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      數(shù)形結(jié)合深挖內(nèi)涵明晰概念

      2016-09-22 13:42:57朱東亮
      關(guān)鍵詞:平均數(shù)數(shù)形所學(xué)

      朱東亮

      [摘 要]數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓。因此,教師應(yīng)重視概念教學(xué),通過數(shù)形結(jié)合等途徑,引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘概念的內(nèi)涵,明晰所學(xué)的概念,真正掌握所學(xué)的知識(shí)。

      [關(guān)鍵詞]概念教學(xué) 平均數(shù) 思維沖突 價(jià)值 幾何直觀 意義 內(nèi)涵 特性

      [中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068(2016)23-032

      對(duì)概念清晰而又深刻的理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵,是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的基礎(chǔ)。平均數(shù)是一個(gè)重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量,小學(xué)數(shù)學(xué)中所講的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù),也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這個(gè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的商。平均數(shù)既可以反映一組數(shù)據(jù)的一般情況,也可以用它進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)的比較,從而看出組與組之間的差別。下面,我以“平均數(shù)”一課教學(xué)為例,嘗試探討概念教學(xué)的方法。

      一、設(shè)置思維沖突,體會(huì)平均數(shù)的價(jià)值

      學(xué)生對(duì)通過比較總數(shù)判斷兩組數(shù)據(jù)水平的高低有著豐富的經(jīng)驗(yàn),因此,教師教學(xué)時(shí)可以先出示圖1,讓學(xué)生判斷在踢毽子比賽中哪個(gè)隊(duì)獲勝。然后教師參加到男生隊(duì)中(師踢了13個(gè)),并提問“通過比較總數(shù)來判斷哪個(gè)隊(duì)獲勝公平嗎”,以激發(fā)學(xué)生的思維沖突,引導(dǎo)學(xué)生提出用平均數(shù)來判斷。雖然平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)本身就具有的屬性,不依賴于比較存在,但根據(jù)學(xué)生的思維水平和特點(diǎn),采用這樣的引入方式可以讓學(xué)生充分感受到比總數(shù)的局限性,體會(huì)到平均數(shù)產(chǎn)生的必要性和價(jià)值。這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的興趣,比較不同概念之間的聯(lián)系與區(qū)別有著重要作用。

      二、利用幾何直觀,理解平均數(shù)的意義

      華羅庚說過:“數(shù)缺形時(shí)時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微?!薄捌骄鶖?shù)”一課的教學(xué),可采用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行。平均數(shù)是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量,反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在,這是平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的核心。因此,讓學(xué)生經(jīng)歷一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的產(chǎn)生過程,有助于學(xué)生理解平均數(shù)的概念。具體可以采用“移多補(bǔ)少”的方法讓學(xué)生體會(huì)這個(gè)過程:3名女生踢毽子的個(gè)數(shù)如圖3,通過計(jì)算得出女生隊(duì)踢毽子的平均數(shù)是14個(gè)。然后引導(dǎo)學(xué)生通過“移多補(bǔ)少”的方法找到平均數(shù),再將平均數(shù)直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前,如圖4。通過圖形的直觀展示,學(xué)生對(duì)平均數(shù)的產(chǎn)生過程有了切實(shí)的體會(huì),從而對(duì)平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的一般水平也就有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

      三、挖掘概念內(nèi)涵,明晰平均數(shù)的特性

      根據(jù)平均數(shù)的概念,平均數(shù)具有某些與生俱來的特性,主要包括敏感性、集中性、虛擬性三個(gè)方面。通過適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料,讓學(xué)生明晰平均數(shù)的特性,有助于學(xué)生加深對(duì)概念的理解。

      1.敏感性

      平均數(shù)的敏感性是指每個(gè)數(shù)據(jù)的變化都對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生影響。教師可以通過改變其中一個(gè)數(shù)據(jù)的大小,讓學(xué)生體會(huì)這一特性。如在數(shù)據(jù)12、11、16、13中,如果將13變成17,那么平均數(shù)將從13變成14,使學(xué)生明確當(dāng)個(gè)體數(shù)據(jù)變大時(shí),平均數(shù)將被拉升;反之,平均數(shù)將被拉低。從平均數(shù)的敏感性,教師還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)容易受極大(?。┲档挠绊憽H缦卤碇行∶鞯钠骄诛@然受到100分的影響,從而拉高了平均數(shù)。這樣可讓學(xué)生體驗(yàn)到平均數(shù)的局限性,了解生活中經(jīng)常采用去掉部分極值后再求平均數(shù)的原因。

