周艷麗

(國防科技大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙　410073)

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極性分子晶體的振動(dòng)模式及其頻譜結(jié)構(gòu)

周艷麗

(國防科技大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙410073)

討論了一維極性分子晶體晶格運(yùn)動(dòng)的簡正模式與頻譜結(jié)構(gòu)，分別針對(duì)一維均勻和非均勻晶體鏈給出了理論計(jì)算方法以及數(shù)值計(jì)算結(jié)果，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)的討論與分析.

簡正模式；極性分子；一維非均勻晶體；一維均勻晶體；模式頻率

在固體物理、理論物理以及大學(xué)物理等多門物理學(xué)課程中，簡正模式是一個(gè)很重要的概念[1-3]. 它是人們?cè)诳紤]兩個(gè)或多個(gè)耦合振子的運(yùn)動(dòng)時(shí)引入的.我們知道，對(duì)于一個(gè)具有多個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度的復(fù)雜系統(tǒng)來說，其一般運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)非常復(fù)雜，因?yàn)闆]有一個(gè)部分的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng).但是，如果其運(yùn)動(dòng)方程是線性的，則該體系的最一般運(yùn)動(dòng)就是多個(gè)同時(shí)發(fā)生的獨(dú)立的簡諧運(yùn)動(dòng)的疊加. 我們把這些獨(dú)立的簡諧運(yùn)動(dòng)稱為簡正模式，簡稱為模式[3-5]. 簡正模式就像一個(gè)“擴(kuò)展”的諧振子，它的所有組成部分都以相同的頻率和相位振動(dòng).

大多數(shù)大學(xué)物理教材一般只對(duì)少體耦合系統(tǒng)如耦合擺，以及連續(xù)體系如繩子等宏觀物理系統(tǒng)的簡正模式進(jìn)行了較詳細(xì)的講解. 其實(shí)除了宏觀物理系統(tǒng)，微觀量子系統(tǒng)的一般微擾運(yùn)動(dòng)也可以寫成它的所有各個(gè)模式的疊加，每個(gè)模式的振幅和相位都由初始條件決定. 本文針對(duì)極性分子晶體這樣一種量子系統(tǒng)[6-8]，來討論它的簡正模式以及頻譜結(jié)構(gòu)，并詳細(xì)地給出了理論計(jì)算方法和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，這對(duì)我們更形象直觀地理解微觀量子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況是有意義的.

極性分子又稱有極分子.由于其正電荷系的中心與負(fù)電荷系的中心不重合[9]，極性分子具有內(nèi)稟電偶極矩，所以極性分子之間存在偶極-偶極相互作用[10].人們已經(jīng)證明，在低溫情況下，極性分子的正負(fù)電荷中心會(huì)在電場的作用下發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，以期順著外電場的方向，即偶極矩的排列變得有秩序了，有序的極性分子會(huì)因相排斥的偶極-偶極相互作用而形成一種穩(wěn)定結(jié)構(gòu)[6].在這種狀況下，如果極性分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能小于其受到的勢(shì)能，每個(gè)分子將會(huì)在其平衡位置附近做相互關(guān)聯(lián)的微擾運(yùn)動(dòng)，我們稱這種狀態(tài)為晶體相[10].晶體中各個(gè)分子之間的這種相互關(guān)聯(lián)的微擾運(yùn)動(dòng)就可以用集體振動(dòng)模式——簡正模式來描述. 在低溫條件下，晶體中的分子運(yùn)動(dòng)即晶格運(yùn)動(dòng)可以量子化，其中每種簡正模式的能量量子就是聲子，聲子的頻率就等于簡正模式的頻率[10].

為了形成分子晶體，除了極低溫之外，還需要外加囚禁勢(shì)將分子限制在有限范圍內(nèi)，以保證分子在平衡位置附近作微擾運(yùn)動(dòng). 在理論研究方面，比較具有代表性的是一維均勻分子晶體和一維非均勻分子晶體，在實(shí)驗(yàn)上這兩種晶體結(jié)構(gòu)分別可以通過施加弱囚禁勢(shì)和諧勢(shì)阱來產(chǎn)生[10]. 關(guān)于這種晶體相的研究，不僅涉及到凝聚態(tài)物理、原子分子物理等領(lǐng)域，甚至也是近期非常熱門的量子操控、量子模擬等方向的研究重點(diǎn)[11-14]. 在文獻(xiàn)[15]中，作者研究了一維量子系統(tǒng)——離子晶體鏈的晶格運(yùn)動(dòng)和頻譜結(jié)構(gòu). 與離子之間的相互作用是距離平方反比的庫侖力不同，極性分子之間是距離4次方反比的偶極-偶極力. 本文將針對(duì)一維分子晶體鏈展開討論，分別研究非均勻與均勻一維晶體的簡正模式與模式的頻譜結(jié)構(gòu)，討論分子個(gè)數(shù)對(duì)頻譜結(jié)構(gòu)的影響，以及兩種晶體結(jié)構(gòu)之間的差異.

