胡化凱 張陽陽

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)科技史與科技考古系,合肥 230026)

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中國古算書中運動學(xué)問題的數(shù)學(xué)解法與近代物理解法的比較

胡化凱 張陽陽

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)科技史與科技考古系,合肥 230026)

從秦代至清中期,中國至少有24部算書共包含有上百道運動學(xué)算題。這些算題涵蓋了勻速運動、勻變速運動和變加速運動三類內(nèi)容。古人運用各種數(shù)學(xué)方法求解這些算題,無論是解題思路、思維方式,還是知識體系都與近現(xiàn)代運動學(xué)有明顯的不同。文章將這些算題的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解法與近現(xiàn)代物理解法進行了系統(tǒng)的分析比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn)：對于勻速運動問題,數(shù)學(xué)解法與物理解法基本上是一致的；對于一些比較復(fù)雜的勻變速運動和變加速運動問題,數(shù)學(xué)解法與物理解法則有本質(zhì)的不同。由此反映了古人獨特的物理認知方式和解決問題的方法。由于中國古人對運動現(xiàn)象的認知方式是數(shù)學(xué)性的,而非物理性的,因而未能提出一般性物理概念,提煉出一般性物理問題,長期停留在一個認識水平上,無法發(fā)展成一般的運動學(xué)理論。

中國古算書 運動學(xué)問題 數(shù)學(xué)解法 物理解法 比較

中國古代有大量的數(shù)學(xué)著作,其中不少著作含有運動學(xué)算題,并給出了求解方法及答案。1997年,戴念祖先生基于對《九章算術(shù)》中運動學(xué)算題的分析指出：“以算題形式總結(jié)運動學(xué)知識,是中國物理學(xué)史的特點之一?！盵1]次年,沈康身、李迪先生也稱：《九章算術(shù)》對于勻加速、勻減速等運動的論述,“彪炳歷史,成果不減西方,在時間上勝似西方”[2]。之后,周靖[3- 5]、李伯川[6]、陳育成[7]等都發(fā)表文章,對《九章算術(shù)》中的運動學(xué)內(nèi)容進行了討論。這些學(xué)者的討論主要是基于《九章算術(shù)》的相關(guān)內(nèi)容。筆者在編纂《中華大典·物理學(xué)分典》過程中,系統(tǒng)搜集了中國古算書中的運動學(xué)內(nèi)容,結(jié)果發(fā)現(xiàn),從秦代至清中期,至少有24部算書包含有運動學(xué)算題。這些算題涵蓋了勻速運動、勻變速運動和變加速運動三類內(nèi)容。古人把物理運動問題看作數(shù)學(xué)問題,采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法求解,無論是解題思路、思維方式,還是知識體系都與近現(xiàn)代運動學(xué)有明顯的不同。由此反映了中國古人獨特的物理認知方式和解決問題的方法。以前,科學(xué)史家們雖然認識到這些算題的物理涵義,但并未從物理學(xué)的角度分析古人解題的合理性及局限性,因而未能全面揭示其物理本質(zhì)。明確古代運動學(xué)問題的數(shù)學(xué)解法與近代物理解法有何區(qū)別,是正確認識與合理評價古人這些工作的關(guān)鍵。將古人的數(shù)學(xué)解法與今日的物理解法進行系統(tǒng)的分析比較,即可看出數(shù)學(xué)解法的特點、性質(zhì)、優(yōu)勢與不足,有助于正確理解古人對運動現(xiàn)象的獨特認知方式及其局限性。

表1列出了這24部算書所屬的時代、編作者、所含運動學(xué)算題的數(shù)量及類型。24部算書共有175個運動學(xué)算題,除去重復(fù)者,還有128題。根據(jù)題目內(nèi)容,128個算題可分為三大類,其中112個屬于勻速運動算題,9個屬于勻變速運動(即勻加速、勻減速運動)算題,7個屬于變加速運動算題。下面分類對這些算題的數(shù)學(xué)解法與物理解法進行分析比較,以期得出新的認識。由于算題較多,我們從10本算書中選擇22個具有代表性的算題作案例,分類加以討論。

表1 中國古算書中的運動學(xué)算題分類

①睡虎地漢簡《算術(shù)》尚未有整理材料發(fā)表,目前僅能從《湖北云夢睡虎地M77發(fā)掘報告》(《江漢考古》,2008年第4期,第31～37頁)所附“算術(shù)簡”彩圖中見到十支簡的照片,其中即含有一道勻速運動問題。鄒大海據(jù)照片首次給出了這道算題的釋文。參見鄒大海《從出土竹簡看中國早期委輸算題及其社會背景》(《湖南大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)》,2010年第4期,第5～10頁)。

②《透簾細草》的作者及成書年代均不詳,亦不見序跋。本文參考了鄒大?！?透簾細草>提要》(《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷(一)》,鄭州:河南教育出版社,1993年,第1281頁)一文中的觀點,將此書置于朱世杰《算學(xué)啟蒙》之后。

續(xù)表1

首先需要說明的是,明末西學(xué)東漸開始后,一些西方數(shù)學(xué)知識得以傳入中國。在明末及清代學(xué)者撰寫的一些會通中西的數(shù)學(xué)著作中,即包含了一部分西方傳入的數(shù)學(xué)知識。上表中如《數(shù)理精蘊》即屬這類著作,該書中有16道運動算題,其中2道以“驗時儀算炮聲”的題目明顯受到西學(xué)的影響,因此表中未予統(tǒng)計。本文將少數(shù)這類著作列為討論的內(nèi)容,是因為：這類算書中的運動學(xué)算題,內(nèi)容多是延襲中國傳統(tǒng)算題類型,如“重車空車同程往返問題”、“追及問題”等；所運用的也多是中國傳統(tǒng)已有的解題方法,即便是所謂“借根方”,也還是中國傳統(tǒng)的天元術(shù)；而且所討論的多為相對簡單的勻速運動問題,不影響本文的結(jié)論。

