呂國(guó)

進(jìn)位制教學(xué)中的一次嘗試

在一次“進(jìn)位制”的課堂教學(xué)中，我布置了這樣一道填空題：1111（2）=___（5）。

這道題并不難，一般做法是：先把1111（2）化成十進(jìn)制數(shù)：1111（2）=23+22+21+1=15，再用“除5取余法”把15化成五進(jìn)制數(shù)30（5）。做到這里，我突然想到當(dāng)我們把1111（2）化成十進(jìn)制數(shù)時(shí)還有一種算法：1111（2）=1111（2）+1-1=10000（2）-1=24-1=15。由此推廣為：11…1（2）=11…1（2）+1-1=10…0（2）-1=2n-1，11…1（2）=2n-1+2n-2+…+1，所以1+2+…+2n-1=2n-1。

此時(shí)，如果再往前走一步，我們就可以把k進(jìn)制中“逢k進(jìn)1”的進(jìn)位法則與等比數(shù)列求和聯(lián)系起來。

例如，由

22…2（3）=22…2（3）+1-1=10…0（3）-1=3n-1，

22…2（3）=2×11…1（3）=2（3n-1+3n-2+…+1），

得2（1+3+…+3n-1）=3n-1，即

至此，我們有以下一般化的推導(dǎo)（因?yàn)槟壳爸挥姓麛?shù)進(jìn)位制，所以必須設(shè)q＞1，q∈，p=q-1）。因此，

從而對(duì)于一個(gè)首項(xiàng)為a1，公比為q（q≠1）的等比數(shù)列來說，有：n

當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)這一關(guān)系之后，我并沒有在課堂上立即完成最后的推導(dǎo)，而是把它留給學(xué)生作為課后探究作業(yè)。題目是：用進(jìn)位制原理推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式。兩天以后，有3個(gè)同學(xué)經(jīng)過合作探究找到了這種方法。

最后值得說明的是，從方法論的角度來看，用這一方法求等比數(shù)列前n項(xiàng)和比錯(cuò)位相減法更繁雜，而且從進(jìn)位制的角度來看，似乎只有當(dāng)q＞1且q∈時(shí)才能用這一方法。但是這一方法很有創(chuàng)意，它找到了十進(jìn)制數(shù)與非十進(jìn)制數(shù)的某種聯(lián)系。也許正是這種聯(lián)系為我們以后解決其他問題增添了一種新的思維方式。更重要的是，盡管這只是雕蟲小技，但是在日常教學(xué)中我們就是要善于捕捉這些思維的火花，為拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才提供一點(diǎn)幫助。也許這就是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育的核心價(jià)值。

（作者單位：株洲市四中）