李　鵬，竇霽虹，仲文林，盧克英

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安　710127)

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·數(shù)理科學(xué)·

一類非線性振動(dòng)方程的定性分析

李鵬，竇霽虹，仲文林，盧克英

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安710127)

對(duì)一類非線性振動(dòng)方程進(jìn)行定性分析與探究,并推廣了此類方程。采用行列式-跡法則、小參數(shù)擾動(dòng)、首次積分和Bendixson-Dulac判別法。證明了方程對(duì)任何參數(shù)都不存在閉軌線和奇異閉軌線,分析了方程在特殊情形下奇點(diǎn)個(gè)數(shù)、類型。豐富了已知結(jié)果, 使其適用范圍更廣。

振動(dòng)方程; 定性分析; 閉軌線; 極限環(huán);Dulac判別法

文獻(xiàn)[1]給出了一類由微分方程

(1)

(2)

在mb≠0時(shí),對(duì)任何參數(shù)都不存在閉軌線和奇異閉軌線。文獻(xiàn)[2]中未分析式(2)平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性;也未考慮b=0時(shí),系統(tǒng)極限環(huán)的存在性。本文首先在方程(2)的基礎(chǔ)上推廣并得到一類特殊振動(dòng)方程滿足適當(dāng)條件后,仍然具有文獻(xiàn)[2]的結(jié)論；其次，針對(duì)文獻(xiàn)[2]中的不足進(jìn)行補(bǔ)充。這一探究更加豐富振動(dòng)方程理論，對(duì)于物理學(xué)中機(jī)械振蕩和周期振蕩的研究具有深刻意義。

引理1[3]設(shè)G為單連通域,若存在一次可微函數(shù)B1(x,y)與F(x,y),使

在G中保持常號(hào),且不在任何子區(qū)域中恒等于零,則方程不存在全部位于G中的閉軌線和奇異閉軌線。

引理2[2](Bendixson-Dulac判別法)若在單連通域G內(nèi)存在函數(shù)B(x,y)∈C1(G),使

且不在G的任何子區(qū)域內(nèi)恒為零,則系統(tǒng)不存在全部位于G內(nèi)的閉軌線和具有有限個(gè)奇點(diǎn)的奇異閉軌線。函數(shù)B(x,y)稱為Dulac函數(shù)。

引理3[2]設(shè)有系統(tǒng)

其中X和Y在O(0,0)鄰域內(nèi)解析,O(0,0)為其對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn),若在O(0,0)鄰域S(0,δ)內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分,則O(0,0)必為中心。

本文主要研究一類非線性振動(dòng)方程

(3)

1　主要定理

定理1若mb1≠0,則方程(3)對(duì)于任何參數(shù)都不存在閉軌線和具有有限個(gè)奇點(diǎn)的奇異閉軌線。

證 明假設(shè)振動(dòng)方程式(3)的更一般形式

(4)

(5)

取E(x,y)≡C1, 其中C1為常數(shù),則

(6)

只有選取F(x,y)≡C2x,其中C2為常數(shù)。

對(duì)于x,y∈R,要使得式(6)符號(hào)確定,則有如下結(jié)論:當(dāng)k=1或2,l=1,2,3，…時(shí),式(6)可以化為

(7)

將非線性殊振動(dòng)方程式(3)進(jìn)一步推廣為

(8)

其中Q(x)是一類關(guān)于變量x的非多項(xiàng)式[4-7],并滿足:

1)Q(x)是連續(xù)函數(shù),在x=0處具有n階導(dǎo)數(shù);

2)Q(x)在x=0處取值為0,即Q(0)=0;

使之也具有對(duì)于任何參數(shù)都不存在閉軌線和奇異閉軌線,得到如下定理。

定理2若λ≠0，mb1≠0,則振動(dòng)方程式(8)對(duì)于任何參數(shù)都不存在閉軌線和具有有限個(gè)奇點(diǎn)的奇異閉軌線。

證 明仿照定理1的證明,取E(x,y)≡C3,取F(x,y)≡C4x,其中C3,C4為常數(shù),同樣可得如下結(jié)果:

關(guān)于定理2,給出2個(gè)典型振動(dòng)方程作為實(shí)例通過(guò)Matlab軟件對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值模擬[9]。

