多塔斜拉橋交叉索的縱向約束剛度

柴生波, 肖汝誠(chéng), 王秀蘭

(1.西安科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院, 西安 710054；2. 同濟(jì)大學(xué) 橋梁系, 上海 200092；3. 長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院 , 西安 710061)

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多塔斜拉橋交叉索的縱向約束剛度

柴生波1,2, 肖汝誠(chéng)2, 王秀蘭3

(1.西安科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院, 西安 710054；2. 同濟(jì)大學(xué) 橋梁系, 上海 200092；3. 長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院 , 西安 710061)

為明確交叉索對(duì)于提高多塔斜拉橋剛度的效果，建立帶跨中交叉索多塔斜拉橋的力學(xué)模型. 選取一個(gè)主跨作為隔離體，并將部分交叉索等效為豎向彈簧，研究交叉索的作用機(jī)理，推導(dǎo)交叉索對(duì)橋塔縱向約束剛度的解析公式. 研究表明，當(dāng)橋塔發(fā)生縱橋向位移時(shí)，梁段重量在交叉索中重新分配，導(dǎo)致交叉索的索力發(fā)生改變，從而產(chǎn)生對(duì)橋塔的約束作用. 交叉索對(duì)橋塔的約束作用取決于交叉索的長(zhǎng)度，水平投影長(zhǎng)度以及交叉索的軸向剛度. 建立三塔四跨有限元模型對(duì)解析公式進(jìn)行驗(yàn)證，有限元結(jié)果與公式理論值符合良好，公式可有效估算交叉索的縱向約束剛度. 數(shù)值分析表明，采用交叉索與增大橋塔或主梁剛度均能有效增大結(jié)構(gòu)剛度，在橋塔及主梁剛度較低時(shí)，交叉索對(duì)增大結(jié)構(gòu)剛度的效果尤其明顯.

斜拉橋；多塔；交叉索；縱向剛度；解析公式

斜拉橋是大跨度橋梁的主要橋型之一. 在跨越寬闊的海峽、河流等地形時(shí)，傳統(tǒng)兩塔斜拉橋的跨越能力難以滿足要求，建造具有多個(gè)主跨的多塔斜拉橋有可能成為技術(shù)上經(jīng)濟(jì)上更加可行的選擇. 但多塔斜拉橋的整體剛度較小，文獻(xiàn)[1-2]提出了一種通過(guò)增加斜拉索，在主跨跨中設(shè)置一個(gè)拉索交叉區(qū)來(lái)提高多塔斜拉橋剛度的措施.

多塔斜拉橋剛度不足的主要原因是中間橋塔缺少錨索的有效約束，兩側(cè)也缺少輔助墩，活載作用下橋塔及主梁容易發(fā)生較大變形[3]. 一般可通過(guò)增大塔梁剛度或增加輔助構(gòu)件以提高多塔斜拉橋的總體剛度[4-7]，如Rion-Antirion Bridge采用了剛度較大的金字塔形橋塔[8]；香港汀九橋通過(guò)增加穩(wěn)定索提高了中塔的縱橋向剛度. 嘉紹大橋則采用了調(diào)節(jié)塔梁剛度，橋塔處設(shè)置雙排支座，跨中設(shè)置剛性鉸等措施來(lái)提高結(jié)構(gòu)剛度[9]. 增大橋塔剛度是增大多塔斜拉橋剛度最直接的手段，其弊端是活載作用下橋塔要承受巨大的不平衡力，增大了橋塔及下部結(jié)構(gòu)的造價(jià). 在水深較深的河流或海峽，使用跨中交叉索比增大橋塔剛度經(jīng)濟(jì)性可能更優(yōu). 即將建成的跨越福斯灣三塔斜拉橋兩個(gè)主跨長(zhǎng)度均為650 m，采用了跨中交叉索來(lái)提高結(jié)構(gòu)剛度[10].