1 勻速運動問題

這類算題數(shù)量最多。雖然同是勻速運動,但針對不同的題設(shè)條件和問題情境,古人采用的解題方法也不相同,因此,可以將這類算題細分為以下幾種。

1.1 單體勻速運動問題

24部算書中共有12道這類算題,題設(shè)條件比較簡單,一般是行程、時間和速度三個物理量之間的互算。

第一類：單體單一速度問題

一個物體,以一種不變的速度運動,這是最簡單的運動形式。*古算書中的運動學(xué)算題,極少考慮速度的方向(僅有《九章算術(shù)》“句股”章中兩題、《方程論》中一題等少數(shù)幾題涉及),所以,本文在計算過程中,一般不考慮速度的矢量性。此外,古代算題中,只有少數(shù)題的情境可被視作直線運動,如“兩鼠對穿”問題、“瓜瓠相向生長”問題等,故僅在這些情況下,將路程稱為位移。另外,有一些問題雖然并不是物理學(xué)上的運動學(xué)問題,但可以用運動學(xué)做類比來理解,我們亦納入進來,比如織布問題等。

例1 張家山漢簡《算數(shù)書》：

行 甲行五十日,今日壬申。問：何日初行。術(shù)曰：問壬申何旬也。曰：甲子之旬也。既道甲數(shù)到壬九日,置九,又增(下有缺簡)。[8]

因為簡文有缺失,已無法得知此題的題解方法。但是,由題設(shè)條件可以推斷,這應(yīng)是一個單體運動問題。此題是已知行程時間和到達時刻,求初始時刻。

例2 吳敬《九章算法比類大全》：

三藏西天去取經(jīng),一去十萬八千程,每日常行七十五,問公幾日得回程。

答曰：一千四百四十日。法曰：置(一十萬零八千里),以每日(七十五里)為法,除之,合問。[9]*括號內(nèi)文字為文間夾注,下同。

吳敬的算法是直接用行程除以速度,得所用的時間。

從這類算題的題設(shè)條件來看,古人討論的勻速運動,通常指每日的行程為定值,而非物理意義上絕對的速度大小不變。這類算題除了路程、速度和時間之間的互算,還包括時間單位的換算,要求對于時刻和時間關(guān)系的正確理解。

第二類：單體多個速度問題

一個物體在運動過程中的不同時段,會改變速度的大小*在本文討論的這些算題中,未涉及速度方向的變化。,此即單體多個速度運動問題。

例 《數(shù)理精蘊》：

設(shè)如一人行路,步行則三十日可到,騎行則二十日可到；今行二十六日到。問：步行、騎行日數(shù)各幾何？法：以三十日與二十日相減,余十日為一率；步行三十日為二率；今行二十六日,與騎行二十日相較,多六日為三率；推得四率十八日,為步行之日數(shù)；與共二十六日相減,余八日,即騎行之日數(shù)也?！璠10]

《數(shù)理精蘊》采用的是比例算法,一率與二率之比,等于三率與四率之比,直接就時間關(guān)系進行比較,并未引入速度(日行里數(shù))關(guān)系。

物理解法：設(shè)步行的速度為v1、時間為t1,騎行的速度為v2、時間為t2,則有聯(lián)立方程組

即可解得t1=18日,t2=8日。

這類算題共有5道,分別采用了比例算法以及西方傳入的借根方法,數(shù)學(xué)解法與物理解法沒有本質(zhì)的區(qū)別。

1.2 兩體勻速運動問題

這類算題有82個。按照運動情況及解題方法的不同,兩體勻速運動又可以分為“重車空車同程往返問題”、“追及問題”、“相遇問題”等類型。

第一類：重車空車同程往返問題

甲地向乙地運糧,重車去,空車回,重車和空車的行駛速度不同,根據(jù)一定時間內(nèi)的往返次數(shù)計算兩地間里程。這類算題共有8道。

例1 《九章算術(shù)》：

今有程傳委輸,空車日行七十里,重車日行五十里。今載太倉粟輸上林,五日三返。問：太倉去上林幾何？答曰：四十八里一十八分里之一十一。

術(shù)曰：并空、重里數(shù),以三返乘之,為法。令空、重相乘,又以五日乘之,為實。實如法得一里。

劉徽注云：

此術(shù)重往空還,一輸再還道。置空行一里,七十分日之一,重行一里用五十分日之一。齊而同之,空、重行一里之路,往返用一百七十五分日之六。完言之者,一百七十五里之路,往返用六日。故“并空、重”者,并齊也；“空、重相乘”者,同其母也。于今有術(shù),五日為所有數(shù),一百七十五為所求率,六為所有率。以此所得,則三返之路。今求一返者,當以三約之。故令乘法而并除,亦當約之也。[11]*本段引文中“程傳委輸”的“程”字原作“乘”,系據(jù)楊輝《詳解九章算法》本。此字在戴震輯錄本《九章算術(shù)》中作“程”。鄒大海比較了睡虎地漢簡《算術(shù)》與《九章算術(shù)》及《張丘建算經(jīng)》中委輸算題的異同,并指出《九章算術(shù)》委輸算題中的重車、空車的日行里數(shù)當源于法律中“程”(法律中的數(shù)量標準)中的規(guī)定,故以作“程”字者為是(鄒大海：《從出土竹簡看中國早期委輸算題及其社會背景》,《湖南大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)》,2010年,第4期,第5～10頁)。本文采用這一觀點。

