劉　宸，劉長建，王　賽，許嶺峰，張學(xué)東

(1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001; 2. 65014部隊(duì)，遼寧 沈陽 110000)

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兩種新的IGGⅢ的改進(jìn)方案

劉宸1，劉長建1，王賽1，許嶺峰1，張學(xué)東2

(1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001; 2. 65014部隊(duì)，遼寧 沈陽 110000)

針對(duì)IGGⅢ等價(jià)權(quán)函數(shù)在k0處不平滑的現(xiàn)象，提出了兩種改進(jìn)方案，每個(gè)方案的等價(jià)權(quán)函數(shù)都是含有兩個(gè)調(diào)和系數(shù)的四段權(quán)函數(shù)。通過一個(gè)模擬水準(zhǔn)網(wǎng)的算例表明，改進(jìn)后的方案有效利用了可利用信息，抗差估計(jì)的結(jié)果較IGGⅢ方案更可靠，其中方案2效果最佳。

抗差估計(jì)；IGGⅢ；權(quán)函數(shù)

當(dāng)觀測值只存在偶然誤差時(shí)，可采用最小二乘法求得未知參數(shù)的最優(yōu)解；當(dāng)觀測值存在粗差時(shí)，則采用抗差估計(jì)盡可能地減免粗差的影響，得出正常模式下的最佳估值?？共罟烙?jì)的方法有很多，其中使用最廣泛、計(jì)算較簡單的是抗差M估計(jì)[1]?？共頜估計(jì)的抗差性和效率取決于參數(shù)初值的可靠性、等價(jià)權(quán)函數(shù)及其臨界值的合理性[2]。常用的等價(jià)權(quán)函數(shù)有L1法、L1-L2法、German-McClure法、Huber法、Andrews法、Welsch法、Tukey法、Danish法、Fair法、Cauchy法、Hampel法、IGG方案和IGGⅢ方案等[3]。其中，IGGⅢ方案是楊元喜院士應(yīng)用相關(guān)等價(jià)權(quán)原理構(gòu)造的類似于相關(guān)最小二乘估計(jì)的相關(guān)抗差估計(jì)解式[4-5]，近年來在各領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[6-16]。同時(shí)，劉經(jīng)南院士等專家學(xué)者針對(duì)IGGⅢ方案在應(yīng)用中存在的問題提出了相應(yīng)的改進(jìn)[17-19]。本文在IGGⅢ方案的基礎(chǔ)上，提出了兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)，并采用改進(jìn)前后的等價(jià)權(quán)函數(shù)進(jìn)行模擬水準(zhǔn)網(wǎng)試驗(yàn)，再進(jìn)行抗差估計(jì)。試驗(yàn)結(jié)果表明，采用改進(jìn)后的等價(jià)權(quán)因子進(jìn)行抗差估計(jì)的結(jié)果更為可靠。

一、IGGⅢ方案

IGGⅢ方案是楊元喜院士提出的類似于相關(guān)最小二乘估計(jì)的相關(guān)抗差估計(jì)方案，該方案將觀測數(shù)據(jù)按照質(zhì)量劃分成有效信息、可利用信息和有害信息3類，并對(duì)有效信息采用效率較高的LS估計(jì)，對(duì)可利用的信息采用降權(quán)估計(jì)，對(duì)有害信息采用零權(quán)估計(jì)，基本上達(dá)到了充分利用有效信息、限制利用可疑信息和排除有害信息的抗差估計(jì)原則。

當(dāng)觀測值相互獨(dú)立時(shí)，設(shè)觀測值原始權(quán)陣為

(1)

IGGⅢ權(quán)函數(shù)[4-5]為

(2)

(3)

式中，median()為取中位數(shù)的函數(shù)。

二、IGGⅢ方案的改進(jìn)

抗差估計(jì)的原則是要充分利用有效信息，限制可用信息，排除有害信息，在假定的模型下，獲得可靠、有效、具有實(shí)際意義的參數(shù)估值[1]。IGGⅢ權(quán)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在k0處不連續(xù)，導(dǎo)致了IGGⅢ權(quán)函數(shù)(如圖1所示)在k0處不平滑，也使得k0附近的可利用信息在抗差估計(jì)中不能充分得到利用。

針對(duì)IGGⅢ方案存在的這一現(xiàn)象，本文提出了以下兩種改進(jìn)方案。各方案均由4段分段函數(shù)，但調(diào)和系數(shù)數(shù)目和IGGⅢ方案相同。觀測值原始權(quán)陣同式(1)，兩種改進(jìn)方案如下：