Gimsing曾對(duì)跨中交叉索的作用機(jī)理進(jìn)行過(guò)初步論述，認(rèn)為采用跨中交叉索的多塔斜拉橋是一階穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，當(dāng)橋塔產(chǎn)生順橋向的位移時(shí)，被交叉索懸吊的梁段重量通過(guò)在交叉索之間的重新分配提供對(duì)橋塔的約束作用[11]. 目前，針對(duì)跨中交叉索的作用機(jī)理研究尚不多見(jiàn)，交叉索對(duì)于橋塔的約束作用效果尚不明確. 本文擬建立帶交叉索多塔斜拉橋力學(xué)模型，推導(dǎo)交叉索縱橋向約束剛度的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并分析交叉索在提高多塔斜拉橋剛度方面所起的作用.

1　理論分析

帶跨中交叉索的多塔斜拉橋結(jié)構(gòu)形式,如圖1所示.

圖1　采用跨中交叉索的多塔斜拉橋立面布置

Fig.1Side view of multi-span cable-stayed bridge with crossed cables

本部分主要研究采用跨中交叉索對(duì)多塔斜拉橋中塔的縱向約束作用. 研究采用如下基本假定：1)不考慮斜拉索的垂度造成的幾何非線性效應(yīng)，索的彈性模量采用等效彈性模量. 2)活載引起的結(jié)構(gòu)變形較小，不考慮結(jié)構(gòu)變形引起拉索傾角改變. 3)塔梁之間設(shè)置縱向約束，活載作用下主梁與橋塔無(wú)縱向相對(duì)位移. 4)僅考慮拉索對(duì)橋塔的縱向約束作用，不考慮主梁抗彎剛度對(duì)橋塔縱向剛度的增強(qiáng)作用.

多塔斜拉橋中某一個(gè)主跨滿布活載而其余主跨空載時(shí)，結(jié)構(gòu)變形達(dá)到最大，如圖2所示，各跨拉索索力均有所改變，圖中“+”表示索力增大，“-”表示索力減小. 外側(cè)橋塔由于錨索的約束作用，變形較小，而中塔的變形主要取決于其自身的抗推剛度、拉索的剛度以及主梁的抗彎剛度.

圖2　活載作用下三塔斜拉橋變形

Fig.2Deformation of triple-tower cable-stayed bridge under live load

研究多塔斜拉橋中拉索對(duì)于橋塔的縱向約束作用時(shí)，采用如下方法：選取其中一個(gè)主跨及相鄰橋塔，約束其中一個(gè)橋塔的位移，在另外其中一個(gè)橋塔塔頂處施加水平力，如圖3所示，通過(guò)研究水平力與塔頂位移的關(guān)系，可獲得拉索對(duì)于橋塔的縱向約束作用. 圖3所示的是傳統(tǒng)多塔斜拉橋拉索對(duì)橋塔的約束.

圖3　拉索的約束作用圖示

由圖3可以看出，若不計(jì)主梁的抗彎剛度，則拉索對(duì)于橋塔幾乎無(wú)約束作用，此時(shí)結(jié)構(gòu)的變形依賴于橋塔本身的抗推剛度.

在研究交叉索對(duì)橋塔的約束作用時(shí)，同樣取其中一個(gè)主跨，約束左側(cè)橋塔順橋向位移，在右側(cè)塔頂施加水平力，如圖4所示. 為便于研究，對(duì)圖4中交叉索編號(hào)，與左側(cè)橋塔相連的交叉索依次為l1、l2、l3、l4，與右側(cè)橋塔相連的交叉索編號(hào)為r1、r2、r3、r4.

圖4　帶交叉拉索的主跨

圖4中，跨中部分梁段的重量由左右兩側(cè)橋塔的交叉索共同承擔(dān). 當(dāng)右側(cè)塔頂受到圖4所示的水平力作用時(shí)，橋塔發(fā)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，與右側(cè)塔頂相連的交叉索(r1、r2、r3、r4)被拉伸，跨中梁段的重量更多地分配到右側(cè)交叉索中，導(dǎo)致其索力增大，由此產(chǎn)生對(duì)橋塔的約束作用. 由此可見(jiàn)，交叉索對(duì)于橋塔的縱向約束來(lái)源于所懸吊主梁的重量在兩側(cè)交叉索中的重新分配.

