)力Fssj（t）分別為

這里，kj，cj為第j個(gè)彈簧剛度和阻尼，kpi，cpi為第i個(gè)鋼軌扣件剛度和阻尼，而Z（x，t），（x，t）為軌道板的垂向位移和速度。

根據(jù)Ritz法，軌道板垂向位移可以表示為

式中:Tn（t）為廣義坐標(biāo)；Xn為自由梁函數(shù)系；且；m為模態(tài)階數(shù)；Cm是梁函數(shù)系數(shù)；βm為梁頻率系數(shù)。這里，當(dāng)m≥6時(shí)，Cm=1，βmLs=（2m-3）/π。Ls為軌道板長(zhǎng)度，NM為截止模態(tài)階數(shù)［12］。

將式（11）代入（8）式，并在等式兩邊同乘Xk（k=1～NM），然后沿板長(zhǎng)積分，由模態(tài)正交性和δ函數(shù)性質(zhì)得軌道板廣義坐標(biāo)滿足的振動(dòng)方程為

同理，可得到浮置板的振動(dòng)方程為

式中:EfIf是浮置板的抗彎剛度；ρf為浮置板單位長(zhǎng)度質(zhì)量；NMS為截止模態(tài)階數(shù)；Lf為浮置板長(zhǎng)度；ns為鋼彈簧數(shù)目，鋼軌支點(diǎn)反力Frfi（t）和鋼彈簧支點(diǎn)力Ffsi（t）分別為

這里，ks，cs為鋼彈簧剛度和阻尼；kp，cp為鋼軌扣件剛度和阻尼；而Zs（x，t），（x，t）為浮置板的垂向位移和速度。

然后，輪軌接觸關(guān)系可由赫茲非線性彈性接觸理論確定，當(dāng)輪軌界面存在位移不平順Z0（t）輸入時(shí)，輪軌力表達(dá)式為

最后，將車輛的振動(dòng)方程（1）、鋼軌的振動(dòng)方程（7）、道床的振動(dòng)方程（12）或（13）組合在一起，即可組成系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程組

其中，［M］，［C］和［K］分別為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；分別為耦合系統(tǒng)的廣義加速度矢量、廣義速度矢量及廣義位移矢量；｛P｝為耦合系統(tǒng)的廣義載荷矢量。

這是一個(gè)大型的二階非線性微分方程組，本文采用新型顯式積分法［12］求解。該方法與Newmark-β法具有同級(jí)精度，且具有快速簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。

3　車輛-軌道耦合系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)分析

為了考察3種不同道床中車速、不平順度及彈性參數(shù)對(duì)軌道結(jié)構(gòu)和車體的動(dòng)力特性影響，本節(jié)利用Matlab編程進(jìn)行具體數(shù)值計(jì)算和分析。為了增加對(duì)比性，在具體計(jì)算時(shí)，列車型號(hào)、鋼軌類型和車速等保持一致，取鋼軌長(zhǎng)120 m。車輛及軌道模型參數(shù)為［12-13］：

3.1列車行駛速度對(duì)系統(tǒng)的耦合振動(dòng)分析

取不平順波深a=1 mm，不平順波長(zhǎng)la=1 m，采用新型顯示積分法對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)方程進(jìn)行求解，積分步長(zhǎng)取△t=0.000 1 s。取列車速度為40，60，80，100 km·h-14種情況進(jìn)行數(shù)值模擬分析。

圖5顯示不同類型無砟軌道車體垂向位移最大值隨車速變化趨勢(shì)。由圖5可見，隨著車速的提高，3種無砟軌道的車體垂向位移均有所增大。在車速相同的條件下，整體道床的車體垂向位移最大，板式道床的車體垂向位移稍小，浮置板式道床的車體垂向位移最小。如車速為80 km·h-1時(shí)，其位移比值依次為1.2∶1.05∶1。圖6顯示不同無砟軌道類型車體垂向加速度最大值隨車速變化趨勢(shì)。由圖6可見，隨著車速的提高，車體垂向加速度均增大。在車速相同的條件下，浮置板式道床的車體垂向加速度最大值最小，因此乘坐舒適性最好。圖7顯示鋼軌中點(diǎn)垂向位移最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢(shì)。由圖7可見，隨著車速的提高，3種無砟軌道的鋼軌中點(diǎn)垂向位移均增大。在車速相同的條件下，整體道床的鋼軌垂向位移最大，板式道床的鋼軌垂向位移稍小，浮置板式道床的鋼軌垂向位移位移最小。圖8顯示鋼軌中點(diǎn)垂向加速度最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢(shì)。由圖8可見，隨著車速的提高，3種無砟軌道的鋼軌中點(diǎn)垂向加速度均增大，且整體道床和板式道床的增速較大，浮置板式的變化較慢。在車速相同的條件下，整體道床的鋼軌中點(diǎn)垂向加速度最大，板式道床的鋼軌中點(diǎn)垂向加速度稍小，浮置板式道床的鋼軌中點(diǎn)垂向加速度最小。圖9顯示第4輪對(duì)輪軌力最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢(shì)。由圖9可見，隨著車速的提高，列車第四輪對(duì)輪軌力最大值均有增大。在車速相同的條件下，整體道床的第四輪對(duì)輪軌力最大值最大，板式的稍小，浮置板式的最小。圖10顯示地基彈性力最大值隨無砟軌道類型及車速變化趨勢(shì)。由圖10可見，隨著車速的提高，地基彈性力最大值均有增大。在車速相同的條件下，浮置板式道床的地基彈性力最大值最小，因此對(duì)周圍環(huán)境影響最小。