      2.集中性

      平均數(shù)的集中性是指平均數(shù)一定介于最大值與最小值之間,理解這點(diǎn)有助于學(xué)生理解平均數(shù)作為集中量數(shù)的原因。那么,如何讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)的集中性呢?教師可提供以下材料,并提問:“下圖中,哪幅圖中的線代表了這組數(shù)據(jù)的平均水平?”通過問題引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)平均數(shù)的意義和“移多補(bǔ)少”的方法進(jìn)行辨析,明確平均數(shù)不會(huì)比最大值還大,也不會(huì)比最小值還小,因?yàn)檫@不符合平均數(shù)的概念。而對(duì)選項(xiàng)D,則要通過更加細(xì)致的辨析,讓學(xué)生了解“移多補(bǔ)少”的結(jié)果是各個(gè)數(shù)據(jù)均等,從而對(duì)平均數(shù)有更深入的認(rèn)識(shí)。

      3.虛擬性

      由于平均數(shù)是通過“移多補(bǔ)少”得到的量,因此平均數(shù)代表的是這組數(shù)據(jù)的一般水平,不代表數(shù)據(jù)中的個(gè)體。如圖5中,女生隊(duì)踢毽子的數(shù)量為18、13、11個(gè),這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是14,這個(gè)14不是任何一個(gè)女生踢毽子的數(shù)量。

      另外,學(xué)生沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)除法和小數(shù)除法,對(duì)平均數(shù)是分?jǐn)?shù)(小數(shù))存在著認(rèn)知障礙,這是正常的現(xiàn)象。如果教師教學(xué)時(shí)能打破這一障礙,將對(duì)學(xué)生理解平均數(shù)的虛擬性大有裨益。結(jié)合圖5,教師可以這樣向?qū)W生設(shè)問:“如要使男生隊(duì)獲勝,老師至少踢幾個(gè)?”這是一個(gè)極富挑戰(zhàn)性的問題,教師要給足學(xué)生思考的時(shí)間和交流的機(jī)會(huì)。教學(xué)中,學(xué)生提出“老師至少要再多踢8個(gè)毽子,這樣才能使男生隊(duì)的平均數(shù)達(dá)到15個(gè),比女生隊(duì)的平均數(shù)高1個(gè)”。有這種想法的學(xué)生是需要鼓勵(lì)的,因?yàn)樗麄冇兄^強(qiáng)的分析能力,能從問題出發(fā)找到答案。

      此時(shí),教師可進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生:“還有更好的方法嗎?”一生提出“只要再多踢5個(gè)毽子就行了(如圖6)”,此時(shí)男生踢毽子的平均數(shù)已經(jīng)達(dá)到14個(gè),而且還多出1個(gè)。這時(shí)有學(xué)生質(zhì)疑:“這多出的1個(gè)怎么辦?這樣是不平均的?!苯處熆勺穯枺骸澳阌修k法將這多出的1個(gè)繼續(xù)平均分嗎?”通過問題,引導(dǎo)學(xué)生將這1個(gè)再平均分成4份。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)已經(jīng)有了類似的經(jīng)驗(yàn),所以這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)不是整數(shù)了。“那改用一個(gè)怎樣的數(shù)表示呢?”由于學(xué)生沒有學(xué)過帶分?jǐn)?shù)和小數(shù),教師可適時(shí)介紹:“可以用14或14.25來表示(如圖7)。”

      通過一系列問題的提出與解決,學(xué)生茅塞頓開,對(duì)平均數(shù)的敏感性和虛擬性有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí),在解決思維障礙的同時(shí),對(duì)所學(xué)概念有了更加深刻的印象。

      總之,教師應(yīng)重視概念教學(xué),通過數(shù)形結(jié)合等途徑,引導(dǎo)學(xué)生深挖概念的內(nèi)涵,明晰所學(xué)的概念,真正掌握所學(xué)的知識(shí)。

      (責(zé)編 杜 華)

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