為研究交叉索對(duì)橋塔的約束剛度，將與左側(cè)橋塔相連的交叉索(l1、l2、l3、l4)對(duì)主梁的豎向支撐簡(jiǎn)化為豎向的彈簧，如圖5所示，選取圖4中l(wèi)1、r1一對(duì)交叉索進(jìn)行研究，如圖6所示.

圖5　一側(cè)的交叉索等效為彈簧

圖6中，索的長(zhǎng)度為l，索的水平投影長(zhǎng)度為a，豎直投影長(zhǎng)度為h(即橋面以上橋塔高度)，索力為T(mén), 用下標(biāo)l1與r1分別表示左側(cè)與右側(cè)交叉索. 首先研究左側(cè)交叉索ll1對(duì)于所懸吊梁段的豎向剛度k1.

圖6　交叉索變形圖示

對(duì)于左側(cè)拉索，有

(1)

索長(zhǎng)對(duì)橋塔高度取偏分得

(2)

由式(2)可知，當(dāng)交叉索懸吊的梁段向上提升高度?h時(shí)，左側(cè)交叉索的伸縮量?ll1量為

(3)

索的伸縮量?ll1與索力改變量?Tl1的關(guān)系為

(4)

式中E、Al1分別為左側(cè)交叉索的彈性模量與橫截面積.

由式(3)、(4)可得

(5)

左側(cè)交叉索的索力改變量?Tl1與豎直分力改變量?Vl1的關(guān)系為

(6)

式中?Vl1為索力豎直分力的改變量.

將式(6)代入式(5)中可得

(7)

式(7)可轉(zhuǎn)換為

(8)

由式(8)可知，左側(cè)拉索l1的豎向彈簧剛度為

(9)

對(duì)于右側(cè)交叉索，有

(10)

式中l(wèi)r1為右側(cè)拉索長(zhǎng)度，ar1為右側(cè)拉索的水平投影長(zhǎng)度.

當(dāng)右側(cè)施加一個(gè)水平力F時(shí)，塔頂處水平位移為?L，水平位移來(lái)自于兩部分：一部分來(lái)自梁段的提升引起的r1的空間位置的改變，另一部分來(lái)自索r1的伸長(zhǎng).

首先求解梁段提升引起的右側(cè)塔頂位移. 式(10)中，右側(cè)拉索水平投影長(zhǎng)度對(duì)塔高求偏分，得

(11)

由式(11)可知，梁段提升?h與塔頂位移?ar1關(guān)系為

(12)

由水平力F引起的右側(cè)索力豎向分量為

(13)

由于左側(cè)拉索l1提供的豎向剛度為k1，右側(cè)拉索豎向分力引起的梁段提升為

(14)

式(9)、(13)代入式(14)得

(15)

式(15)代入式(12)可得梁端提升引起的右側(cè)交叉索塔頂處水平位移為

(16)

以下再求解索的伸長(zhǎng)引起的右側(cè)塔頂位移. 根據(jù)式(10)，索水平投影長(zhǎng)度對(duì)索長(zhǎng)求偏分得

(17)

式(17)可得右側(cè)塔頂位移?ar1與拉索伸長(zhǎng)?lr1關(guān)系為

(18)

由塔頂水平力F引起的拉索r1的索力增量為

(19)

索力增大引起的r1的伸長(zhǎng)量為

(20)

式(20)代入式(18)，可得索的伸長(zhǎng)引起塔頂?shù)乃轿灰茷?/p>

(21)

由式(16)、(21)可得由主梁提升與索的伸長(zhǎng)引起總的塔頂位移為

(22)

由式(22)可得圖6中兩根交叉索產(chǎn)生的對(duì)橋塔的縱向約束為

(23)

假定跨中處梁段共有n對(duì)交叉索分別與兩側(cè)橋塔相連，則交叉索對(duì)橋塔總的約束剛度為

(24)

即

(25)

式(25)即一個(gè)主跨的交叉索對(duì)橋塔的縱橋向約束剛度表達(dá)式，由式(25)可以看出，交叉索的約束剛度主要與以下4個(gè)因素相關(guān): 交叉索的長(zhǎng)度、水平投影長(zhǎng)度、彈性模量以及交叉索的面積. 實(shí)際上索的面積與彈性模量確定了索的軸向剛度，因此影響交叉索約束剛度的因素僅為索的長(zhǎng)度、水平投影長(zhǎng)度以及索的軸向剛度.