圖1　IGGⅢ權(quán)函數(shù)

1) 方案1為

(4)

2) 方案2為

(5)

三、算例分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)IGGⅢ權(quán)函數(shù)的有效性，進(jìn)行了模擬水準(zhǔn)網(wǎng)試驗(yàn)和分析。水準(zhǔn)網(wǎng)如圖3所示，共有8個(gè)高程點(diǎn)、12段觀測高差，每段觀測距離相近且每段觀測中誤差為0.003 m，已知點(diǎn)高程和未知點(diǎn)近似高程見表1，觀測高差見表2。

圖2　IGGⅢ及改進(jìn)方案的權(quán)函數(shù)

圖3　水準(zhǔn)網(wǎng)

表1　已知點(diǎn)高程和未知點(diǎn)近似高程　m

首先對(duì)未知點(diǎn)進(jìn)行最小二乘平差，得出正常模式下的最佳估值；然后根據(jù)粗差加入方案向觀測數(shù)據(jù)中加入粗差；接著進(jìn)行最小二乘平差并采用IGGⅢ方案和改進(jìn)后的方案進(jìn)行抗差估計(jì)；最后將結(jié)果與正常模式下最佳估值進(jìn)行比較，差異小的方案抗差性強(qiáng)，反之則弱。粗差加入方案為：①在7號(hào)觀測值上加入0.020 m的粗差；②在2號(hào)、7號(hào)觀測值上分別加入-0.015和0.020 m的粗差；③在2號(hào)、7號(hào)和11號(hào)觀測值上分別加入-0.015、0.020和0.018 m的粗差?？共罟烙?jì)中不同權(quán)函數(shù)中的各參數(shù)取值相同，即調(diào)和系數(shù)均為k0=1.0，k1=2.5，迭代收斂條件均為ξ=2×10-6。

表2　觀測高差　m

表3表示分別加1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)粗差后最小二乘估計(jì)、IGGⅢ方案和改進(jìn)方案的抗差估計(jì)結(jié)果與正常模式下最佳估值的差值。

表3　加入不同數(shù)目粗差后抗差估計(jì)結(jié)果與正常模式下最佳估值的差值　mm

分析上述試驗(yàn)結(jié)果，可以看出：

1) 觀測值加入粗差后，最小二乘法平差得到的估值偏差很大，而且隨著粗差的個(gè)數(shù)不斷增加而逐漸增加，已經(jīng)不再適用于未知參數(shù)的估計(jì)。

2) IGGⅢ方案和改進(jìn)的各種方案均能在一定程度上減免粗差值的干擾，得出較為可靠有效的參數(shù)估計(jì)值；但隨著粗差個(gè)數(shù)的增加，IGGⅢ方案和改進(jìn)的各種方案的抗差性能逐步衰減。

3) 改進(jìn)的各個(gè)方案均在不同程度上充分利用了有用信息，抗差性較IGGⅢ方案均有明顯的提高；但隨著粗差個(gè)數(shù)的增加，抗差性能提高的幅度有小幅度衰減。

4) 兩個(gè)改進(jìn)方案抗差效果均有顯著提高，且方案2的改進(jìn)效果更佳。

四、結(jié)束語

針對(duì)IGGⅢ等價(jià)權(quán)函數(shù)在k0處不平滑的現(xiàn)象，提出了兩種改進(jìn)方案，使得權(quán)函數(shù)每一處均平滑，并以模擬水準(zhǔn)網(wǎng)抗差估計(jì)為例進(jìn)行了對(duì)比分析。試驗(yàn)結(jié)果表明，兩種改進(jìn)方案在抗差性上均有所提高，其中方案2效果最佳；但隨著粗差個(gè)數(shù)的增加，抗差性能提高幅度有小幅度衰減。本文提出的方法對(duì)于觀測值相關(guān)情況也同樣適用，這里不再給出。

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Two New Improvements of IGGⅢ Scheme

LIU Chen，LIU Changjian，WANG Sai，XU Lingfeng，ZHANG Xuedong

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2015-12-23

國家自然科學(xué)基金(41374041)

劉宸(1991—)，男，碩士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)處理、電離層建模。E-mail：791387368@qq.com

P228

B

0494-0911(2016)10-0054-04