1　一維非均勻晶體

考慮一個(gè)三維諧勢(shì)阱，其徑向囚禁頻率遠(yuǎn)大于軸向囚禁頻率，這樣極性分子的徑向運(yùn)動(dòng)將會(huì)大大地受到限制，從而沿著軸向排成線，故將這種結(jié)構(gòu)稱之為一維分子鏈.在討論其運(yùn)動(dòng)時(shí)，可近似認(rèn)為徑向運(yùn)動(dòng)被凍結(jié)，故在本文我們只討論軸向(縱向)運(yùn)動(dòng).在軸向囚禁頻率為ν的諧勢(shì)阱中，極性分子所受到的總勢(shì)能為[7-8,10-11]

(1)

其中xi為分子i在軸向的動(dòng)量和位置坐標(biāo)分量，m是分子的質(zhì)量，ν是阱的軸向囚禁頻率，μ0是極性分子的電偶極矩. 上式中第一項(xiàng)為勢(shì)阱提供的勢(shì)能，第二項(xiàng)為分子之間的偶極-偶極相互作用. 如果溫度足夠低，各個(gè)分子將會(huì)在平衡位置附近作微擾運(yùn)動(dòng)，即

(2)

分子的平衡位置由下式?jīng)Q定

(3)

(4)

將總勢(shì)能V在平衡位置處展開到二階并忽略更高階項(xiàng)，得

由于矩陣Bij是實(shí)的非負(fù)對(duì)稱矩陣，它的本征值應(yīng)該大于0，且滿足本征值方程：

(6)

(7)

(8)

(9)

表2　分子數(shù)N=2～10時(shí)矩陣Bij的本征值和對(duì)應(yīng)的本征矢

定義簡正坐標(biāo)與簡正動(dòng)量：

(10)

系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

(11)

圖1　N=2～4時(shí)一維分子鏈的(縱向)振動(dòng)模式.具有N個(gè)分子的一維分子鏈有N種模式.箭頭的方向表明各分子偏離平衡位置時(shí)振動(dòng)的方向，箭頭的(相對(duì))長短表明各分子的振幅大小

分析表2容易得出：

2) 對(duì)于第n階模式(除了質(zhì)心模和呼吸模)來說，其頻率隨著N的增大而會(huì)微弱地減小. 比如N=4時(shí)第4階模式的頻率ω4=4.82ν，N=5時(shí)的第4階模式頻率ω4=4.79ν，二者相差很小；這是因?yàn)镹越大分子之間的間距慢慢減小，導(dǎo)致相對(duì)運(yùn)動(dòng)的幅度減小，這樣分子需要的回復(fù)力減小，所以模式頻率會(huì)稍微變小.

3) 模式頻率隨著模式階數(shù)n的增大而增大. 其原因是，隨著n的增大，越多的相鄰分子對(duì)開始反步調(diào)地振動(dòng)——也就是對(duì)應(yīng)的駐波節(jié)點(diǎn)越多，并且相對(duì)位移增大，這就意味著分子所需要的單位位移的回復(fù)力將增大，所以模式頻率隨著n增大. 由于在諧勢(shì)阱中極性分子所受的勢(shì)能不均勻，各相鄰分子的平衡位置的間距不相等，且受分子數(shù)的影響，所以很難給出高階頻譜的解析形式[15]. 但是考慮到分子數(shù)N對(duì)各階頻率的影響不明顯，根據(jù)數(shù)值結(jié)果，可以擬合出高階模式的頻譜表達(dá)式：

(12)

圖2給出了N=15時(shí)，各階模式頻率的大小，其中離散點(diǎn)給出數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，線狀給出的是擬合表達(dá)式(12)的結(jié)果. 可以看到ωn幾乎隨著模式階數(shù)n線性增大，且對(duì)高階模式來說，頻譜可近似寫為線性表達(dá)式ωn=ν1.22n[10].

