對(duì)一道拋物線習(xí)題的引申和拓展

貴州省遵義市第五中學(xué)　劉承輝

對(duì)一道拋物線習(xí)題的引申和拓展

貴州省遵義市第五中學(xué)劉承輝

在平常的學(xué)習(xí)中，我們不乏周而復(fù)始、簡(jiǎn)單重復(fù)的解題訓(xùn)練。對(duì)于一些習(xí)題，具有較強(qiáng)的示范性。在教學(xué)中教師要善于以這些習(xí)題為原型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)引申、拓展和解題后的反思。這樣不僅能充分發(fā)掘習(xí)題的潛在教學(xué)價(jià)值，而且對(duì)于提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)探索性和創(chuàng)新精神大有幫助。本文僅對(duì)一道習(xí)題結(jié)論加以引申、拓展，供讀者參考。

原題：過(guò)拋物線y2=2Px（P＞0）的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2，求證：y1y2=-P2。

由此結(jié)論發(fā)現(xiàn)y1y2是一個(gè)常數(shù)，此結(jié)論不難證明（略）。

一、引申

1.原題條件不變，結(jié)論變化

（1）x1x2是常數(shù)

分析：（如圖1）∵A、B兩交點(diǎn)都在拋物線上

分析：如圖1，由拋物線定義得：

2.條件與結(jié)論互換

分析：若AB垂直X軸，結(jié)論顯然成立；若AB不垂直于X軸，設(shè)直線AB的斜截式方程y=kx+b（k≠0），且A（x1，y1）、B（x2，y2）

二、拓展

例設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)。點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。

證明：（如圖2）

∴直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O

由此可知，對(duì)于典型習(xí)題結(jié)論加以引申、拓展，不僅能收到舉一反三觸類(lèi)旁通的功效，而且有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維的靈活性和深刻性。