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      部件柔性對含間隙多體系統(tǒng)動力特性的影響*

      2016-11-23 11:16:31王鐵成陳國平孫東陽
      振動、測試與診斷 2016年3期
      關(guān)鍵詞:導(dǎo)槽曲柄滑塊

      王鐵成, 陳國平, 馬 方, 孫東陽

      (1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京,210016)(2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院 鹽城,224005) (3.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院 重慶,400044)

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      部件柔性對含間隙多體系統(tǒng)動力特性的影響*

      王鐵成1, 陳國平1, 馬 方2, 孫東陽3

      (1.南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京,210016)(2.鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院 鹽城,224005) (3.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院 重慶,400044)

      構(gòu)建了含有混合間隙的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動力學(xué)模型,研究了部件柔性對多體系統(tǒng)動力特性的影響。首先,建立了混合間隙碰撞力模型;然后,以曲柄滑塊為研究對象,采用自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法分別建立了剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件的動力學(xué)模型,通過時域和頻域分析了連桿柔性對動力特性的影響。結(jié)果表明,柔性構(gòu)件對間隙碰撞力有一定的緩沖作用,能緩沖碰撞的高頻振動,而且柔性部件隨著彈性模量的減小對高頻響應(yīng)的緩沖效果更加明顯。

      滑移副間隙; 旋轉(zhuǎn)副間隙; 多體系統(tǒng); 動力特性

      引 言

      在機(jī)械系統(tǒng)中,由于加工、裝配以及工作過程中的磨損,機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動副普遍存在間隙。間隙是部件間產(chǎn)生碰撞沖擊的根源,碰撞沖擊不僅使機(jī)構(gòu)產(chǎn)生振動和噪聲,而且降低系統(tǒng)的可靠性、壽命以及工作精度。隨著機(jī)械系統(tǒng)向大型化、輕質(zhì)和高速方向發(fā)展,部件柔性對系統(tǒng)有一定的影響,所以分析部件柔性對含間隙機(jī)械系統(tǒng)動力特性的影響是必要的。

      在含間隙多體系統(tǒng)動力學(xué)研究方面,F(xiàn)lores[1-2]等做了大量的研究工作,包括含單個旋轉(zhuǎn)副間隙系統(tǒng)以及含多個旋轉(zhuǎn)副間隙的平面多體系統(tǒng),提出了一種含有多個旋轉(zhuǎn)副間隙的多體系統(tǒng)建模方法。針對柔性多體系統(tǒng),Bauchau等[3]通過浮動坐標(biāo)和有限元方法建立了含間隙柔性曲柄滑機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型,研究了間隙大小等因素對系統(tǒng)動力特性的影響,計算結(jié)果表明,多體系統(tǒng)部件柔性能夠抑制碰撞力峰值。Muvengei等[4]將Lugre摩擦力引入計算模型中,研究了含兩個旋轉(zhuǎn)副間隙平面多剛體系統(tǒng)的動力學(xué)特性。郝雪清等[5]研究了不同運(yùn)動副材料對間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性的影響。谷勇霞等[6]對含多間隙帆板展開過程進(jìn)行了研究,通過帆板展開過程中角速度的變化,分析了間隙碰撞對展開機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性的影響。Flores等[7-8]開展了含有移動副間隙的多體動力特性的研究。在高速運(yùn)動過程中,柔性部件會產(chǎn)生動力剛化和大變形,應(yīng)用傳統(tǒng)有限元法建立的動力學(xué)模型已不能滿足計算精度要求,甚至?xí)谟嬎氵^程中出現(xiàn)難以收斂的問題。Shabana[9]以有限元和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ),提出了采用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)建立柔性多體模型的理論,這種方法可以有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)有限元在計算多體系統(tǒng)高轉(zhuǎn)速和大變形等情況下的缺陷。Tian等[10-11]基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法分別研究了平面和空間含有單個間隙的柔性系統(tǒng)動力特性,研究發(fā)現(xiàn),柔性系統(tǒng)模型中的間隙碰撞力比剛體系統(tǒng)要小。

      筆者采用自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法分別建立了剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件的動力學(xué)模型,以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對象,通過時域和頻域分析了連桿柔性對機(jī)構(gòu)動力特性的影響。

      1 間隙模型

      1.1 旋轉(zhuǎn)副間隙模型

      軸與軸承的中心距矢量和中心距分別表示為

      (1)

      (2)

