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      盤點向量運算,直擊向量應(yīng)用

      2016-12-01 02:11:13安徽省合肥中科大附中黃嚴生高龍錦
      青蘋果 2016年21期
      關(guān)鍵詞:共線夾角實數(shù)

      安徽省合肥中科大附中 黃嚴生 高龍錦

      盤點向量運算,直擊向量應(yīng)用

      安徽省合肥中科大附中 黃嚴生 高龍錦

      向量是數(shù)學中重要且基本的數(shù)學概念。向量既有大小又有方向,既有代數(shù)屬性又有幾何屬性,是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具,為我們利用代數(shù)方法研究幾何問題提供了方法和思路。本文將從如何利用向量的線性運算和數(shù)量積運算解決問題等方面,對向量的應(yīng)用進行討論和分析。

      一、向量的線性運算

      1.知識盤點

      (1)向量的線性運算有加法、減法和數(shù)乘,加法和減法有三角形法則和平行四邊法則,數(shù)乘就是一個實數(shù)與一個向量相乘,其結(jié)果仍是一個向量,所得的向量與原向量共線。

      (2)向量共線定理:對于向量a、b(b為非零向量),向量a、b共線?存在唯一實數(shù),使a=λb。

      若A、B、C三點共線,且點O異于A、B、C,根據(jù)向量的減法運算有,將它們代入上式,可得,整理可得。

      特別說明,零向量與任何向量均共線,零向量的方向是任意的。

      利用向量線性運算可以解決點點共線、線線平行以及線段的等分等問題。

      (3)向量基本定理與向量的坐標表示:

      如果e1、e2是平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于平面內(nèi)任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2(e1、e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)。

      在平面向量的運算中,我們經(jīng)常選取適當?shù)幕?,將問題中的向量用基底表示,然后進行基底向量之間的運算。

      若在平面直角坐標系中,選擇單位正交基底i、j,方向分別與平面坐標系中x軸和y軸的正方向相同,那么平面中任何一個向量a都可以表示為a=xi+yj,(x,y)叫作向量a的坐標,于是a用坐標表示為a=(x,y)。因此,向量的坐標表示是向量基本定理的一種特殊形式。

      2.應(yīng)用透視

      例1 已知向量e1、e2不共線,,若A、B、D三點在同一條直線上,求實數(shù)λ的值。

      ②利用向量共線可以證明線線平行問題,但要注意線線平行與向量平行之間的區(qū)別與聯(lián)系。兩直線平行,則直線的方向向量一定平行,但向量平行,表示向量的有向線段可能平行,也有可能共線,這里不一一舉例。

      例2 如右圖,已知△OAB中,點C是點B關(guān)于A的對稱點,點D是線段OB的一個靠近B的三等分點,DC和OA交于點E,求的值。

      思考 ①利用向量解決幾何問題,首先要選取適當?shù)幕祝缓笥没妆硎鞠嚓P(guān)的向量,最后利用向量共線定理,建立方程組解出參數(shù)的值;

      ②O、E、A三點共線,同學們易于發(fā)現(xiàn),但C、E、D三點共線,在解題中往往被忽視,從而導致解題受阻。

      二、向量的數(shù)量積

      1.知識盤點

      向量a、b是非零向量,a·b=|a||b|cos〈a,b〉,零向量與任何向量的數(shù)量積均為實數(shù)零。

      值得注意的是,向量的數(shù)量積有別于向量的線性運算,向量線性運算的結(jié)果仍然是一個向量,但兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)。

      利用向量的數(shù)量積,可以解決距離問題、夾角問題、線線垂直問題等。

      2.應(yīng)用透視

      例3 在平面直角坐標系中,△OAB的三個頂點為O(0,0),A(3,λ),B(4,-3),∠AOB為銳角,求實數(shù)λ的值。

      思考 兩個向量的夾角是銳角,能推出這兩個向量的數(shù)量積大于零,但兩個向量的數(shù)量積大于零,不能推出它們的夾角為銳角:當兩個非零向量同向時,其數(shù)量積也大于零;同樣,兩個向量的夾角是鈍角,能推出這兩個向量的數(shù)量積小于零,但兩個向量的數(shù)量積小于零,不能推出它們的夾角為鈍角:當兩個非零向量反向時,其數(shù)量積也小于零。因此,利用向量的數(shù)量積來研究夾角問題時,要特別注意共線情況。解答中第二個不等式也可以根據(jù)不共線,用不等式4λ+9≠0表示,更加簡單、方便。

      例4 在圓O中,若弦AB=3,AC=5,AB、AC不過圓心,求的值。

      思考 對數(shù)學概念的理解要透徹。如果只是死記硬背,我們就不能發(fā)現(xiàn),也就不能有效地解答問題。另外,在解題時,還要充分利用幾何圖形的性質(zhì),這樣可以簡化計算。

      三、探究與深化

      探究 將圓心為O一個圓周n(n≥2,n∈N*)等分,所得的等分點按逆時針順序依次為A1, A2,…,An-1,An,求。

      一方面,旋轉(zhuǎn)后圓周上點A1,A2,…,An-1,An分別旋轉(zhuǎn)到A2,…,An-1,An,A1的位置,雖然點的位置發(fā)生改變,但它們的和向量沒有改變,仍有;

      思考 本題根據(jù)對n取偶數(shù)和n=3得到的結(jié)論,提出猜想,然后證明猜想,這也是解決問題時常用的一種方法。

      通過以上實例,我們可以發(fā)現(xiàn)向量解決數(shù)學問題的威力。向量為我們解決數(shù)學問題提供了一種新的途徑和方法,能有效實現(xiàn)抽象問題形象化,復雜問題代數(shù)化,幾何問題代數(shù)化,代數(shù)問題幾何化。向量既是代數(shù)對象,又是幾何對象,“一身兼二任”,所以許多圖形的幾何性質(zhì)都可以用向量的運算表示出來,這樣我們就可以通過向量的運算來描述和研究幾何元素之間的關(guān)系(如直線的平行、垂直等),確定幾何圖形的長度、面積、夾角等。

      用向量方法解決幾何題的基本思路是:①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;②通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。向量運算能把一個思辨過程變?yōu)橐粋€計算過程,可以按照一定的“程序”進行運算,從而降低了思維難度。

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