殊途同歸，巧求面積最值

柏黎平

分析各地中考試卷，可以發(fā)現(xiàn)不少以二次函數(shù)知識(shí)為背景的壓軸題.二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要地位，因其可以涵蓋初中數(shù)學(xué)的所有知識(shí)點(diǎn)，具有較強(qiáng)的綜合性，所以廣受各地中考命題人員的青睞.

二次函數(shù)壓軸題能考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，具有知識(shí)點(diǎn)多、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活等特點(diǎn)，因此是中考數(shù)學(xué)的難點(diǎn).不過(guò)，如果我們能在做習(xí)題的基礎(chǔ)上多總結(jié)一些方法，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，有些難點(diǎn)就能較快突破.下面我們就一類二次函數(shù)與三角形面積的最值問(wèn)題，來(lái)探求其中方法與規(guī)律.

一、規(guī)律發(fā)現(xiàn)

引例 已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求△PBC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】本題為求三角形面積最值問(wèn)題，可以采用平行線法或構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值等兩種思路來(lái)解決問(wèn)題.

解法1：如圖1，易求直線BC的解析式為：y=-x+3，所以可設(shè)直線l為y=-x+b.過(guò)點(diǎn)P作直線l∥BC，則多數(shù)情況下，直線l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)S△PBC顯然不是最大；當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)（即方程[y=-x+b，y=-x2+2x+3]有唯一解）時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，因此S△PBC最大.①代入②化為一元二次方程可得x2-3x+b-3=0，當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，即b=[214].將b的值代回原方程組，可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為[32，154]，再由P、B、C點(diǎn)坐標(biāo)可求得△PBC的面積最大值為：[278].

解法2：如圖2，同樣求得直線BC的解析式為：y=-x+3.過(guò)點(diǎn)P作直線垂直于x軸，交直線BC于點(diǎn)D.

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，-n2+2n+3）（0≤n≤3），點(diǎn)D在BC上，因此坐標(biāo)為（n，-n+3）；以PD為底邊，設(shè)△PDC的高為h1，設(shè)△PDB的高為h2，則h1+h2=3，PD=（-n2+2n+3）-（-n+3）=-n2+3n.

S△PBC=S△PDC+S△PDB=[12]PD·h1+[12]PD·h2

=[12]PD·（h1+h2）=[12]PD×3=[32]PD

=[32]（-n2+3n）=-[32]n2+[92]n.

這樣，S△PBC就是關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)易得當(dāng)n=[32]時(shí)，S△PBC的最大值為[278]，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為[32，154].

【發(fā)現(xiàn)1】在解法1中，當(dāng)三角形面積取得最大值時(shí)，只存在一個(gè)△PBC，但當(dāng)面積縮小時(shí)，可能同時(shí)存在兩個(gè)不同的△PBC；

【發(fā)現(xiàn)2】在解法2中，將△PBC進(jìn)行縱向切割，將其分割為兩個(gè)底邊都為PD的三角形，它們的高的和就是BC兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差；

【發(fā)現(xiàn)3】注意觀察兩種解法中，當(dāng)三角形面積取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是[32]，而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，可以理解為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)恰好是線段BC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).其實(shí)這種情況并不是巧合，是一種規(guī)律，是可以用數(shù)學(xué)方法證明的.（有興趣的同學(xué)可以拋物線y=ax2+bx+c和直線y=mx+n（am≠0）的交點(diǎn)是（x1，y1），（x2，y2）為一般情況進(jìn)行證明，這里就不贅述.）

二、試刀中考

例1 （2016·江蘇蘇州）如圖3，直線l∶y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2-2ax+a+4（a<0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）略.

【解析】（1）方法略，函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）本題初看與上面的引例不同，但其拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，及計(jì)算三角形面積的最值都與引例類似，可用解法2的方法求解問(wèn)題，不過(guò)考慮到縱向作垂線分割三角形計(jì)算有一定的困難，可以采用橫向作垂線分割三角形，縱向距離為高.

如圖4，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，可設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），D在AB上，因此D坐標(biāo)為：

[m2-2m3，-m2+2m+3]， DM=[-m2+5m3]，

S=[12]DM（BE+OE）=[12]DM·OB

=[12]×3×[-m2+5m3]=-[12]m2+[52]m.

然后可由二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值為[258].

【評(píng)析】在平面直角坐標(biāo)系中研究一些圖形的面積時(shí)，可采用割補(bǔ)法將復(fù)雜、不規(guī)則的圖形分割成若干個(gè)三角形計(jì)算.分割時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①分割后的三角形面積應(yīng)該容易計(jì)算；②一般的分割方法為橫向或縱向；③如有必要，也可斜向分割.

如本題中也可連接OM，計(jì)算四邊形BOAM的面積減△BOA的面積.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試，才能找到更為簡(jiǎn)單的計(jì)算三角形面積的方法.

例2 （2010·江蘇徐州）如圖5，已知二次函數(shù)y=-[14]x2+[32]x+4的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；

（2）線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？

【解析】（1）解答略，A（0，4），C（8，0）.

（2）易得D（3，0），CD=5.直線AC對(duì)應(yīng)的解析式為y=[-12]x+4，分三種情況討論：①DE=DC，②ED=EC，③CD=CE，可求得三個(gè)點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為：E1（0，4），E2[112，54]，E3（8-[25]，[5]）.

（3）本題思路較為難覓，關(guān)鍵要理解“S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)”這句話的意思：其實(shí)只要考慮S的取值范圍（即最大值與最小值），然后探討在S取不同數(shù)值時(shí)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)即可.在求S的取值范圍時(shí)，還要對(duì)點(diǎn)P所在的位置進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P的位置在AC上方時(shí)，就可以用引例中的兩種方法求S的最大值，我們以第二種方法來(lái)解.

過(guò)P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點(diǎn)Q.設(shè)P（m，-[14]m2+[32]m+4），則Q（m，-[12]m+4）.

① 當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí)，即0

此時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P只有1個(gè)，當(dāng)0

② 點(diǎn)P在AB之間時(shí)，即-2

故S=16時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè).

【評(píng)析】本題的第（3）題問(wèn)法比較難理解，尤其是“相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)”，這需要對(duì)此問(wèn)題有一定的研究經(jīng)驗(yàn)，知道引例中的平行線研究方法的原理（關(guān)鍵是不同面積數(shù)值與點(diǎn)P的個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系），否則不容易聯(lián)想到要考慮△PAC面積的取值范圍.當(dāng)然，在具體計(jì)算S的最大值時(shí)，還是用設(shè)坐標(biāo)，用含m的代數(shù)式表示△PAC的面積的方法更為簡(jiǎn)潔一些.

值得一提的是，如果我們能想到引例中“發(fā)現(xiàn)3”揭示的規(guī)律，甚至可以更為簡(jiǎn)單地求出當(dāng)點(diǎn)P在AC上方時(shí)S的最大值，即：當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（8，0）的中點(diǎn)（4，2）的橫坐標(biāo)4時(shí)，△PAC的面積最大，于是可以迅速得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，6），△PAC的面積就可以直接求，不必再用引例中的兩種稍嫌復(fù)雜的方法解答.可見，當(dāng)我們做多了習(xí)題后，若能注重對(duì)同類型的問(wèn)題進(jìn)行一般性的總結(jié)，往往可以得出實(shí)用的規(guī)律，幫助我們簡(jiǎn)化解題過(guò)程，從而節(jié)省計(jì)算的時(shí)間.

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市雙鳳中學(xué)）