2　數(shù)值模擬驗(yàn)證

為了驗(yàn)證公式的精確性，建立三塔四跨斜拉橋有限元模型，跨中采用交叉索提高結(jié)構(gòu)剛度，比較有限元計(jì)算結(jié)果與本文公式計(jì)算值之間的差異. 橋跨布置為300 m +600 m +600 m+300 m，如圖7所示，橋塔材料為C50混凝土，主梁為Q345鋼箱梁，橋塔高度為250 m，其中橋面以上150 m，橋面以下100 m. 主梁抗彎慣性矩為5.7 m4，橋塔抗彎慣性矩為400 m4，單位橋長(zhǎng)重量為251.2 kN·m-1，一般拉索的橫截面積為0.008 m2，邊跨錨索橫截面積為0.032 m2，C50混凝土彈性模量為34.5 GPa，鋼箱、拉索彈性模量為200 GPa. 兩個(gè)主跨均設(shè)置交叉索，每個(gè)主跨每個(gè)索面各有6對(duì)交叉索，交叉索的立面布置如圖8所示，交叉索縱向剛度計(jì)算見(jiàn)表1.

圖7　三塔四跨斜拉橋立面布置 (m)

圖8　交叉索編號(hào)

illi/mlri/mari/mKi/(kN·m-1)1302.33369.33337.52336.102315.45355.68322.52178.593328.72342.13307.52002.014342.13328.72292.51811.455355.68315.45277.51613.036369.33302.33262.51413.19

根據(jù)表1的計(jì)算結(jié)果，一個(gè)主跨的交叉索縱向約束剛度為

(26)

拉索在橋面兩側(cè)各有一個(gè)索面，因此式中乘2. 此剛度即中塔所受的一側(cè)主跨交叉索的縱向約束剛度. 用有限元模型對(duì)本文公式進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，主梁及橋塔剛度都對(duì)結(jié)構(gòu)的變形有影響，為消除橋塔與主梁抗彎剛度的影響，約束1號(hào)塔及3號(hào)塔的縱向位移，模型中不考慮2號(hào)塔的縱向剛度(塔底設(shè)置為鉸接)，主梁抗彎慣性矩取為0.1 m4. 在2號(hào)塔塔頂施加集中力，集中力從2 000 kN增大至20 000 kN，計(jì)算塔頂位移.

塔頂位移的理論值為

(27)

其中2號(hào)塔塔頂兩側(cè)都受到交叉索縱向約束作用，因此式(27)中需除以兩倍縱向剛度. 本文理論值與有限元計(jì)算值繪于圖9中. 為保證驗(yàn)證的精確性，改變拉索的橫截面積，令橫截面積A=0.006 m2，其余參數(shù)保持不變，分別通過(guò)有限元及本文公式計(jì)算塔頂位移，同時(shí)繪于圖9中. 圖9可以看出，采用不同截面積的交叉索時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果與本文理論值均非常接近. 塔頂集中力增大至20 000 kN時(shí)，拉索截面采用0.008 m2時(shí)，塔頂位移的有限元計(jì)算值為0.449 m，本文理論值為0.440 m，相對(duì)誤差約為2%；拉索截面采用0.006 m2時(shí)，塔頂位移的有限元計(jì)算值為0.597 m，本文理論值為0.587 m，相對(duì)誤差約為1.7% 由此可以說(shuō)明式(25)用于估算交叉索的縱向約束剛度具有較高精度.