      軸與軸承接觸點(diǎn)的單位法向量表示為

      (3)

      圖1 旋轉(zhuǎn)副間隙模型Fig.1 Revolute joint with clear

      如圖1所示,當(dāng)軸和軸承發(fā)生碰撞時,其嵌入深度為

      (4)

      其中:C為間隙尺寸,其值等于軸承半徑Ri與軸半徑Rj之差,即C=Ri-Rj。

      體i和體j的接觸點(diǎn)Qi和Qj在全局坐標(biāo)系中的矢量為

      (5)

      將式(5)對時間求導(dǎo),得到接觸點(diǎn)Qi和Qj的全局速度矢量

      (6)

      將接觸點(diǎn)速度向接觸面的法向和切向進(jìn)行投影得到法向速度vN和切向速度vT,相對法向速度確定兩個碰撞體是相對接近還是分離情況,相對切向速度確定兩個體是否存在相對滑動。相對法向和切向速度可表示為

      (7)

      (8)

      其中:向量n逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到切向量t。

      當(dāng)軸和軸承發(fā)生碰撞時,在碰撞面處就會產(chǎn)生碰撞力,將碰撞力分別向法向n和切向t投影,其中作用在碰撞點(diǎn)處的法向力fn可以表示為

      fn=FNn

      (9)

      考慮到碰撞過程中的能量耗散,Lankarani等提出的連續(xù)碰撞模型[12]是應(yīng)用非常廣泛的一種碰撞力模型,該碰撞力模型可以表示為

      (10)

      該碰撞模型只適用于恢復(fù)系數(shù)接近于1的情況。K為碰撞體的接觸剛度系數(shù),可表示為

      (11)

      參數(shù)hi和hj為

      (12)

      其中:vk為泊松比;Ek為彈性模量。

      當(dāng)碰撞過程中存在相對切向運(yùn)動時,會在接觸面上產(chǎn)生摩擦力,根據(jù)Ambrósio提出的庫倫摩擦力法則[13],切向力ft可表示為

      ft=-cfcdFNvt/‖vt‖

      (13)

      其中:cf為摩擦因數(shù);cd為動態(tài)校正系數(shù)。

      (14)

      將作用在體i和體j接觸面上的法向力和切向力分別等效到體i的質(zhì)心和體j的節(jié)點(diǎn)Oi和Oj,如圖2所示,則作用在體i質(zhì)心上的力和力矩分別為

      fi=fn+ft

      (15)

      (16)

      作用在體j節(jié)點(diǎn)上的力分別為

      (17)

      圖2 碰撞點(diǎn)的力矢量Fig.2 Force vectors that act at the point of contact

      1.2 移動鉸間隙模型

      含有間隙的移動副模型如圖3所示,它是由滑塊和導(dǎo)槽構(gòu)成?;瑝K長為L,高為W,導(dǎo)槽的高為H,間隙大小為C,其表達(dá)式為

      (18)

      圖3 移動副模型Fig.3 Translation joint model

      如圖4所示,移動副間隙中滑塊與導(dǎo)槽有4種接觸狀態(tài):a.自由運(yùn)動狀態(tài),即無接觸;b.滑塊一角與導(dǎo)槽接觸;c.側(cè)面接觸;d.對角同時接觸導(dǎo)槽。

      為建立移動副間隙的受力分析模型,將與體j固連的局部坐標(biāo)系中由P點(diǎn)指向Q點(diǎn)的單位矢量t′,向慣性坐標(biāo)系投影可以得到

      t=Hjt′

      (19)

      其中:Hj為體j固連坐標(biāo)系到總體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換陣。

      對體j和體i上的任意點(diǎn)G,用總體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可表示為

      (20)

      圖4 移動鉸4種運(yùn)動狀態(tài)Fig.4 Four motion state of translation

      如圖5所示,導(dǎo)槽PQ邊上離滑塊點(diǎn)Ai距離最近的點(diǎn)Aj在總體坐標(biāo)中的位置矢量可表示為

      (21)

      圖5 移動鉸碰轉(zhuǎn)點(diǎn)矢量Fig.5 The collision point vector of translation joint

      連接滑塊上點(diǎn)Ai到導(dǎo)槽上點(diǎn)Aj的矢量為

      (22)

      判斷d的方向與導(dǎo)槽表面的法向方向n是否一致,可由單位向量t順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到。則n可表示為

      (23)