例1振動(dòng)方程

(9)

當(dāng)mb1≠0時(shí)，對(duì)于任何參數(shù)都不存在閉軌線和具有有限個(gè)奇點(diǎn)的奇異閉軌線。取m=1.0,b1=-0.3,b2=-0.8,λ=0.4,a1=0.1,a2=0.3,a3=0.4,其余參數(shù)為0,軌線圖如圖1所示。

圖1　振動(dòng)方程式(9)的軌線圖Fig.1　Trajectory of vibration equation (9)

取m=1.0,b1=0.3,b2=-0.8,λ=0.4,a1=0.1,a2=0.3,a3=0.4,其余參數(shù)為0,軌線圖如圖2所示。

圖2　振動(dòng)方程式(9)的軌線圖Fig.2　Trajectory of vibration equation (9)

結(jié)果分析：只改變b1符號(hào)，其他參數(shù)值不變時(shí)，方程式(9)軌線圖發(fā)生改變，但是不存在極限環(huán)或奇異閉軌線。

例2振動(dòng)方程

(10)

當(dāng)mb1≠0時(shí)，對(duì)于任何參數(shù)都不存在閉軌線和具有有限個(gè)奇點(diǎn)的奇異閉軌線。取m=1.0,b1=-0.3,b2=-0.8,λ=0.3,a1=0.1,a2=0.3,a3=0.4,其余參數(shù)為0,軌線圖如圖3所示。

圖3　振動(dòng)方程式(10)的軌線圖Fig.3　Trajectory of vibration equation (10)

取m=1.0,b1=0.3,b2=-0.8,λ=0.3,a1=0.1,a2=0.3,a3=0.4,其余參數(shù)為0,軌線圖如圖4所示。

圖4　振動(dòng)方程(10)式的軌線圖Fig.4　Trajectorg for ribration equation (10)

結(jié)果分析:只改變b1符號(hào)，其他參數(shù)值不變時(shí)，方程式(10)軌線圖發(fā)生改變，但是不存在極限環(huán)或奇異閉軌線。

綜上，由例1和例2中的振動(dòng)方程式(9)，(10)的軌線圖驗(yàn)證定理2結(jié)論成立。

本文還研究振動(dòng)方程式(3)特殊情形下的方程:

(11)

(12)

由定理1可知方程式(11)不存在極限環(huán)由于在上述振動(dòng)方程中m代表質(zhì)量,故本文只考慮參數(shù)m>0時(shí),系統(tǒng)(12)平衡點(diǎn)性態(tài)和極限環(huán)的存在性。

2　定性分析

(13)

記p=-tr(D),q=det(D)。

(i)當(dāng)c=0時(shí),系統(tǒng)只有唯一奇點(diǎn)O(0,0),將其代入式(13)得

當(dāng)a<0時(shí),有q<0,故奇點(diǎn)O(0,0)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn);

當(dāng)a>0,b>0,b2-4ma>0時(shí),有p>0,q>0,p2-4q>0,故奇點(diǎn)O(0,0)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);

當(dāng)a>0,b<0,b2-4ma>0時(shí),有p<0,q>0,p2-4q>0,故奇點(diǎn)O(0,0)為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn);

當(dāng)a>0,b>0,b2-4ma≤0時(shí),有p>0,q>0,p2-4q≤0,故奇點(diǎn)O(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)或穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)或穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn);

當(dāng)a>0,b<0,b2-4ma≤0時(shí),p<0,q>0,p2-4q≤0,故奇點(diǎn)O(0,0)為不穩(wěn)定焦點(diǎn);或不穩(wěn)定臨界結(jié)點(diǎn)或不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn);

當(dāng)a>0,b=0時(shí),有p=0,q>0,故奇點(diǎn)O(0,0)為中心。

當(dāng)a=0時(shí),系統(tǒng)(12)有奇線y=0。有關(guān)奇線的性態(tài)在這里不予分析。

當(dāng)a=0,c≠0時(shí),有q=0,故奇點(diǎn)O(0,0)是高階奇點(diǎn),采用小參數(shù)擾動(dòng)法[2]來(lái)分析高階奇點(diǎn)的類型。