圖9　塔頂施加水平集中力時(shí)的塔頂位移Fig.9　Displacement of tower-top caused by horizontal concentrated force

3　交叉索的約束效果分析

由上述研究可知，采用交叉索能夠增大對(duì)橋塔的縱向約束作用，減小活載作用下橋塔的縱向位移. 為明確交叉索對(duì)多塔斜拉橋剛度的影響，對(duì)圖7三塔斜拉橋模型進(jìn)行修改，并對(duì)第三跨施加均布荷載(如圖7所示)，計(jì)算主梁變形，分析比較交叉索及橋塔、主梁對(duì)多塔斜拉橋剛度的影響.

模型A：采用原始模型，考慮交叉索及橋塔剛度. 模型B：在原模型基礎(chǔ)上，不考慮橋塔抗推剛度(塔底設(shè)為鉸接，橋塔僅提供豎向剛度). 模型C：去掉交叉索(去掉圖8中l(wèi)4、l5、l6、r1、r2、r3).

對(duì)模型A、B、C第三跨施加均布荷載集度40 kN/m，主梁的豎向撓度如圖10所示.

圖10　主梁豎向變形

由圖10可以看出，采用交叉索的斜拉橋(模型A)比未采用交叉索的斜拉橋(模型C)跨中撓度降低約25%. 采用交叉索而無(wú)橋塔抗推剛度的斜拉橋(模型B)比未采用交叉索的斜拉橋(模型C)跨中撓度也有所減小. 由此說(shuō)明交叉索對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響可以達(dá)到甚至超過(guò)橋塔剛度的影響.

為考察橋塔剛度的影響，改變橋塔抗彎慣性矩，橋塔抗彎慣性矩從100 m4增大至800 m4，保持其他參數(shù)不變，加載跨跨中撓度變化如圖11所示.

在無(wú)交叉索的情況下，橋塔抗彎慣性矩從100 m4增大至800 m4時(shí)，跨中撓度下降了約30%. 若不增大橋塔剛度，而采用交叉索，跨中撓度明顯減小，且減小幅度與增大橋塔剛度的效果類似. 由此可見(jiàn)，增大橋塔抗彎剛度與采用跨中交叉索均能有效增大結(jié)構(gòu)剛度.

圖11　加載跨撓度與橋塔抗彎慣性矩之間關(guān)系

Fig.11Relationship between deflection of the loaded span and bending inertia of the tower

除橋塔剛度之外，主梁的抗彎剛度對(duì)結(jié)構(gòu)總體剛度同樣具有重要影響，同時(shí)，主梁的抗彎剛度對(duì)交叉索的約束效果也會(huì)產(chǎn)生影響. 為了研究主梁剛度的影響，將主梁抗彎慣性矩折減為原來(lái)的1/10，其余參數(shù)不變，第三跨施加均布活載后主梁變形如圖12所示.

圖12　主梁抗彎剛度折減后豎向變形

Fig.12Vertical deformation after reduction of bending inertia of the girder

圖12可以看出，主梁剛度減小后，模型A、B、C的主梁撓度均明顯增大. 模型C的變形增大約60%，而模型A、B的最大撓度增大約20%～30%. 這說(shuō)明主梁的抗彎剛度對(duì)結(jié)構(gòu)總體剛度有明顯影響，但采用交叉索后，主梁剛度對(duì)總體剛度的影響有所減小.

若保持模型A、C中橋塔剛度不變，改變主梁抗彎慣性矩，比較有無(wú)交叉索兩種情況下的主梁撓度，如圖13所示.

圖13　加載跨撓度與主梁抗彎慣性矩之間關(guān)系

Fig.13Relationship between deflection of the loaded span and bending inertia of the girder

圖13可以看出，在主梁抗彎剛度較小時(shí)，有交叉索的斜拉橋主梁撓度比無(wú)交叉索時(shí)明顯減小. 隨著主梁抗彎剛度的增大，無(wú)交叉索的主梁撓度迅速減小，而有交叉索的主梁撓度減小幅度不大，有交叉索與無(wú)交叉索的主梁撓度逐漸接近. 這說(shuō)明了在主梁剛度較小時(shí)，交叉索對(duì)于提高結(jié)構(gòu)剛度具有明顯效果，而隨著主梁剛度的增大，交叉索的影響逐漸減小.