以v1、v2分別表示重車和空車的速度,以S表示出發(fā)地到目的地的距離,重車空車往返3次所花費的時間記為t′(t′=5日),則《九章算術(shù)》的解法可直接表達為：

劉徽按語的解法采用“今有術(shù)”,即四項比例算法。[12]設(shè)重車、空車往返一次路程為S1,所用時間為t1；而用時間t2,可以往返的路程為S2,以“今有術(shù)”列出的比例式為：

上式也可以變成：

可見,劉徽采用比例算法求解,本質(zhì)上與《九章算術(shù)》相同。

可見,數(shù)學(xué)解法與物理解法本質(zhì)上是一致的。

睡虎地漢簡《算術(shù)》、《張丘建算經(jīng)》、《九章算法比類大全》及《數(shù)學(xué)鑰》等算書中均有與此類似的算題。

例2 《數(shù)理精蘊》：

設(shè)如空車一日行三十里,重車一日行二十里,今載米至倉,往返足一日。問：距倉路遠幾何？法：以空車行三十里,與重車行二十里相乘得六百里,又以重車行二十里乘空車一日得二十日,以空車行三十里乘重車一日得三十日,乃以二十日與三十日相并得五十日為一率,六百里為二率,一日為三率,得四率一十二里,即距倉之里數(shù)也。([10],下編卷7,52a～53a)

《數(shù)理精蘊》采用的是比例算法,設(shè)重車和空車的速度分別為v1、v2,往返兩地一次所需的總時間為t,兩地距離為S,有比例關(guān)系：

本題的物理解法與上一題相同。

由以上兩例可看出,對于這類算題,數(shù)學(xué)解法與物理解法是一致的。

第二類：追及問題

追及問題的基本情境是同向運動的兩個物體,慢者先行在前,快者追之在后,二者在不相等的時間內(nèi)運行了相等的路程。

例1 《九章算術(shù)》：

今有善行者行一百步,不善行者行六十步。今不善行者先行一百步,善行者追之。問：幾何步及之？答曰：二百五十步。

術(shù)曰：置善行者一百步,減不善行者六十步,余四十步,以為法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步,為實。實如法得一步。

劉徽注云：

此術(shù)以六十步減一百步,余四十步,即不善行者先行率也；善行者行一百步,追及率。約之,追及率得五,先行率得二。于今有術(shù),不善行者先行一百步為所有數(shù),五為所求率,二為所有率,而今有之,得追及步也。([11],262～264頁)

《九章算術(shù)》的解法是：

設(shè)善行者速度為v1,不善行者速度為v2；經(jīng)過時間t1,善行者行100步；而經(jīng)過時間t,善行者追及不善行者,其所行路程為S,則上式等價于：

由此也就從物理角度解釋了《九章算術(shù)》解法的合理性。

劉徽采用的是今有術(shù),即建立如下比例關(guān)系：

代入所設(shè)物理量,即得：

S=v1t。

聯(lián)立以上三式,即可求解。

比較以上幾式可以看出,此題的數(shù)學(xué)解法與物理解法本質(zhì)上是一致的?！毒耪滤惴ū阮惔笕放c《算法統(tǒng)宗》中有與此類似的算題。

例2 《張丘建算經(jīng)》：

今有人盜馬,乘去已行三十七里,馬主乃覺,追之一百四十五里,不及二十三里而還。今不還追之。問：幾何里及之？答曰：二百三十八里一十四分里之三。術(shù)曰：置不及里數(shù),以馬主追里數(shù)乘之為實,以不及里數(shù)減已行里數(shù)余為法,實如法而一。[13]

此題的解法用算式表達,即：

設(shè)馬主的速度為v1,盜馬者的速度為v2,從馬主開始追擊時計時,經(jīng)過時間t1,不及23里。若“今不還追之”,再經(jīng)過時間t2,可追及。將各量代入上式,即：

這是一個恒等式。

物理解法：設(shè)各物理量如上,已知盜馬者先行路程ΔS1=37里,馬主追行S1=145里,不及ΔS2=23里,求追及時,馬主復(fù)行之路程S2。有

S1=v1t1，

v1t1-v2t1=ΔS1-ΔS2，

S2=v1t2，

v1t2-v2t2=ΔS2。

聯(lián)立方程組,可解得S2=3335/14里。

此題的數(shù)學(xué)解法與物理解法也是一致的?！锻负熂毑荨贰ⅰ毒耪滤惴ū阮惔笕?、《算法統(tǒng)宗》與《數(shù)理精蘊》中都有與此類似的算題。

例3 朱世杰《算學(xué)啟蒙》：

今有良馬日行二百四十里,駑馬日行一百五十里。駑馬先行一十二日。問：良馬幾何日追及之？答曰：二十日。術(shù)曰：列一十二日,以一百五十里乘之,得一千八百里為實,列良駑馬日行里數(shù)相減,余九十里為法,實如法而一,合問。[14]

物理解法：設(shè)良馬和駑馬的速度分別v1、v2,駑馬先行的時間Δt,駑馬先行的路程為ΔS,有關(guān)系式

ΔS=v2·Δt，

Δv=v1-v2。

聯(lián)立方程組,即可求出t。

由表達式可以看出,朱世杰的解法與物理解法是一致的。《數(shù)學(xué)通軌》、《九章算法比類大全》、《算法統(tǒng)宗》及《數(shù)理精蘊》等都有與此題類似的算題。

例4 梅文鼎《方程論》：

假如廣、福二船哨海,福船先發(fā)行五日,廣船行三日遇于中途,其泛地相距二千五百里；遂又同往一島,廣船行四日先至,候六日福船始至。問：各船每日行率？解曰：此廣船疾,福船遲也。廣船三日,福船五日,共行水面二千五百里。廣船四日,福船十日,而水程相當。答曰：廣船日行五百里,福船日行二百里。[15]