圖5　車體最大位移隨速度變化Fig.5　Maximum displacement of vehicle body with velocity

圖6　車體最大加速度隨速度變化Fig.6　Maximum acceleration of vehicle body with velocity

圖7　鋼軌中點(diǎn)最大位移隨速度變化Fig.7　Maximum displacement of rail midpoint with velocity

圖8　鋼軌中點(diǎn)最大加速度隨速度變化Fig.8　Maximum acceleration of rail midpoint with velocity

圖9　第四輪對(duì)輪軌力隨速度的變化Fig.9　Maximum wheel/rail force of the fourth wheel set with velocity

圖10　地基彈性力隨速度的變化Fig.10　Maximum elastic force of the subgrade with velocity

3.2不平順波深對(duì)振動(dòng)的影響

速度為時(shí)80 km·h-1，在不平順波長(zhǎng)1 mm不變的情況下，取波深分別為1，2，3 mm和4 mm 4種情況下進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算。分析研究不平順波深對(duì)車輛軌道的加速度及輪軌力的影響，如圖11～圖13所示

圖11　車體最大加速度隨不平順波深的變化Fig.11　Maximum acceleration of vehicle body with depth of irregularity

由圖11可見，隨著不平順波深的增加，整體道床和板式道床的車體垂向加速度均有增大，而浮置板道床的車體垂向加速度幾乎沒有變化。由圖12可見，隨著不平順波深的增加，3種道床的鋼軌中點(diǎn)垂向加速度均有增大的趨勢(shì)。在波深相同的條件下，整體道床的鋼軌中點(diǎn)豎向加速度最大，板式道床的鋼軌中點(diǎn)豎向加速度稍小，浮置板式道床的鋼軌中點(diǎn)豎向加速度最小。圖13顯示第4輪對(duì)輪軌力最大值隨道床類型及波深的變化。由圖13可見，隨著波深的增加，第4輪對(duì)輪軌力最大值均增大。在波深相同的條件下，整體道床的第4輪對(duì)輪軌力最大值最大，板式道床的第四輪對(duì)輪軌力最大值稍小，浮置板式道床的第四輪對(duì)輪軌力最大值最小。

圖12　鋼軌中點(diǎn)最大加速度隨不平順波深的變化Fig.12　Maximum acceleration of rail midpoint with depth of irregularity

圖13　第四輪對(duì)輪軌力最大值隨不平順波深的變化Fig.13　Maximum wheel/rail force of the fourth wheel set with depth of irregularity

3.2扣件剛度變化對(duì)振動(dòng)的影響

速度為時(shí)80 km·h-1，為了考察扣件剛度對(duì)振動(dòng)的影響，扣件剛度分別取1×107，2×107，3×107和4×107N·m-1進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，如圖14～圖16所示。

圖14　車體最大位移隨扣件剛度的變化Fig.14　Maximum displacement of body with different stiffness

圖15　鋼軌中點(diǎn)最大位移隨扣件剛度的變化Fig.15　Maximum displacement of rail midpoint with different stiffness

圖16　鋼軌中點(diǎn)最大加速度隨扣件剛度的變化Fig.16　Maximum acceleration of rail midpoint with different stiffness

由圖14可見，隨著扣件剛度的增大，車體垂向位移均有減小的趨勢(shì)。當(dāng)扣件剛度由1×107N·m-1增加到2×107N·m-1時(shí)，整體道床和板式道床的車體垂向位移減幅較大，而浮置板式道床的車體垂向位移減少較小。由圖15和圖16可見，隨著扣件剛度的增大，整體式道床和板式道床中的鋼軌中點(diǎn)垂向位移和垂向加速度均有減小，而浮置板式道床的鋼軌中點(diǎn)垂向位移和垂向加速度變化不大。在扣件剛度相同的條件下，整體道床的鋼軌中點(diǎn)垂向位移和垂向加速度最大，板式道床的鋼軌中點(diǎn)垂向位移和垂向加速度稍小，浮置板式軌道的鋼軌中點(diǎn)垂向位移和垂向加速度最小。因此，增加扣件剛度對(duì)整體道床和板式道床有利，對(duì)浮置板式道床影響不大。

