丁毓，謝建明，李小南*

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區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣

丁毓，謝建明，李小南*

(西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西安市郵編；710071)

圖與擬陣有著密切的聯(lián)系。本文研究區(qū)間值模糊圖與模糊擬陣之間的關(guān)系。對于任意一個區(qū)間值模糊圖，通過區(qū)間排序誘導(dǎo)出一個模糊圖。由截模糊圖得到一系列分明圖，又因為每個分明圖都可以得到一個圈擬陣，從而可獲得擬陣序列。最后由擬陣序列構(gòu)造出一個模糊擬陣。最后指出區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系。

區(qū)間排序；區(qū)間值模糊圖；模糊擬陣；擬陣序列

引言

自1965年Zadeh[1]提出模糊集合的概念以后，諸多的數(shù)學(xué)工作者開始致力于模糊集合的數(shù)學(xué)理論研究，開辟了許多模糊數(shù)學(xué)的研究方向和領(lǐng)域。現(xiàn)在模糊集合幾乎滲入了基于經(jīng)典集合論的所有純數(shù)學(xué)分支中，如拓?fù)?、代?shù)、幾何、算術(shù)、測度論、概率論、范疇論等。在1975年，Zadeh[2]提出了區(qū)間值模糊集的概念。同年，作為歐拉圖論的一個分支，Rosenfeid[3]提出了模糊圖的概念、定義了模糊集之間的模糊關(guān)系，并將分明圖論中許多概念和結(jié)論推廣到了模糊圖理論中。此后國內(nèi)外不少學(xué)者也都致力于模糊圖理論的研究，提出了許多新見解、新理論、新方法。關(guān)于模糊圖理論及應(yīng)用方面的進展可參見文獻[4]。之后，許多學(xué)者提出了各種模糊集的推廣理論。例如，區(qū)間值模糊集和直覺模糊集是模糊集合的兩種重要的推廣，且這兩種模糊集的推廣理論現(xiàn)在已經(jīng)和圖論的研究結(jié)合在了一起，參見Akram和Dudek[5]。

擬陣首先由Whitney[6]提出。作為同時推廣了圖和向量空間中的某種獨立結(jié)構(gòu)，擬陣和圖及向量空間有著密切的關(guān)系。1988年，Goetschel和Voxman[7]首次定義并研究了模糊擬陣。既然圖和擬陣有如此密切的聯(lián)系，那么研究模糊圖包括區(qū)間值模糊圖和直覺模糊圖，與模糊擬陣的聯(lián)系就是非常自然的事情了。本文將研究區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣之間的聯(lián)系。

本文首先考慮區(qū)間的排序問題，通過某種規(guī)則將區(qū)間值模糊圖中的邊排序，然后根據(jù)邊的權(quán)序截得到一列分明圖，進而得到一列分明擬陣。根據(jù)模糊集的分解定理，可由分明擬陣列構(gòu)造一個模糊集族，最后證明了這個模糊集族構(gòu)成一個模糊擬陣。這樣就建立了區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣之間的聯(lián)系。

1 預(yù)備知識

定義1.1 設(shè)U是論域，稱映射

定義1.2 (Oxley[8]) 擬陣是這樣一個二元組(),其中E是一個有限的集合，I是集合E的一個非空子集族，且滿足以下兩個條件：

設(shè)M=(E,I)是一個擬陣。集合I中的元素被稱作擬陣M的獨立集。

定義1.3 (Goetschel和Voxman[7]) 設(shè)X是一個有限集，且是一個非空的模糊集族，滿足以下條件

定義1.4 設(shè)是一個非空有限集合，是由中元素組成的無序?qū)Γ瑒t稱（,）為一個（分明）圖。中的元素稱為圖的頂點，中的元素稱為邊。

定義1.5 區(qū)間值模糊圖[5]：設(shè)是一個非空有限集,是的子集。設(shè)，分別是和上區(qū)間值模糊集，且滿足

(4)

2 區(qū)間值模糊圖誘導(dǎo)模糊擬陣

特別地：

圖1 區(qū)間值模糊圖G=(A,B)