由圖11、13可以看出，增大橋塔剛度或主梁剛度均能使主梁撓度減小，但在未采用交叉索時(shí)，增大橋塔或主梁剛度對(duì)結(jié)構(gòu)變形的效果更加明顯. 在采用了交叉索之后，增大橋塔或主梁的剛度對(duì)減小撓度的效果有所降低. 說(shuō)明在增加了交叉索之后，橋塔與主梁對(duì)結(jié)構(gòu)整體剛度的影響有所減小，這也說(shuō)明交叉索對(duì)結(jié)構(gòu)剛度具有重要影響.

4　結(jié)　論

1)采用跨中交叉索的多塔斜拉橋在橋塔發(fā)生位移時(shí)，恒載在交叉索之間重新分配，據(jù)此推導(dǎo)了交叉索對(duì)橋塔約束剛度的解析公式. 研究表明,交叉索對(duì)橋塔的約束剛度與索的長(zhǎng)度、水平投影長(zhǎng)度以及索的軸向剛度有關(guān).

2)建立有限元模型對(duì)交叉索的縱向約束剛度解析公式進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明,公式理論值與有限元計(jì)算值符合較好，公式可用于多塔斜拉橋的初步設(shè)計(jì)，指導(dǎo)交叉索參數(shù)的合理取值.

3)研究了交叉索、橋塔剛度、主梁剛度對(duì)提高多塔斜拉橋剛度的影響，發(fā)現(xiàn)采用跨中交叉索、增大橋塔或主梁的抗彎剛度均能增大結(jié)構(gòu)剛度， 交叉索對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響甚至超過(guò)橋塔剛度對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響.

4)在橋塔剛度或主梁剛度相對(duì)較低時(shí)，采用跨中交叉索可以顯著增大結(jié)構(gòu)剛度. 在橋塔及主梁抗彎剛度較大時(shí)，采用跨中交叉索對(duì)提高結(jié)構(gòu)剛度的作用有所下降.

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(編輯魏希柱)

Longitudinal restraint stiffness of crossed cables in multi-tower cable-stayed bridge

CHAI Shengbo1,2, XIAO Rucheng2, WANG Xiulan3

(1.School of Architecture and Civil Engineering, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054，China; 2. Department of Bridge Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 3.School of Highway, Chang’an University, Xi’an 710061，China)

In order to figure out the effect of crossed cables, mechanical model of multi-tower cable-stayed bridge with crossed cables was established. A single main span was selected as research object and part of the crossed cables were treated as vertical springs, mechanical mechanism of crossed cables was studied and an analytic formula for calculating the longitudinal restraint stiffness of the crossed cables was deduced. The study shows that, when the tower deformed in longitudinal direction, dead load of the deck was redistributed in the crossed cables and this led to the cable force change, leading to restraint effect for tower. The restraint stiffness of the crossed cables depends on the length of the cables, projection length in horizontal direction and its axial stiffness. A finite element model of cable-stayed bridge with three towers and four spans was established to verify the formula. The numerical method shows good agreement with the formula, which indicates the formula is effective in estimate the longitudinal restraint stiffness of the crossed cables. Numerical analysis shows that using crossed cables could increase the structural stiffness of multi-tower cable-stayed bridge as well as the tower and girder. The crossed cables play more important roles in increasing the stiffness of the structure if the tower and girder have low bending stiffness.

cable-stayed bridge; multi-tower; crossed cables; longitudinal restraint stiffness; analytic formula

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.09.021

2015-01-04

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(2013CB036300);

柴生波(1983—)，男，博士，講師;

肖汝誠(chéng)(1962—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

柴生波，csbtc@163.com

U448.27

A

0367-6234(2016)09-0119-06

國(guó)家自然科學(xué)基金(51608440)