      滑塊和導(dǎo)槽發(fā)生碰撞并有滲透時,滿足下式條件

      dTn<0

      (24)

      根據(jù)Lankarani提出的兩平面間線性接觸力模型[14],滑塊與導(dǎo)槽的碰撞力可表示為

      (25)

      其中:Ks為接觸剛度。

      (26)

      其中:a為矩形接觸面周長的一半;hi和hj可由式(12)計算得到。

      將滑塊與導(dǎo)槽的碰撞力分別向碰撞面的法向和切向投影,則法向碰撞力fn為

      fn=FNn

      (27)

      作用在滑塊上的摩擦力ft同樣可由式(13)給出。

      如圖6所示,將作用在接觸面上的碰撞力等效到滑塊i質(zhì)心上,則力和力矩分別表示為

      fi=fn+ft

      (28)

      (29)

      作用在導(dǎo)槽體j質(zhì)心上的力和力矩分別為

      (30)

      (31)

      圖6 移動鉸碰撞力矢量Fig.6 The collision force vector of translation joint

      2 絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法與動力學(xué)控制方程

      2.1 絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法

      基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的一維兩節(jié)點(diǎn)梁單元如圖7所示,單元上任意點(diǎn)的位置矢量可表示為

      (32)

      其中:S為定義在總體坐標(biāo)系上的形函數(shù)。

      (33)

      其中:s1=1-3ξ2+2ξ3;s2=ξ-3ξ2+2ξ3;s3=3ξ2-2ξ3;s4=l(ξ3-ξ2);ξ=x/l;e為單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

      e[7]表示為

      (34)

      圖7 平面梁單元Fig.7 Plane beam element

      根據(jù)式(33),單元的動能可表示為

      (35)

      其中:Me=∫ρSTSdV,為單元的常數(shù)質(zhì)量陣;ρ和V分別為材料的密度和單元的體積。

      基于虛功原理建立單元的動力學(xué)方程

      (36)

      其中:Qe為單元受到的廣義外力;Qk為單元廣義彈性力。

      單元廣義彈性力由單元應(yīng)變能對單元坐標(biāo)求偏導(dǎo)獲得

      (37)

      其中:Ue為單元的總應(yīng)變能。

      根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論,單元的總應(yīng)變能包含彎曲應(yīng)變能Uel和軸向拉伸應(yīng)變能Uet,可表示為

      (38)

      其中:εi和κ分別為單元應(yīng)變和曲率。

      含約束柔性體k的動力學(xué)方程為

      (39)

      其中:Be為布爾矩陣。

      2.2 動力學(xué)控制方程

      基于拉格朗日方法,建立了含約束的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動力學(xué)方程

      (40)

      式(40)為微分-代數(shù)方程,在數(shù)值求解過程中有可能出現(xiàn)違約。這里采用Baumgarte違約修正法來抑制求解過程中誤差的增長,則式(40)可以進(jìn)一步表示為

      (41)

      其中:α,β為穩(wěn)定性系數(shù),它們的取值范圍在1~50之間。

      3 算例分析

      以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例,該曲柄滑塊機(jī)構(gòu)由地面1、曲柄2、連桿3和滑塊4組成,如圖8所示,其相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

      圖8 曲柄滑塊示意圖Fig.8 Slide-crank mechanism

      Tab.1 Geometric and intertia properties of slide-crank mechanism

      構(gòu)件長度/m質(zhì)量/kg慣性力矩/(kg·m2)20.050.300.0001030.120.210.0002540.050.140.00025

      曲柄滑塊間隙屬性與運(yùn)動副參數(shù)見表2。在剛?cè)狁詈夏P椭?,曲柄和連桿分別采用自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建模。連桿離散為6個一維二節(jié)點(diǎn)絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)梁單元。為對比連桿為剛性的情況,采用自然坐標(biāo)法建立了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的剛性模型。通過施加外力矩使曲柄以5 kr/min的恒定角速度轉(zhuǎn)動,并帶動連桿運(yùn)動。初始時刻,曲柄和連桿都處于水平位置。本研究分析的模型中,設(shè)定旋轉(zhuǎn)副間隙大小和移動副間隙大小是相同的,間隙改變指的是兩種運(yùn)動副間隙同時改變且相同。

      表2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動副參數(shù)

      Tab.2 Parameters used in the dynamic simulation of the slide-crank mechanism with clearance joins