模糊圖是一種特殊的賦權(quán)圖，而區(qū)間值模糊圖又是模糊圖的推廣，權(quán)值由點變?yōu)閰^(qū)間。對于一個區(qū)間數(shù)，取其點為代表元（根據(jù)不同的實際情況可適當(dāng)取值，一般情況下可取=1/2），用代表元來表示這個區(qū)間數(shù)，則區(qū)間值模糊圖G=（A,B）可以表示為成為一個模糊圖=，稱之為由區(qū)間值模糊圖誘導(dǎo)出的點模糊圖。

例2.1 設(shè)=（,）（如圖1所示）是一個區(qū)間值模糊圖，求它誘導(dǎo)的模糊圖。取0.5 。

注意本文所涉及的集合都是有限集，因此由模糊圖誘導(dǎo)出的擬陣的個數(shù)也是有限的。通過命題2.1 還可以得出下面的推論。

注2.1 區(qū)間值模糊圖每條邊的權(quán)值為區(qū)間。這里 采用的是區(qū)間數(shù)的序，而且前面已經(jīng)指出 常常取為1/2。這樣就產(chǎn)生了兩個問題：

1.若采用其它的區(qū)間數(shù)排序方法，也會得到相應(yīng)的分明圖序列從而產(chǎn)生分明擬陣序列，那么這樣得到的擬陣序列和采用本文中用到的方法有何區(qū)別？

2.本文中取為1/2，那么若取其它值，得到的分明擬陣列會不同嗎？

對于第一個問題，也即采用其它的區(qū)間數(shù)排序法來討論區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣的聯(lián)系，將是 以后的一個研究課題。對于第二個問題， 很容易舉例說明，取值不同，得到的分明擬陣序列有可能不同。

所以，對于任意的一個區(qū)間值模糊圖=（,），其誘導(dǎo)的點模糊圖為，取其基礎(chǔ)序列中的每一個數(shù)()，都可以截得一個分明圖，是分明圖的圈擬陣，其獨立集族為，令。則，…，是上的擬陣序列，且滿足條件，其中。

在接下來的例子中將會發(fā)現(xiàn)對于不同的區(qū)間值模糊圖，卻有可能誘導(dǎo)出相同的擬陣序列。

例2.3考慮圖4中的兩個區(qū)間值模糊圖（a）和（b）。

（a）?????? ??????(b)

圖5 模糊圖（a）和(b)誘導(dǎo)的模糊圖

任意給一個區(qū)間值模糊圖G=（A, B），就會存在唯一的一個擬陣序列與之對應(yīng)。而又可以由模糊集的分解定理:設(shè)是一個論域U上的模糊集，對于任意的，有可得。如果知道一個模糊集的所有a-截集，那么就可以通過它的a-截集來反過來求出這個模糊集。

解：

故

由上述的討論知道，任意給一個區(qū)間值模糊圖，都可以得到其全部由a-截得的獨立集序列（有限）。因此可以用模糊集的分解定理構(gòu)建一個“模糊獨立集族”（類似例2.4的方法）。接下來給出一個例子來詳細(xì)說明。

例2.5依然考慮例2.1中的區(qū)間值模糊圖。

證明：區(qū)間值模糊圖G=(A,B)的每條邊的權(quán)值為區(qū)間。根據(jù)定義2.1中介紹的區(qū)間的排序，可知此區(qū)間值模糊圖在經(jīng)過排序后可以看作等價于一個模糊圖，即此時邊的權(quán)值為[0,1]中的數(shù)。由前所述，此時可以誘導(dǎo)出一個分明圖列，進而誘導(dǎo)出以個擬陣序列。由命題2.1這樣的擬陣序列是單調(diào)的。最后由[7]中定理2.3可知是某個模糊擬陣的模糊獨立集族，即是一個模糊擬陣。

3 區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣的對應(yīng)關(guān)系

上節(jié)給出了從區(qū)間值模糊圖構(gòu)造模糊擬陣的方法，本節(jié)指出區(qū)間值模糊圖和模糊擬陣不是一一對應(yīng)的。下面 先看一個例子。

