變式延伸，拓展講評(píng)內(nèi)容，提高試卷講評(píng)效率

盛建武

試題由于受考試卷面、考試時(shí)間等的限制，試卷不可能涉及所學(xué)知識(shí)的全部。命題者往往以點(diǎn)帶面來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)與能力。在進(jìn)行試卷講評(píng)時(shí)，教師僅僅停留在知識(shí)點(diǎn)的層面上，就題論題，沒(méi)有知識(shí)的歸納總結(jié)與拓展提升，缺乏知識(shí)的系統(tǒng)性。學(xué)生的收獲是只會(huì)解一道題，不能旁通一類題，顯然這種就題論題的講評(píng)是不可取的。

講評(píng)課涉及的內(nèi)容都是學(xué)生已學(xué)過(guò)的知識(shí)，但評(píng)講內(nèi)容決不應(yīng)是原有形式的簡(jiǎn)單重復(fù)，必須有所變化和創(chuàng)新。在設(shè)計(jì)講評(píng)方案時(shí)，對(duì)于同一知識(shí)點(diǎn)應(yīng)多層次、多方位加以解剖分析，同時(shí)注意對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)、提煉升華，以嶄新的面貌展示給學(xué)生，在掌握常規(guī)思路和解法的基礎(chǔ)上，啟發(fā)新思路，探索巧解、速解和一題多解，讓學(xué)生感到內(nèi)容新穎，學(xué)有所思，思有所得。通過(guò)講評(píng)，訓(xùn)練學(xué)生由正向思維向逆向思維、發(fā)散思維過(guò)渡，提高分析、綜合和靈活運(yùn)用能力。同時(shí)，針對(duì)試卷中具有較大靈活性和剖析余地的典型試題要作進(jìn)一步“借題發(fā)揮”，引起學(xué)生思維的發(fā)散，開拓思考的視野，從而促進(jìn)其創(chuàng)新素質(zhì)的提高。

一、一題多解：訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性

對(duì)于試題中的典型題目，教師應(yīng)把學(xué)生的解題途徑作為素材提煉、擴(kuò)充、變通，使學(xué)生多方位、多角度地掌握解題的途徑，從中頓悟出題目的本質(zhì)來(lái)，增強(qiáng)解題悟性，激發(fā)學(xué)生思維。

案例1： 已知：在△ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=CF，EF交BC于點(diǎn)D。求證：DE=DF。

這是一題典型的證明兩線段相等的幾何問(wèn)題。在講評(píng)時(shí)，我讓學(xué)生自己來(lái)講解解題思路，充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，使學(xué)生的思維應(yīng)變能力得到充分的鍛煉和培養(yǎng)。

生1：（利用平移法構(gòu)造全等三角形證明）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AF交BC于點(diǎn)G，得∠1=∠2=∠B，因此EB=EG=FC，由平行線的性質(zhì)得∠3=∠4，∠5=∠6，所以△EGD≌△FCD，從而證得結(jié)論DE=DF；

生2：（利用三角形的中位線定理證明）如圖2，過(guò)E點(diǎn)作EG∥BC交AC于點(diǎn)G，由∠B=∠ACB得到梯形EBCG為等腰梯形，而EB=CF，則GC=CF，因此CD為△FEG的中位線，從而證得結(jié)論DE=DF；

生3：（利用平行四邊形的性質(zhì)證明）如圖3，過(guò)F作FG∥BA交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，得∠3=∠4，從而FC=FG，又已知FC=BE，得FG=BE，所以四邊形BFGE為平行四邊形，從而證得結(jié)論DE=DF；

生4：（利用相似三角形證明）如圖4，過(guò)E作EG∥AF交BC于點(diǎn)G，得△EGD∽△FCD，又∠1=∠2=∠B，所以EB=EG=FC，即DE∶DF = EG∶FC = 1∶1，從而證得結(jié)論DE=DF。

以上四種證法分別用到了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等。體現(xiàn)了知識(shí)的縱向、橫向的結(jié)合，輔助線的添設(shè)也各有特色，展示了證明兩線段相等問(wèn)題的一般規(guī)律。這樣的講評(píng)，不僅使學(xué)生真正掌握此類問(wèn)題的解法，更重要的是訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性與選擇性。

二、一題多問(wèn)：訓(xùn)練學(xué)生思維的廣闊性

為提高講評(píng)課的效果，教師應(yīng)充分挖掘試題的深度與廣度，擴(kuò)大試題的輻射面，把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線，形成知識(shí)鏈，以達(dá)到“解答一題，聯(lián)通一片”目的。

案例2：如圖5，已知點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACM，△BCN都是等邊三角形。求證：AN=BM。

本題的證明不難，只需證△ACN≌△MCB即可。但在講評(píng)時(shí)，我并沒(méi)有到此為止，而是趁熱打鐵，充分挖掘試題的價(jià)值，讓學(xué)生結(jié)合圖形，深入探討以下問(wèn)題：

（1）圖形中的全等三角形有幾對(duì)？（△ACN≌△MCB，△ACD≌△MCE，△DCN≌△ECB）

（2）連結(jié)DE，猜想△CDE的形狀；（△CDE是等邊三角形）

（3）猜想DE與AB的位置關(guān)系；（DE∥AB）

（4）若AN與BM交于點(diǎn)O，求∠AOM的度數(shù)；（∠AOM = 60°）

（5）取AN的中點(diǎn)G，BM的中點(diǎn)H，連結(jié)CG，CH，GH，求證：△ACG≌△

MCH；

（6）猜想△CGH的形狀；（△CGH是等邊三角形）

（7）若將三角形△CBN繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a（a為銳角）后，以上結(jié)論是否還成立？為什么？

