楊小平
(湖北省荊門市第一中學 湖北荊門 448000)
歸納法在高中數(shù)學幾何教學中的應用探究
楊小平
(湖北省荊門市第一中學 湖北荊門 448000)
中學時期的課程教學也對學生的全面發(fā)展有著重要影響。幾何教學是高中數(shù)學中比較重要,但同時也是難點的知識點。根據(jù)幾何部分的知識點特征,運用歸納法教學能夠有效提升教學成效。本文簡要闡述了歸納法的相關(guān)概念,以及幾何部分的關(guān)鍵知識點。根據(jù)幾何部分的知識點特性,提出了歸納法在幾何教學中的具體運用。
歸納法 幾何教學 高中數(shù)學 運用
高中數(shù)學的難度較大,抽象性和邏輯性的要求都更強,學生存在一定的理解難度。尤其是幾何部分,這部分的知識點較差的部分較多,學生不容易理解。歸納法強調(diào)的是一個循序漸進的過程,以掌握和運用知識點為主要目的。因此,歸納法的運用,對學生的邏輯推算能力提升有一定的幫助。[1]
歸納法的教學,從某一個知識點出發(fā),引出對常見的特性的推理。也就是說,是借助已知的條件,引出有一定可能性的結(jié)論。將其運用于數(shù)學中,主要用于對論斷的證明。在高中數(shù)學中,歸納法由于其證明步驟比較簡單,思路明確,因此被充分運用于運算過程中。
在數(shù)學運算中,歸納法的主要步驟包括以下兩個,一是針對能夠賦予論斷意義的最小數(shù)值,可直接進行證明。二是針對該論斷若對某一自然數(shù)是可以實現(xiàn)的,則此路段必然成立。歸納法的應用,可使學生在解題過程中,保證思路清晰,層層遞進,對學生的邏輯思維有著重要的促進作用。[2]
與初中時期相比,高中時期的數(shù)學課程更為深奧和復雜,每個知識點的關(guān)系和聯(lián)系也有所不同。加之初中時期與高中時期的學習重點不同,許多學生在高中幾何的學習中,學習成效不明顯。高中時期數(shù)學幾何的關(guān)鍵知識點主要包含以下幾個部分,一是平面、直線、角三個因素之間的兩兩關(guān)系的認識。這部分的知識體系較為復雜,學生需要通過反復理解和運用,才能逐步構(gòu)建起自身的知識系統(tǒng),有效運用。二是經(jīng)典的立體幾何圖形的相關(guān)知識,例如柱體、椎體等,了解這些幾何體的基本概念以及幾何特征等基礎(chǔ)知識,是高中數(shù)學教材的基本要求。但學生需要充分掌握各幾何體的幾何特性,以保證在做題的過程中,避免常識性錯誤的發(fā)生。[3]
1.歸納法在運算教學中的運用
高中幾何的運算涉及到的數(shù)據(jù)較多,學生在計算過程中容易出錯,由于思路不清晰或?qū)υ砝斫獾牟怀浞值仍驅(qū)е聛G分,是學生難以攻破幾何題型的重要原因。因此,在實際的計算中,學生需注意保持解題思路和方向的明確。
例1,平面內(nèi)有一圓心位于同一直線的半圓,其在平面內(nèi)的關(guān)系是任何兩個半圓都呈相交關(guān)系,并且都位于直線的同一側(cè)。求:平面內(nèi)的半圓被平面內(nèi)的全部交點最多能夠分成幾段圓弧。
根據(jù)題意,可知平面內(nèi)半圓的交點,最多能夠?qū)⑵浞殖啥螆A弧,可畫出圖形。
圖一
圖二
圖三
此時,根據(jù)歸納法的運算思路,可以發(fā)現(xiàn)f(2)=4=22,f(3) =9=32,f(4)=16=42.
在列出了其中已知條件的關(guān)系方程式之后,可猜想滿足要求的圓弧段的關(guān)系式為f(n)=n2(n≥2)
證明:
(1)當n=2時,結(jié)論成立。
(2)假設,當n=k時,結(jié)論成立。即在平面內(nèi),滿足要求的圓弧最多有f(k)=k2,
所以當n=k+1時,第k+1個半圓與其他的半圓都呈相交的關(guān)系,任一三個半圓都無法相交同一點。這樣一來,平面內(nèi)就增加了k條圓弧。而圓k個半圓又將其后面的一個半圓分為k+1段圓弧,所以又增加了k+1條圓弧。
即f(k+1)=k2+k+k+1=(k+1)2,
所以,當n+k+1時,該論斷也成立
根據(jù)以上分析,滿足要求的n個半圓最多能夠被平面內(nèi)的交點劃分為n2段圓弧。
2.歸納法在證明教學中的運用
證明類的幾何題的邏輯要求更高,抽象性更強,有效地運用歸納法,能夠幫助解題。
例2,同一平面內(nèi)存在n條直線,其中任一兩條不呈平行關(guān)系,任意三條不相交于同一點。求:n條直線將平面劃分為個區(qū)域。
證明:
所以,又多出現(xiàn)了k+1個區(qū)域也就是說,k+1條直線,將平面劃分為個區(qū)域所以,當n=k+1時,該結(jié)論也成立根據(jù)以上分析,對所有的?∈Nn,該結(jié)論均成立。
將歸納法運用于幾何教學中,不僅能夠促使學生運算速度的提高,還能夠鍛煉學生的邏輯推理能力。
[1]肖海燕,代欽.數(shù)學歸納法在幾何教學中的應用[J].內(nèi)蒙古師范大學學報(教育科學版),2011,04:130-131.
[2]姜莉莉.小組合作學習在高中數(shù)學教學中的應用探究[J].當代教育實踐與教學研究,2015,10:194.
[3]于焱.探究式教學法在高中數(shù)學教學中的應用[J].大連教育學院學報,2012,02:20-22.