例 3.1 考察圖6和圖7中的兩個區(qū)間值模糊圖。設(shè)圖6導(dǎo)出的模糊擬陣為。則容易驗證

圖 6 區(qū)間值模糊圖G

圖7 區(qū)間值模糊圖G2

注 3.1 本文中所提出的從區(qū)間值模糊圖導(dǎo)出模糊擬陣的方法是建立在區(qū)間值數(shù)的排序法基礎(chǔ)上的（）。本節(jié)給出了兩個不同區(qū)間值模糊圖導(dǎo)出同一個模糊擬陣的例子，其實 還可以給出不同的區(qū)間值模糊圖由取不同值而導(dǎo)出同一個模糊擬陣的例子。

4 結(jié)語

模糊圖理論是經(jīng)典圖論的推廣。目前在模糊圖論的應(yīng)用領(lǐng)域的研究已經(jīng)極為廣泛，比如聚類分析、系統(tǒng)分析、神經(jīng)網(wǎng)路、地理信息系統(tǒng)等。區(qū)間值模糊圖則是模糊圖論的一個重要推廣，在某些問題上有一些較模糊圖更好的性質(zhì)。本文研究了區(qū)間值模糊圖與模糊擬陣之間的關(guān)系。任意給一個區(qū)間值模糊圖G=(A,B)，提出了一種構(gòu)造模糊擬陣的方法。下面列出下一步要進行的工作：

(1) 如前所述，本文從區(qū)間值模糊圖構(gòu)造模糊擬陣的關(guān)鍵一步是對區(qū)間數(shù)排序。現(xiàn)在已有許多區(qū)間數(shù)排序的方法，那么用不同于本文所采用的序法從區(qū)間值模糊圖出發(fā)所得到的模糊擬陣與本文中的模糊擬陣有何關(guān)系？

(2) 現(xiàn)在已經(jīng)有多種圖的推廣理論，例如模糊圖，直覺模糊圖、區(qū)間值直覺模糊圖等（參考[10]）。是否可以由這些圖的推廣理論用類似本文的方法誘導(dǎo)出模糊擬陣？

（3）G-V模糊擬陣的研究已經(jīng)取得了很多重要成果（參考[11,12]）。研究基于區(qū)間值模糊圖的導(dǎo)出擬陣的性質(zhì)是一個值得研究的課題。

[1] Zadeh L A. Fuzzy sets [ J]. Information Control, 1965, 8: 338- 353.

[2] Zadeh L A. The concept of a Linguistic variable and its application to approximate reasoning I [ J ]. Information Science, 1975, 8: 199- 249.

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[12] Li X N, Yi H J, Fuzzy bases of fuzzy independent set systems, Fuzzy sets and systems, Inpres

Interval-Valued Fuzzy Graphs and Fuzzy Matroids

DING Yu, XIE Jianming, LI Xiaonan

(College of mathematics and statistics, Xidian University, 710071, China;)

Graphs and matroids have a close relationship. In this paper, we study the relation between interval valued fuzzy graph and fuzzy matroid. For any interval valued fuzzy graph, it can induce a fuzzy graph by interval ordering. And then a sequence of crisp graphs can be obtained by cuts of the fuzzy graph. Since a crisp graph can induce a cycle matroid, a sequence of matroids will be constructed. We finally construct a fuzzy matroid from the induced sequence of matroids. Finally, we point out that there is no one-to-one correspondence between interval-valued fuzzy graphs and fuzzy matroids.

Interval ranking; interval-valued fuzzy graph; fuzzy matroids; matroid sequence

672-9129(2016)01-0001-05

O151

A

2016-06-14；

2016-06-23。

國家自然科學(xué)基金青年基金（No.61202178）。

丁毓(1993-)，女，新疆伊犁人，2016級碩士；謝建明（1990-），男，新疆石河子人，2015級碩士；李小南(1981-)，男，陜西西安人，副教授，主要研究方向：擬陣推廣理論、粗糙集及三支決策。

(*通信作者電子郵箱：lxn2007@163.com)