（8）若將圖中的“等邊三角形”改為“正方形”，以上探討的結(jié)論還成立嗎？（限于篇幅，問(wèn)題（7）、（8）留給讀者思考）

經(jīng)過(guò)上述探討、證明，涉及了更多的知識(shí)，從而使學(xué)生的思維在不斷地深化，讓學(xué)生及時(shí)弄懂未掌握的知識(shí)，并在消化過(guò)程中學(xué)到了新知識(shí)，培養(yǎng)探究創(chuàng)新能力。

三、一題多變：訓(xùn)練學(xué)生思維的變通性

一題多變是變式教學(xué)的重要形式，它有助于學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，從中尋找他們之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索出一般規(guī)律，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì)和應(yīng)變能力。因此，試卷講評(píng)時(shí)要通過(guò)原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性、相反性的問(wèn)題，加強(qiáng)知識(shí)的縱橫聯(lián)系，加大知識(shí)攝入量，實(shí)現(xiàn)“以少勝多”。

案例3： 如圖6，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，若∠A = 60°，則∠BPC = °。

本題是一道有關(guān)三角形內(nèi)角平分線知識(shí)的常規(guī)題型，并不是很難。但在講評(píng)時(shí)，教師可借題發(fā)揮，延伸出更多相關(guān)的問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行探索：

問(wèn)題1：（將“兩條內(nèi)角平分線”改為“一條為內(nèi)角平分線，另一條為外角平分線”）如圖7，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，若∠A= 60°，則∠BPC = °；

問(wèn)題2：（將“兩條內(nèi)角平分線”改為“兩條外角平分線”）如圖8，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，若∠A= 60°，則∠BPC= °；

問(wèn)題4：（將“兩條內(nèi)角平分線”改為“兩條高”）如圖9，BD、CE是△ABC的兩條高，相交于點(diǎn)P，試探討∠BPC與∠A之間的關(guān)系。（∠BPC= 180°-∠A）

本題講評(píng)對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了有效的拓展與遷移，通過(guò)對(duì)該知識(shí)聯(lián)系到的相似知識(shí)和相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行比較，鑒別和再認(rèn)識(shí)，以培養(yǎng)學(xué)生舉一反三，融會(huì)貫通的能力。

四、多題一解：訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性

通過(guò)多題一解讓學(xué)生概括基本規(guī)律，可以培養(yǎng)學(xué)生求同存異的思維能力。許多數(shù)學(xué)習(xí)題看似不同，但他們的內(nèi)在本質(zhì)，或者說(shuō)是解題的思路、方法是一致的，這就要求教師在試卷講評(píng)中重視對(duì)這類題目的收集、比較，引導(dǎo)學(xué)生尋求通法、通解，并讓學(xué)生感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思想方法。

案例4：如圖10，有一個(gè)圓柱，它的高為12厘米，底面半徑為3厘米，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，需要爬行的最短路程是 厘米。（π的值取3）

解此題應(yīng)將圓柱側(cè)面展開后，依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理求出線段AB的長(zhǎng)即可。此類問(wèn)題的解法還可以推廣到正方體、長(zhǎng)方體、臺(tái)階等情境中。

問(wèn)題1：如圖11，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方體表面爬行到點(diǎn)B處，若正方體的棱長(zhǎng)為4厘米。則螞蟻需要爬行的最短路程是 厘米。

問(wèn)題2：如圖12，在長(zhǎng)方體中，AC = 3cm，CD = 5cm，DB =6cm，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬行到點(diǎn)B處。則螞蟻需要爬行的最短路程是 cm。

問(wèn)題3：如圖13是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)、寬、高分別是20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿臺(tái)階表面爬行到點(diǎn)B處。則螞蟻需要爬行的最短路程是 dm。

以上問(wèn)題雖然思維方式有所不同，但本質(zhì)是一致的，考查的都是轉(zhuǎn)化思想（由立體轉(zhuǎn)化成平面），運(yùn)用的知識(shí)都是勾股定理，通過(guò)這樣的講評(píng)能使學(xué)生達(dá)到做一題，學(xué)一法，會(huì)一類的效果。

五、結(jié)論推廣：訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)展性

試卷講評(píng)時(shí)，教師應(yīng)充分挖掘試題的潛在功能，對(duì)一些重要的結(jié)論應(yīng)不失時(shí)機(jī)地加以推廣，以完善知識(shí)體系，拓展解決問(wèn)題的思維空間。

案例5： 如圖14，點(diǎn)C在線段AB上，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和CBGF，連接AF、BD，試問(wèn)AF與BD有何關(guān)系？為什么？

本題通過(guò)證△ACF≌△DCB，可得AF=BD，AF⊥BD。但在試題講評(píng)時(shí)，我沒(méi)有就題論題，而是對(duì)所得的結(jié)論進(jìn)行推廣與拓展，以使學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)展思維能力。

（1）如果點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，所得的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形，并說(shuō)明理由。

（2）如果點(diǎn)C不在直線AB上時(shí)（點(diǎn)C在直線AB的上方或下方），AF與BD的關(guān)系是否仍然成立？

（3）若將圖中的正方形CBGF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，AF與BD的上述關(guān)系是否還成立？

通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行一圖多變的發(fā)散性變化，讓學(xué)生在圖形的變化過(guò)程中感受靜與動(dòng)，變與不變的辨證統(tǒng)一關(guān)系，讓學(xué)生在體會(huì)數(shù)學(xué)奧妙的同時(shí)，提高自主探究的能力。

（作者單位：湖南省長(zhǎng)沙市開福區(qū)教育科研培訓(xùn)中心）