      移動副旋轉(zhuǎn)副滑塊長度/mm滑塊高度/mm彈性模量/GPa泊松比軸半徑/mm彈性模量/GPa泊松比5.08.02070.310.02070.3

      為研究部件柔性對碰撞力的影響,首先分析了無間隙、間隙C=0.05和C=0.2 mm時,剛性曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的曲柄力矩。三種情況下的曲柄力矩的時域曲線見圖9,有間隙時的頻率成分分布見圖10。由圖9可知,無間隙時,曲柄力矩的峰值在140 Nm左右,而有間隙時,曲柄力矩曲線有很多毛刺,這主要是運(yùn)動副部件的頻繁接觸碰撞產(chǎn)生的,可見間隙明顯影響了機(jī)械系統(tǒng)的動力學(xué)特性??梢园l(fā)現(xiàn),間隙從0.05mm增大到0.2mm后,曲柄力矩波動峰值有明顯增大,從200Nm左右增大到400Nm左右。由圖10可以看出,間隙增大后,在2 kHz~3 kHz的范圍內(nèi)仍為高頻成分的主要區(qū)間,但高頻成分的峰值有明顯的增大。

      圖9 不同間隙時的曲柄力矩曲線Fig.9 Crank moment for the different clearance

      當(dāng)間隙C=0.05 mm,連桿的彈性模量E為2,6,20和80 GPa時的曲柄力矩結(jié)果如圖11所示??梢园l(fā)現(xiàn),曲柄力矩曲線仍有很多毛刺,并且曲柄力矩個別峰值已達(dá)到200 Nm。為了分析間隙碰撞對驅(qū)動力矩高頻和低頻響應(yīng)的影響,圖12給出了曲柄力矩頻率分布。由圖可以發(fā)現(xiàn),隨著連桿彈性模量的降低,曲柄力矩響應(yīng)的高頻成分也相應(yīng)有所降低。當(dāng)E=80 GPa時,高頻成分主要集中在2~2.5 kHz內(nèi);當(dāng)E=20 GPa時,高頻成分集中在1 kHz~2 kHz以內(nèi);當(dāng)E=6 GPa時,高頻成分集中在1 kHz左右;當(dāng)E=2 GPa時,高頻成分集中500 Hz左右。

      圖11 不同彈性模量的曲柄力矩曲線(C=0.05 mm)Fig.11 Crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.05 mm)

      圖12 不同彈性模量的曲柄力矩頻域分布(C=0.05 mm)Fig.12 Frequency distribution of crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.05 mm)

      圖13 不同彈性模量的曲柄力矩曲線(C=0.2 mm)Fig.13 Crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.2 mm)

      圖14 不同彈性模量的曲柄力矩頻域分布(C=0.2 mm)Fig.14 Frequency distribution of crank moment for the different modulus of elasticity(C=0.2 mm)

      當(dāng)間隙C=0.2 mm時,曲柄力矩時域曲線和頻率分布分別如圖13和圖14所示。由圖13可以發(fā)現(xiàn),間隙碰撞對曲柄力矩的影響更加明顯,此時從頻率分布圖上看,隨著彈性模量的降低,高頻成分也隨著降低。由此可見,部件柔性能夠緩沖含間隙機(jī)械系統(tǒng)的高頻沖擊響應(yīng)。

      4 結(jié)束語

      筆者以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為研究對象,建立同時含有移動副間隙和旋轉(zhuǎn)副間隙的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)計算模型,在時域和頻域中分析連桿柔性對曲柄力矩的影響。計算結(jié)果表明,連桿的柔性對間隙碰撞有一定的緩沖作用,對高頻振動也有緩沖作用,這種作用隨著連桿彈性模量的減小而更加明顯。所提出的含混合間隙剛?cè)峤7椒ㄒ约巴ㄟ^頻率對曲柄力矩的分析,為含有多間隙的高速機(jī)構(gòu)等機(jī)械系統(tǒng)的動力特性分析提供了一定的思路,有一定的工程實(shí)用價值。

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      10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.023

      *江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

      2015-10-19;

      2015-12-24

      O313.7; TH112

      王鐵成,男,1979年2月生,博士生。主要研究方向?yàn)閺?fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)。曾發(fā)表《基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的柔性多體系統(tǒng)靈敏度分析》(《振動與沖擊》2015年第34卷第24期)等論文。

      E-mail:tiechengw2010@sina.com

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