圖2　N=15時(shí)，一維非均勻分子晶體的頻譜結(jié)構(gòu)，其中點(diǎn)狀給出的是數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，線狀給出的是擬合式(12)的結(jié)果

2　一維均勻晶體

(13)

(14)

得到

(15)

(16)

(17)

圖3給出了各階模式的無量綱頻譜隨階數(shù)n的變化情況. 與圖2進(jìn)行對(duì)比，可以看到:

圖3　N=100時(shí)，一維均勻分子晶體的各階振動(dòng)模式的頻譜結(jié)構(gòu)

1) 同于諧勢(shì)阱中n∈[1,N]，這里n∈[-N/2,N/2]，且相同的|n|具有相同的能量；即能量是簡并的；

2) 諧勢(shì)阱中模式頻率隨n的變化幾乎是線性的，而這里則是存在最大值，且該最大值與分子數(shù)N無關(guān)，人們一般將之稱為德拜頻率

(18)

但是值得注意的是，當(dāng)n<

3) 在諧勢(shì)阱中模式頻率最小值為囚禁勢(shì)頻率，而這里模式最小頻率為零. 這是因?yàn)樵谥C勢(shì)阱中分子總會(huì)受到外加的囚禁勢(shì)所產(chǎn)生的回復(fù)力的作用，而在一維均勻晶體鏈情況下該外加的回復(fù)力近似為零.

3　結(jié)束語

本文討論了一維極性分子晶體鏈的簡正振動(dòng)模式和頻譜結(jié)構(gòu)，并分別對(duì)一維均勻晶體鏈和一維非均勻晶體鏈這兩種情況給出了詳細(xì)的理論計(jì)算方法和數(shù)值計(jì)算結(jié)果. 對(duì)一維非均勻晶體，我們給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果和頻譜的擬合公式，結(jié)果表明，其振動(dòng)模式的頻率隨著階數(shù)n幾乎成線性變化，但是依賴于分子總數(shù)N；而對(duì)于一維均勻晶體的振動(dòng)模式和頻率結(jié)構(gòu)，我們給出了解析形式，結(jié)果表明，其振動(dòng)模式的頻率存在最大值且不依賴于N，但是對(duì)低階模式來說，其頻譜隨階數(shù)可近似看作線性變化.

[1]黃昆,韓汝琦.固體物理學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 1998.

[2]劉年壽. 理論物理基礎(chǔ)教程[M]. 北京: 高等教育出版社，2008.

[3]張三慧. 大學(xué)物理學(xué)：熱學(xué)、光學(xué)、量子物理[M]. 3版.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[4]李承祖，楊麗佳. 大學(xué)物理學(xué)(下冊(cè))[M]北京：科學(xué)出版社，2009.

[5]F. S.克勞福德[美]. 伯克利物理學(xué)教程 (3卷上冊(cè))[M]. 北京：科學(xué)出版社，1981.

[6]Pupillo G, Micheli A, Büchler H P, et al. Cold Molecules: Creation and Applications[M]. Boca Raton: CRC Press, 2009.

[7]Pupillo G, Griessner A, Micheli A, et al. Cold Atoms and Molecules in Self-Assembled Dipolar Lattices[J]. Physical Review Letters, 2008, 100(5):050402.

[8]Micheli A, Brennen G K, Zoller P. A toolbox for lattice-spin models with polar molecules[J]. Nature Physics, 2006, 2:341.

[9]徐龍道,等. 物理學(xué)詞典[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2007.

[10]Rabl P, Zoller P. Molecular dipolar crystals as high-fidelity quantum memory for hybrid quantum computing[J]. Phys Rev A, 2007, 76: 042308.

[11]Zhou Y L, Ortner M, Rabl P. Long-range and frustrated spin-spin interactions in crystals of cold polar molecules[J]. Phys Rev A, 2011, 84: 052332.

[12]Syzranov S V, Wall M L, Gurarie V. Rey AM. Spin-orbital dynamics in a system of polar molecules[J]. Nature Communication, 2014, 5: 5391.

[13]Zhou Y L, Ou B Q, Wu W. Quantum simulating the frustrated Heisenberg model in a molecular dipolar crystal[J]. Physics Letters A, 2015, 379: 2569-76.

[14]Wen W, Wu W, Zhou Y L, et al. Energy-level structure of ion cloud and crystal in a linear Paul trap[J]. New J Physics, 2014, 16: 083041.

[15]James D F V.Quantum dynamics of cold trapped ions with application to quantum computation[J]. Applied Physics B, 1998, 66: 181-90.

The normal modes and the energy spectrums of molecular dipolar crystals

ZHOU Yan-li

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha, Hunan 410073, China)

The normal modes and phonon spectrums of an ensemble of polar molecules are discussed, which are prepared in a dipolar crystalline phase. Detailed results are presented for a one-dimensional dipolar chain trapped in harmonic trap and for a homogeneous dipolar crystal, respectively.

normal modes; polar molecules; homogeneous dipolar crystal in 1D; harmonically confined dipolar crystal in 1D; phonon spectrum

2015-08-25；

2015-12-02

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11304390)資助

周艷麗(1981—)，女，湖北宜城人，國防科技大學(xué)講師，博士，主要從事量子信息、量子光學(xué)的研究工作以及大學(xué)物理教學(xué)工作.

O 481

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1000- 0712(2016)07- 0017- 07