引入?yún)?shù)ε,0<ε?1,考查輔助系統(tǒng)

(14)

經(jīng)判斷后可得M1是鞍點(diǎn);M2為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。當(dāng)ε無(wú)限靠近時(shí)M1和M2均向O點(diǎn)逼近。當(dāng)ε→0時(shí)式(14)就變?yōu)?/p>

(15)

此時(shí)M1和M2在O點(diǎn)重合,從而形成鞍結(jié)點(diǎn)。

定理4當(dāng)b≠0時(shí),對(duì)于系統(tǒng)式(12)中任何參數(shù)都不存在閉軌線和奇異閉軌線;當(dāng)b=0時(shí),系統(tǒng)式(12)必存在閉軌線。

(16)

取Duluc函數(shù)B(x,y)=e-2Dx，且當(dāng)B≠0時(shí)，即b≠0時(shí)，有

恒成立,故由引理2可知當(dāng)b≠0時(shí),對(duì)于任何參數(shù),系統(tǒng)式(12)都不存在閉軌線和奇異閉軌線。

當(dāng)B=0,即b=0時(shí),系統(tǒng)(16)是可積的,存在連續(xù)的首次積分。

(i)當(dāng)D=0且B=0時(shí),存在連續(xù)的首次積分

其中c0為任意常數(shù)。

(ii)當(dāng)D≠0，B=0時(shí),也存在連續(xù)首次積分。

首先將方程式(16)化為:

(Ax-Cx2-Dy2)dx+ydy=0

(17)

記M(x,y)=Ax-Cx2-Dy2,N(x,y)=y。

由文獻(xiàn)[10]，利用積分因子，將式(9)轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程后，可以采用通積分求出式(8)或式(9)的通解。經(jīng)計(jì)算:

故式(17)的一個(gè)積分因

μ(x,y)=e∫-2Ddx=e-2Dx，

則式(17)轉(zhuǎn)化為一個(gè)恰當(dāng)方程:

μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0。

(18)

對(duì)于恰當(dāng)方程(18)可求得通積分u(x,y)=c,它同時(shí)滿足

(19)

(20)

對(duì)式(19)關(guān)于x積分得到

(21)

將u(x,y)代入式(20)可得

并代入式(21)，可得

所以方程(17)的通解為

其中c1為任意常數(shù)。故方程式(17)的一個(gè)連續(xù)首次積分為

根據(jù)定理3可得:當(dāng)B=0時(shí),即b=0時(shí),O(0,0)為其對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)。結(jié)合引理3可得:當(dāng)b=0時(shí),O(0,0)必為中心,故系統(tǒng)必存在閉軌線。定理3和4的結(jié)論對(duì)文獻(xiàn)[2]作了進(jìn)一步補(bǔ)充。

3　結(jié)　論

由于奇點(diǎn)附近軌線分布的復(fù)雜性,對(duì)其研究是定性分析的重要部分,此外它反映了客觀世界中重要的靜止平衡狀態(tài),有著重要的應(yīng)用價(jià)值[11-13];其次閉軌線,奇異閉軌線和極限環(huán)在研究定性結(jié)構(gòu)中扮演著重要角色，反映了現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的周期振蕩現(xiàn)象。

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(編輯亢小玉)

The qualitative analysis of a type of Nonlinear vibration equation

LI Peng, DOU Ji-hong, ZHONG Wen-lin, LU Ke-ying

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

To do qualitative analysis of and exploration for a special type of vibration equation, at last the promotion and extension of the equation were done.The determinant of trace rule, small parameter perturbation, the first integral and Bendixson-Dulac discriminant are applied into the analysis on the vibration equation for qualitative analysis. Under different parameters, the number and type of singularities was proved.In the sequel, to prove that the equation for any parameters doesn′t exist closed trajectories and the singular closed trajectories. The obtained results improve and expand the related known works.

vibration equation; qualitative analysis; closed trajectories; limit cycle; Dulac discriminant method

2015-04-03

西北大學(xué)研究生自主創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(YZZ14083)；陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(CU063120603000)

李鵬，男，山西忻州人，從事微分方程定性與穩(wěn)定性研究。

竇霽虹，女，陜西西安人，教授，從事微分方程定性理論研究。

O175.12

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-04-001