本題是聯(lián)立兩元一次方程組求解。設(shè)福船與廣船的速度分別為v1、v2,根據(jù)題設(shè)條件可以列式如下：

5v1+3v2=2500，

10v1=4v2。

聯(lián)立以上兩式,可解得v1=200里/日,v2=500里/日。

物理解法與此相同。

兩體追及類算題共有49道,約占總算題的三分之一。古人采用的數(shù)學(xué)解法有直接列式、今有術(shù)、方程組、盈不足術(shù)等。這些數(shù)學(xué)解法的表達式,都可以被還原為等效的物理表達式。由此說明,這類算題的數(shù)學(xué)解法與物理解法本質(zhì)上是一致的。

第三類：相遇問題

相遇問題的基本情境是兩個物體的運動時間相同,所行路程不等,二者行程之和為總路程。

例1 《九章算術(shù)》：

今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長七寸；瓠生其下,蔓日長一尺。問：幾何日相逢？瓜、瓠各長幾何？答曰：五日十七分日之五,瓜長三尺七寸一十七分寸之一,瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。術(shù)曰：假令五日,不足五寸；令之六日,有余一尺二寸。([11],299～301頁)*瓜蔓、瓠蔓的生長并非常見的運動學(xué)問題類型,但是本題的題設(shè)條件、所求問題仍是基于位移和速度、時間關(guān)系來展開討論的,也正符合運動學(xué)的討論范疇,故本文將之作為運動學(xué)問題予以解讀。

若對上式進行簡單推導(dǎo),有：

比較兩種解法可以看出,對于勻速運動的物體相遇問題,用盈不足術(shù)與運用物理學(xué)的合速度求解是等效的。

例2 程大位《算法統(tǒng)宗》：

今有大都路至杭州四千二百七十五里,馬從大都往南,日行一百二十里；船從杭州往北,日行七十里。問：船、馬幾日相會,各行若干？答曰：二十二日半(馬行二千七百里,船行一千五百七十五里)。法曰：置(四千二百七十五里)為實,卻并船、馬日行共(一百九十里)為法,除之得(二十二日半)又為實,各以原行里數(shù)乘之,得各行數(shù)。[16]

物理解法與此相同?！稊?shù)學(xué)鑰》、《數(shù)理精蘊》及《比例匯通》,都有與此類似的算題。

兩體相遇類算題共有25道,由以上二例可以看出,其數(shù)學(xué)解法與物理解法也是一致的。

1.3 多體勻速運動問題

所謂多體,即參與運動的物體數(shù)量大于二,至少有三個物體參與運動。

第一類：多體同速問題

多個物體以相同的速度參與運動,即為多體同速問題。此類算題共有3道。

例 《九章算法比類大全》：

今有織匠二十四人,一百九十二日織纻絲五百七十六匹,欲令六十二人織三百六十日,問該織幾何？答曰：二千七百九十匹。法曰：置匠(六十二人)以乘(三百六十日,得二萬二千三百二十),以織(五百七十六匹)乘之(得一千二百八十五萬六千三百二十)為實；以原織日(一百九十二,得四千六百八)為法。除之合問。([9],222頁)

已知24人經(jīng)192日共織絲576匹,求62人經(jīng)360日,可織絲多少匹。根據(jù)題意,這些織匠織絲的速度是相同的?！毒耪滤惴ū阮惔笕返慕夥椋?/p>

物理解法一般先求出平均每位織匠織絲的速度,再乘以織絲時間和人數(shù),以得到所求織絲長度。雖然先求的物理量有所差別,但此題的數(shù)學(xué)解法與物理解法本質(zhì)上是一致的?？律羞w《數(shù)學(xué)通軌》中有與此類似的算題。

第二類：多體相遇問題

多個物體同時參與運動,它們的運動時間相同,所行路程不同,各自行程之和為總路程,此即多體相遇問題。此類算題共有5道。

例1 岳麓書院藏秦簡《數(shù)》：

有婦三人,長者一日織五十尺,中者二日織五十尺,少者三日織五十尺。今威有功五十尺。問：各受幾何？曰：長者受廿七尺十一分尺三,中者受十三尺十一分尺七,少者受九尺十一分尺一。術(shù)曰：各置一日所織?！璠17]

由于此簡的術(shù)文已經(jīng)殘缺,無法窺見古人的解法。

物理解法：設(shè)長、中、少三者的織布速度分別是v1、v2、v3,經(jīng)過時間t,三者的織布長度分別為L1、L2、L3。已知,v1、v2、v3及織布總長度L,求L1、L2、L3。有關(guān)系式：

L1∶L2∶L3=v1∶v2∶v3，

L1+L2+L3=L。

聯(lián)立方程組,即可解得答案。

例2 張家山漢簡《算數(shù)書》：

婦織：有婦三人,長者一日織五十尺,中者二日織五十尺,少者三日織五十尺。今織有功五十尺。問：各受幾何尺？其得曰：長者受廿五尺,中者受十六尺又十八分尺之十二,少者受八尺又十八分尺之六。其術(shù)曰：置一、置二、置三,而各并以為法,又十而五之以為實,如法而一尺。不盈尺者,以法命分。三為長者實,二為中者,一為少者。([8],64～65頁)

《算數(shù)書》的解法如下：

因為三人織布的時間相同,所以織出布的長度應(yīng)正比于各人織布的速度(長、中、少三者的織布速度之比應(yīng)為1∶1/2∶1/3)。由此可知,張家山漢簡取“三為長者實,二為中者,一為少者”是錯誤的。*彭浩與郭世榮先生均撰文討論過張家山漢簡《算數(shù)書》此題的算法錯誤。參見彭浩《張家山漢簡〈算數(shù)書〉注釋》(北京：科學(xué)出版社,2001年,第64～65頁)、 郭世榮《〈算數(shù)書〉勘誤》(《內(nèi)蒙古師大學(xué)報(自然科學(xué)漢文版)》,2001年第3期,第276～285頁)。此題的題設(shè)與上述秦簡《數(shù)》的女織題相同,但答案不同。由上一題的物理解答,也可證明漢簡的答案及解法是不正確的。

