江蘇省海門(mén)市能仁中學(xué)　馬　麗

化歸方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

江蘇省海門(mén)市能仁中學(xué)馬麗

在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以采用某種方法將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為新的簡(jiǎn)單化的問(wèn)題，如函數(shù)y=x6+x3+k，可以等價(jià)轉(zhuǎn)換為y=a2+a+k（a=x3），將六次函數(shù)簡(jiǎn)化為二次函數(shù)，這就是簡(jiǎn)單的化歸的解題方法。通常化歸方法解題是將陌生問(wèn)題熟知化，繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)易化，抽象問(wèn)題直觀化。

一、數(shù)與數(shù)之間的化歸

我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)中常用的換元法就是一種數(shù)與數(shù)之間的化歸。換元法解題的關(guān)鍵在于問(wèn)題有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征（即方程式、不等式、函數(shù)式等中的代數(shù)式），將相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征適當(dāng)變換為一個(gè)新的變量，這樣就能夠?qū)⒃紗?wèn)題化難為易、刪繁就簡(jiǎn)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的化歸。因此，解決這類(lèi)問(wèn)題需要培養(yǎng)學(xué)生注意分析問(wèn)題的相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，對(duì)已知函數(shù)中的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，洞察題目中的特殊數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用這些特殊數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行代換。

求證：m1+m2+m3=m1m2m3。

【分析】學(xué)生往往采用求證的等式左邊通分化簡(jiǎn)，右邊乘積化簡(jiǎn)，然后讓結(jié)果相同而達(dá)到證明。雖然這種計(jì)算化簡(jiǎn)在理論上是可行的，在實(shí)際計(jì)算中卻是“工程浩大”。我們可以采用將已知條件進(jìn)行變形，然后通過(guò)數(shù)與數(shù)之間的化歸，走出一條捷徑。

故等式成立。

數(shù)與數(shù)之間的化歸最關(guān)鍵的地方在于將陌生問(wèn)題化歸為熟知，在應(yīng)用我已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)將代數(shù)式變形代換，轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)易的算式進(jìn)行運(yùn)算，從而達(dá)到解題的目的。

二、形與形之間的化歸

在幾何中，解決立體幾何問(wèn)題要有較強(qiáng)的空間感，有靈活的抽象思維能力。而立體幾何問(wèn)題往往都是依靠平面幾何的定理、定律來(lái)解決的。假如我們利用割形、補(bǔ)缺、折疊、鋪展、作輔助線(xiàn)等方法處理幾何圖形，將一個(gè)復(fù)雜的立體問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，這樣來(lái)解決立體幾何的問(wèn)題就能化繁為易，事半功倍。

例2在下圖中，已知正三棱錐P-ABC中，各條棱的長(zhǎng)都是2，E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，有一只蝸牛從A點(diǎn)出發(fā)，走過(guò)側(cè)面PAB和側(cè)面PBC到達(dá)E點(diǎn)，求蝸牛走過(guò)的最短距離。

【分析】眾所周知，平面上兩點(diǎn)間的距離最短。解決三棱錐中兩點(diǎn)間的側(cè)面上最短距離時(shí)可以將圖形鋪展開(kāi)來(lái)（如下圖），這樣，就可以將一個(gè)立體幾何問(wèn)題化歸為一個(gè)平面問(wèn)題。

將立體圖形鋪展開(kāi)來(lái)就是將空間圖形剪開(kāi)攤平成一個(gè)平面圖形，在數(shù)學(xué)中我們求圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積都使用過(guò)這類(lèi)方法。但很多數(shù)學(xué)問(wèn)題并不是這種“圓滑無(wú)棱”的空間幾何體，需要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，能使某種在空間圖形中不容易察覺(jué)的幾何體元素的數(shù)學(xué)特征在平面圖形中清楚易見(jiàn)。

三、數(shù)與形之間的化歸

數(shù)與形之間的化歸包括“數(shù)”構(gòu)建“形”和“形”凸顯“數(shù)”兩個(gè)部分。主要應(yīng)用在函數(shù)與其圖象的關(guān)系、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義以及解析幾何中曲線(xiàn)與方程的概念等等方面。

1.“數(shù)”構(gòu)建“形”。一些代數(shù)方面的問(wèn)題通過(guò)仔細(xì)觀察分析可發(fā)現(xiàn)它具有某種特定的幾何含義，這種幾何含義就是數(shù)與形之間的新關(guān)系，是將代數(shù)問(wèn)題化歸為幾何問(wèn)題的切入點(diǎn)。

例3x、y滿(mǎn)足方程x2+y2-4x=1=0，求的兩個(gè)最值。

【分析】首先根據(jù)函數(shù)x2+y2-4x=1=0，構(gòu)建與解析幾何的關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)它就是一個(gè)圓的方程，將其化解為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-2）2+y2=3，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際上就是圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，這樣就可將代數(shù)問(wèn)題化歸為幾何問(wèn)題速戰(zhàn)速?zèng)Q。

2.“形”凸顯“數(shù)”。這是一種將幾何問(wèn)題代數(shù)化，以量化到達(dá)形化，從而使數(shù)學(xué)問(wèn)題達(dá)到成功解決的方法。這里就不再狗尾續(xù)貂了。

總之，在應(yīng)用化歸方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有什么固定的模式，需要培養(yǎng)學(xué)生具有靈活頭腦和發(fā)散的思維?；瘹w的實(shí)質(zhì)就是等價(jià)轉(zhuǎn)化，是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題深入分析、對(duì)比聯(lián)想等的思維過(guò)程。將問(wèn)題相同或相似的部分用數(shù)學(xué)的手段進(jìn)行等價(jià)變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟知新問(wèn)題，這其實(shí)是一種成功的秘訣。