3.4板下彈簧剛度變化對(duì)振動(dòng)的影響

速度為時(shí)80 km·h-1時(shí)，為了考察板下彈簧剛度對(duì)振動(dòng)的影響，板下彈簧剛度分別取4×107，4.5×107，5×107和5.5×107N·m-1進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，如圖17～圖20所示。

圖17　車體最大位移隨彈簧剛度的變化Fig.17　Maximum displacement of body with different stiffness

圖18　車體最大加速度隨彈簧剛度的變化Fig.18　Maximum acceleration of body with different stiffness

圖19　鋼軌中點(diǎn)最大位移隨彈簧剛度的變化Fig.19　Maximum displacement of rail midpoint with different stiffness

圖20　鋼軌中點(diǎn)最大加速度隨彈簧剛度的變化Fig.20　Maximum acceleration of rail midpoint with different stiffness

由圖17可見，隨著板下彈簧剛度的增大，板式道床的車體垂向位移變化不大，而浮置板式道床的車體垂向位移減少較大。由圖18可見，隨著彈簧剛度的增大，板式道床和浮置板式道床的車體垂向加速度變化不大，這也與文獻(xiàn)［13］的結(jié)論相一致。由圖19和圖20可見，隨著彈簧剛度的增大，板式道床、浮置板式道床的鋼軌中點(diǎn)垂向位移和垂向加速度均減小，當(dāng)剛度由4×107N·m-1增加到4.5×107N·m-1時(shí)，減幅最大。但繼續(xù)增加彈簧剛度時(shí)，鋼軌中點(diǎn)垂向位移和垂向加速度變化緩慢。從經(jīng)濟(jì)效益角度看，彈簧剛度在4×107N·m-1到4.5×107N·m-1之間取值時(shí)，能達(dá)到一個(gè)比較好的效果。

4　結(jié)論

本文建立了車輛—軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，引入了軌道諧波不平順，采用新型顯式積分法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，分析比較了系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)受無砟軌道道床類型、車速、不平順波深、扣件剛度和板下彈簧剛度的影響，研究表明：

1）整體道床、板式道床及浮置板式道床在列車運(yùn)行下的系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)均隨車速的提高而增大；在車速相同的條件下，浮置板式道床的車體垂向位移、車體垂向加速度及地基彈性力最大值均最小，因此乘坐舒適性最好，對(duì)周圍環(huán)境的影響也最小。

2）車速相同的條件下，不平順波深對(duì)整體道床和板式道床的車體垂向加速度、鋼軌中點(diǎn)垂向加速度及垂向輪軌力等響應(yīng)影響較大，而對(duì)浮置板式道床中的車體垂向加速度影響較小。

3）在車速相同的條件下，鋼軌扣件剛度對(duì)整體道床和板式道床的車體垂向位移、鋼軌中點(diǎn)垂向位移及鋼軌中點(diǎn)垂向加速度影響較大，對(duì)浮置板式道床的車體垂向位移、鋼軌中點(diǎn)垂向位移及鋼軌中點(diǎn)垂向加速度等影響較小；而板下彈簧剛度對(duì)板式道床的鋼軌中點(diǎn)垂向位移及鋼軌中點(diǎn)垂向加速度影響較大，對(duì)浮置板式道床的車體垂向位移、鋼軌中點(diǎn)垂向位移及鋼軌中點(diǎn)垂向加速度等影響較大。

浮置板式無砟軌道較整體式無砟軌道和板式無砟軌道動(dòng)力特性好，可起到減振降噪的作用。但是浮置板式軌道結(jié)構(gòu)的投資成本較大，所以目前主要用于一些有特殊減振要求的區(qū)域。

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［13］王自勵(lì).黃土地區(qū)地鐵浮置板浮置板道床減振性能研究［D］.蘭州：蘭州交通大學(xué)，2014：49－55.

（責(zé)任編輯王建華）

Numerical Analysis on the Influence of Different Ballastless Tracks on Vehicle Dynamics

Cheng Lin，Yao Linquan
（School of Urban Rail Transportation，Soochow University，Suzhou 215131，China）

Different types of vertical coupling dynamics models of ballastless tracks are established in this paper，based on the vehicle-track coupling dynamics theory.The vibration responses of monolithic track bed，slab track and floating slab track with trains running are all calculated respectively.The influence of different ballastless tracks，speed，depth of irregularity，stiffness of fasteners and spring on dynamic responses of the system is analyzed and compared.It shows that the vibration responses of the system increase when trains speed up and the vibration response of monolithic track bed is most connected with the influence factors；the slab track takes the second place，and that of floating-slab track has the least connection with the influence factors.It concludes that the dynamic performance of floating-slab track is comparatively better than that of slab track，and the monolithic track bed is the worst.

vehicle-track coupling dynamics；monolithic track；slab track；floating slab track；vibration response

U211.3

A

1005-0523（2016）04-0001-09

2016－03－24

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11172192，11572210）

陳林（1990—），男，碩士研究生，研究方向?yàn)檐囕v軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。

姚林泉（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橛?jì)算固體力學(xué)、車輛軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。