第三類：多體追及問題

多個物體參與運動,各自在不相等的時間內(nèi)運行了相等的路程,此即多體追及問題。

例 秦九韶《數(shù)書九章》：

問軍師獲捷,當早點差急足三名,往都下節(jié)節(jié)走報。其甲于前數(shù)日申末到,乙后數(shù)日未正到,丙于今日辰末到。據(jù)供甲日行三百里,乙日行二百四十里,丙日行一百八十里。問：自軍前至都里數(shù),及三人各行日數(shù)幾何？答曰：軍前至都三千三百里。甲行一十一日,乙行一十三日四時(半),丙行一十八日二時。術(shù)曰：以大衍求之。置各行里,先求總等,存一,約眾,得元里。次以連環(huán)求等,約奇復(fù)乘偶,得定母。以定相乘,為衍母,滿定,除衍,得衍數(shù)；滿定,去衍數(shù),得奇。奇定大衍,得乘率；以乘衍數(shù),得用數(shù)。次置辰刻正末,乘各行里,為實；以晝六時約之,得余里。各乘用數(shù),并為總,滿衍母,去,得所求至都里,以各日行約之,得日辰刻數(shù)。[18]

根據(jù)“當早”、“以晝六時約之”可知,三名急足同時自卯初出發(fā),且每日行六個時辰,至申末休息。又由“甲于前數(shù)日申末到”,知甲恰行整日數(shù)；由“乙后數(shù)日未正到”,知乙最后一日行四個半時辰；同理,可知丙最后一日行了兩個時辰。所以,總路程S當能被300整除,而除以240當余180里(乙行4.5個時辰的路程),除以180當余60里(丙行2個時辰的路程)。[19]

所以,S滿足如下同余式組：

本題的“術(shù)文”與“草文”即是用“大衍術(shù)”解此同余式組。

物理解法：設(shè)甲、乙、丙三人速度分別為v1、v2、v3,三人走完全程L所耗時間分別為t1、t2、t3,設(shè)n1、n2分別表示乙較甲多花費的行程天數(shù)和丙較乙多花費的行程天數(shù)。已知v1、v2、v3及三人到達目的地時的當日時刻T1、T2、T3。求t1、t2、t3,有關(guān)系式：

v1t1=v2t2=v3t3=L，

聯(lián)立化簡后,得

n1、n2均為自然數(shù),L為(100與60的最小公倍數(shù))300的整數(shù)倍。上述二式包含三個未知數(shù),所以不能直接聯(lián)立方程求解,可從n1=1開始試根,得n1=3,L=3300，n2=5。

秦九韶采用的大衍術(shù)(即解一次同余式組),在當時是一種數(shù)學(xué)方法上的創(chuàng)新。物理方法在列出三元一次不定方程后,受已知條件限制,也不能直接求解,只能采用更為基礎(chǔ)的試根法。

對于這類算題,古代算法與今日一般物理解法的主要差別體現(xiàn)在邏輯思路上,前者是將運動者的日數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換為行程除以速度之后的余數(shù)關(guān)系,后者則沒有對余數(shù)關(guān)系特別關(guān)注。在具體的運算過程中,兩種不同思路引起的差別表現(xiàn)為解一次同余式組與解多元一次不定方程的區(qū)別。不過,從本質(zhì)上看,數(shù)學(xué)算法與物理解法是相同的。

多體追及問題共有6道算題,包括《張丘建算經(jīng)》中2題、《數(shù)書九章》中2題、《方程論》與《求一算術(shù)》中各1題。其中,《張丘建算經(jīng)》與《方程論》中的3題屬于勻速圓周運動,本文不予討論。其余3題,古人都是采用大衍術(shù)求解,物理解法是列出多元一次方程組,用試根法解出結(jié)果。

為了討論問題方便,本文將勻速運動算題分為以上幾類。事實上,古算書中的勻速運動算題類型豐富,以上幾種分類并不能包含所有的內(nèi)容,限于篇幅,于此不再討論。

由上述舉例分析可見,對于勻速運動問題,無論是單一物體還是多個物體同時參與運動,無論是追及問題還是相遇問題等等,古算書中采用的種種解法,盡管思路不同、途徑各異,但本質(zhì)上與物理解法基本上是一致的。不過,從物理概念看,有些數(shù)學(xué)解法盡管得出的數(shù)值是正確的,但存在量綱錯誤。

2 勻變速運動問題

勻變速運動是加速度保持不變的運動,包括勻加速、勻減速運動。24部算書中有9道這類算題。根據(jù)問題的復(fù)雜程度,可將這些算題分為單體運動和兩體運動兩種類型。

2.1 單體勻變速運動問題

有7道單體勻變速運動算題,其中《張丘建算經(jīng)》中的兩題最為典型。

例1 《張丘建算經(jīng)》：

今有女善織,日益功疾。初日織五尺,今一月日織九匹三丈。問：日益幾何？答曰：五寸二十九分寸之十五。術(shù)曰：置今織尺數(shù),以一月日而一,所得,倍之。又倍初日尺數(shù),減之,余為實。以一月日數(shù)初一日減之,余為法,實如法得一。([13],卷上,19b～20a)

這是勻加速直線運動問題,已知第1日的位移和前30日的總位移,求加速度。將織布的長度等效為位移,設(shè)為S,織布的時間設(shè)為t,織布的速度設(shè)為v,加速度為a?？蓪ⅰ稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》的解法表達成算式：

上式的量綱不符合物理要求,對之進行處理,可得：

此式可用物理符號表達為：

以上處理過程,雖然沒有改變原來表達式的數(shù)值大小,但卻改變了其物理意義。從物理上看,《張丘建算經(jīng)》的解法存在量綱錯誤。

比較數(shù)學(xué)解法與物理解法可以看出,雖然二者得到的表達式相同,但前者的物理概念不清楚,存在量綱錯誤。

例2 《張丘建算經(jīng)》：

今有女子不善織,日減功遲。初日織五尺,末日織一尺,今三十日織訖。問：織幾何？答曰：二匹一丈。術(shù)曰：并初、末日織尺數(shù),半之,余以乘織訖日數(shù),即得。([13],卷上,20a～20b)

物理解法：設(shè)第i(i=1,2,3…,30)日的織布長度為Si,第i日織布的初速度為vi-1,加速度為a,30日織布總長度為L。已知S1、S30,求：L,有

v0+v29=vi-1+v30-i。

聯(lián)立上述方程,可得

S1+S30=Si+S31-i。

所以,

上式中,S1、S30分別代表首末兩日的織布長度。因此,上式與《張丘建算經(jīng)》的解法表達式形式相同。

《張丘建算經(jīng)》的解法,是建立在對滿足等差關(guān)系的一組數(shù)值求和規(guī)律的認識基礎(chǔ)上,直接列式求解,較物理方法更為簡便,但物理概念不夠清晰。兩種方法的思路不同,關(guān)注的對象也不盡相同。

2.2 兩體勻變速運動問題

在24部算書中,僅《九章算術(shù)》與《算學(xué)寶鑒》中各有1道這種算題,且后者題設(shè)條件及所求問題均與《九章算術(shù)》相似。

例 《九章算術(shù)》：

今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬。問：幾何日相逢及各行幾何？答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢,良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六。駑馬行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。

術(shù)曰：假令十五日,不足三百三十七里半。令之十六日,多一百四十里。以盈、不足維乘假令之數(shù),并而為實。并盈、不足為法。實如法而一,得日數(shù)。不盡者,以等數(shù)除之而命分。求良馬行者：十四乘益疾里數(shù)而半之,加良馬初日之行里數(shù),以乘十五日,得良馬十五日之凡行。又以十五日乘益疾里數(shù),加良馬初日之行。以乘日分子,如日分母而一。所得,加前良馬凡行里數(shù),即得。其不盡而命分。求駑馬行者：以十四乘半里,又半之,以減駑馬初日之行里數(shù),以乘十五日,得駑馬十五日之凡行。又以十五日乘半里,以減駑馬初日之行。余,以乘日分子,如日分母而一。所得,加前里,即駑馬定行里數(shù)。其奇半里者,為半法,以半法增殘分,即得。其不盡者而命分。([11],312～317頁)

古人定量表達速度的大小,通常是以日行里程的多少而言。所以,本題從數(shù)學(xué)角度看是等差數(shù)列問題；從物理角度看,則是勻變速運動問題。

《九章算術(shù)》求相逢日數(shù)的算法,采用“盈不足術(shù)”,得：

又“以十五日乘益疾里數(shù),加良馬初日之行”,得到良馬第16日的最大行程(在行完一日的情況下)：

a16=a1+15d=193里+15×13里=388里。

劉徽解法給出的是等差數(shù)列求和公式的另一表達形式：*因受限于篇幅,本文將劉徽按語略而未引,相關(guān)詳細討論可參見文獻[11],313～317頁。

本題是一個非線性問題,《九章算術(shù)》和劉徽給出的答案都是近似的。

L+L′=2S，

vt=v0+at，

從概念上看,此題的數(shù)學(xué)解法與物理解法有本質(zhì)區(qū)別,將《九章算術(shù)》解法得出的等差數(shù)列求和公式與物理學(xué)的勻加速運動公式進行比較,更容易看出兩種解法的差別,具體見表2。

表2 處理勻變速運動的一般數(shù)學(xué)方法與物理方法比較

由上表可見,數(shù)學(xué)方法中的Sn、n、d分別與物理方法中的S、t、a在數(shù)值上對應(yīng)相等,而數(shù)學(xué)方法中的a1,對應(yīng)物理方法中第一日的路程S1：

這說明,對于勻變速運動,在特定的情況下,數(shù)學(xué)的等差數(shù)列求和公式可以過渡到物理的勻變速運動公式。

由上述分析可見,對于勻變速運動問題,數(shù)學(xué)解法與物理解法的差別,除了解題思路、物理概念不同之外,所運用的公式也不同,前者用的是等差數(shù)列公式,后者用的是勻變速運動公式。盡管在特殊情況下,兩種解法的表達式可以化為一致,但物理概念并不是一回事。

3 變加速運動問題

變加速運動不僅速度是變化的,加速度也是隨著時間而變化的。在物理學(xué)中,求解這類算題需要運用高等數(shù)學(xué)的微積分方法。古算書中有7道這類算題,本文將之分為單體運動和兩體運動予以討論。

3.1 單體變加速運動問題

例1 《九章算術(shù)》：

今有女子善織,日自倍。五日織五尺,問：日織幾何？答曰：初日織一寸三十一分寸之十九,次日織三寸三十一分寸之七,次日織六寸三十一分寸之十四,次日織一尺二寸三十一分寸之二十八,次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。術(shù)曰：置一、二、四、八、十六為列衰；副并為法；以五尺乘未并者,各自為實,實如法得一尺。([11],100頁)

據(jù)題設(shè)條件,每日織出新布的平均速度是按等比級數(shù)增大的,所以,此題可看作單體變加速直線運動問題。

《九章算術(shù)》的解法是“置一、二、四、八、十六為列衰”,即將之視為一至五日各日織布長度的比例關(guān)系,也即每日新出布匹的位移比例關(guān)系。五日共織布五尺,那么第一日織布的長度即為

v1∶v2∶v3∶v4∶v5=1∶2∶22∶23∶24。

由關(guān)系式

L=vt,

v1·t+2v1·t+22v1·t+23v1·t+24v1·t=5尺，

這個結(jié)果與數(shù)學(xué)解法相同。張家山漢簡《算數(shù)書》及《孫子算經(jīng)》都有與本題相似的算題。

例2 《張丘建算經(jīng)》：

今有馬行轉(zhuǎn)遲,次日減半,疾七日,行七百里。問：日行幾何？答曰：初日行三百五十二里一百二十七分里之九十六,次日行一百七十六里一百二十七分里之四十八,次日行八十八里一百二十七分里之二十四,次日行四十四里一百二十七分里之一十二,次日行二十二里一百二十七分里之六,次日行一十一里一百二十七分里之三,次日行五里一百二十七分里之六十五。術(shù)曰：置六十四、三十二、一十六、八、四、二、一為差；副并為法；以行里數(shù)乘未并者,各自為實,實如法而一。([13],卷下,2b～4a)

此題的運動對象與上一題不同,但本質(zhì)上沒有區(qū)別。從數(shù)學(xué)上看,兩題都是等比數(shù)列問題,已知公比、項數(shù)及數(shù)列的和,求每一項的值。

從物理學(xué)看,這是一道加速度為負的變加速運動問題,解法與上一題相同?！毒耪滤惴ū阮惔笕分杏?道算題與本題相似。

24本古算書中共有5道這類算題。對于這種類型的單體變加速運動問題,數(shù)學(xué)解法與物理解法都是關(guān)注每日行程大小的比例關(guān)系。也即,兩種方法的基本思路及解題結(jié)果都是一致的。

3.2 兩體變加速運動問題

例1 《九章算術(shù)》：

今有蒲生一日,長三尺；莞生一日,長一尺。蒲生日自半；莞生日自倍。問：幾何日而長等？答曰：二日十三分日之六,各長四尺八寸一十三分寸之六。術(shù)曰：假令二日,不足一尺五寸；令之三日,有余一尺七寸半。([11],301～303頁)

從數(shù)學(xué)上看,這是一道等比數(shù)列求和問題。《九章算術(shù)》采用盈不足術(shù)求解,代入“盈不足術(shù)求不盈不朒之正數(shù)公式”*關(guān)于盈不足術(shù)求不盈不朒之正數(shù)公式的介紹,參見文獻[11],292頁。,得：

由于盈不足術(shù)在求解非線性問題上的局限性,本題只能得出近似解。*關(guān)于盈不足術(shù)在求解非線性問題上的局限性的討論,參見錢寶琮《中國數(shù)學(xué)史話》(北京：中國青年出版社,1957年,第32～35頁)。

從物理學(xué)來看,這是(一維)變加速直線運動問題。蒲的生長長度S與時間t的函數(shù)關(guān)系為[20]：

莞的生長長度S′與時間t的函數(shù)關(guān)系為：

例2 《九章算術(shù)》：

今有垣厚五尺,兩鼠對穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。問：幾何日相逢？各穿幾何？答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二,小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。術(shù)曰：假令二日,不足五寸；令之三日,有余三尺七寸半。([11],320～322頁)

此題與上一題同屬一維變加速運動問題。兩題的相同之處在于速度變化的規(guī)律相同,兩個速度一增一減,都是呈等比級數(shù)變化,且兩個公比互為倒數(shù)；不同之處只是在對于兩個初速度具體數(shù)值以及行程關(guān)系的設(shè)定上。

《九章算術(shù)》采用盈不足術(shù)求解,得：

此解亦為近似解。

物理解法：可以列出大鼠的位移S與時間t的函數(shù)關(guān)系為：

小鼠的位移S′與時間t的函數(shù)關(guān)系為：

對于單體變加速運動問題,數(shù)學(xué)解法與物理解法的基本思路是一致的,得出的表達式也是一樣的。但對于上述《九章算術(shù)》所列的兩體變加速運動問題,兩種解法則有很大區(qū)別。數(shù)學(xué)解法運用盈不足術(shù),得出的是近似解。物理解法是建立時間與路程的函數(shù)關(guān)系,得出的是非線性方程,運用微積分方法可以得出精確解。

4 討論與結(jié)論

基于上述數(shù)學(xué)解法與物理解法的分析比較,可以得出如下一些初步的認識：

其一,中國古代很早就習(xí)慣于運用比例方法求解運動學(xué)問題,這種做法是成功的。

早在先秦或秦代,中國學(xué)者已經(jīng)運用比例方法解決運動學(xué)問題*比如,針對睡虎地漢簡《算術(shù)》中的委輸問題,鄒大海復(fù)原了古人推導(dǎo)算法的方式,并證明這類問題和算法早在戰(zhàn)國時秦國(至遲在秦代)就已經(jīng)出現(xiàn)。參見鄒大海《從出土竹簡看中國早期委輸算題及其社會背景》(《湖南大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)》,2010年第4期,第5～10頁)。,3世紀劉徽則記錄了有關(guān)算法的推導(dǎo)。事實證明這種方法是成功的。原因有二：一是他們求解的是純運動學(xué)問題,即只探討運動過程,而不涉及導(dǎo)致運動狀態(tài)發(fā)生改變的原因——力的問題；二是他們運用比例方法解決的都是勻速運動問題,對于這種運動,速度、時間、位移之間是滿足一定的比例關(guān)系的。

古希臘亞里士多德最先運用比例方法探討運動學(xué)問題。他假設(shè)A為推動者,B為運動者,Г為被通過的距離,Δ為所經(jīng)過的時間,認為在相等的時間里,相等的力A將會使半個B通過2個Г的距離,而在半個Δ的時間里使半個B通過1個Г的距離,因為這樣是合比例的。[21]

中世紀后期,列奧納多·達芬奇繼續(xù)運用亞里士多德的比例方法研究運動學(xué)問題。他在《筆記》中寫道：“如果一個力使某重物在某段時間內(nèi)運動一段距離,那么同樣的力在相等的時間內(nèi)使一半重的物體移動兩倍的距離,或者這個力使物體在一半時間內(nèi)運動一半的距離,或者這個力在相等的時間內(nèi)使兩倍重的物體運動一半的距離”；“或者相同大小的力,在一半的時間內(nèi)將一半大小的物體移動相等的距離?！钡?達芬奇發(fā)現(xiàn),運用這種方法會導(dǎo)致顯而易見的荒謬結(jié)果：“這個力在1倍的時間內(nèi)將1倍大小的物體移動相等的距離,在1000倍的時間內(nèi)將1000倍大小的物體移動相等的距離?！盵22]

亞里士多德和達芬奇運用比例方法研究運動問題,探討力與運動的關(guān)系,屬于動力學(xué)研究傳統(tǒng)。事實上,在尚不能定量地表示力的情況下,運用比例方法研究力與運動的關(guān)系是行不通的。

其二,對于一些復(fù)雜的運動學(xué)問題,數(shù)學(xué)解法與物理解法具有本質(zhì)的區(qū)別。

對于勻速運動,數(shù)學(xué)解法與物理解法基本上是一致的,二者沒有本質(zhì)差別。

對于勻變速運動,數(shù)學(xué)解法與物理解法除了解題思路不同之外,所運用的公式也不同,前者用的是等差數(shù)列公式,后者用的是勻加速運動公式。這種差別反映了兩種解法具有本質(zhì)的不同。

對于單體變加速運動,數(shù)學(xué)解法與物理解法思路一致,得出的表達式也是一樣的。但對于《九章算術(shù)》所列的兩體變加速運動問題,從數(shù)學(xué)上看,是等比數(shù)列求和問題；從物理學(xué)看,是變加速直線運動問題。數(shù)學(xué)解法運用盈不足術(shù),得出的是近似解。物理解法是建立時間與路程的函數(shù)關(guān)系,得出的是非線性方程,運用微積分方法可以得出精確解。因此,這兩種解法具有本質(zhì)差別。

其三,中國古人雖然對一些運動學(xué)問題已有清醒的認識,但并未形成一般性的物理概念。

速度是運動學(xué)的一個基本概念?！豆茏印こ笋R》稱：“有一宿之行,道之遠近有數(shù)矣?！薄毒耪滤阈g(shù)》用“一日行若干路程”表示速度?？梢娭袊湃嗽谔幚砭唧w的運動問題時,很早即有了速度觀念,但始終未能提出作為一般概念的“速度”一詞。

《九章算術(shù)》中良馬“日增一十三里”,駑馬“日減半里”；《張丘建算經(jīng)》中“今有女善織,日益功疾”,“今有女子不善織,日減功遲”。這些都表示了對勻變速運動的認識。

《九章算術(shù)》中“今有女子善織,日自倍”、“蒲生日自半、莞生日自倍”、“大鼠日自倍,小鼠日自半”和《張丘建算經(jīng)》中“今有馬行轉(zhuǎn)遲,次日減半”，都表達了對變加速運動的認識。

《九章算術(shù)》中的良馬、駑馬算題,術(shù)文將良馬“日增一十三里”稱為“益疾里數(shù)”。這即是對加速度的稱謂。

這些都表明,中國古人對勻速運動、勻變速運動及變加速運動現(xiàn)象都有清醒的認識,只是沒有形成一般性概念。

中世紀,歐洲的經(jīng)院派學(xué)者開始研究運動學(xué)問題。13世紀上半葉,巴黎大學(xué)杰拉爾德(Gerard of Brussels)著有《論運動》(BookonMotion),開創(chuàng)了有別于亞里士多德的運動學(xué)研究傳統(tǒng)。14世紀上半葉,牛津大學(xué)默頓學(xué)院的幾位學(xué)者提出了速度和瞬時速度概念,區(qū)分了勻速運動和非勻速運動,定義了勻加速運動,提出了平均速度定律(也稱“默頓規(guī)則”)。[23]之后,意大利奧雷姆(Nicole Oresme)把默頓學(xué)派的平均速度定律用幾何圖形表示出來,并由圖形發(fā)現(xiàn)：初速度為零的勻加速運動物體在前一半時間內(nèi)所走過的距離,是后一半時間走過距離的三分之一。17世紀上半葉,伽利略繼承和發(fā)展了中世紀的運動學(xué)研究傳統(tǒng),提出了勻加速運動定律。再后,牛頓綜合運用動力學(xué)和運動學(xué)兩種研究傳統(tǒng),建立了經(jīng)典力學(xué)體系。

中世紀,歐洲學(xué)者研究運動學(xué)問題,采用的是抽象的邏輯推演方法。他們認為,如果現(xiàn)實中存在勻加速運動,那么,“默頓規(guī)則”就可以運用到這種運動中。至于現(xiàn)實中哪些運動屬于這種運動,他們并不關(guān)心。從具體現(xiàn)象提煉出一般概念,歸納出一般性問題,經(jīng)過推演,得出一般性結(jié)論。這是西方人慣用的思維方式和研究方法。

與歐洲人相比,中國古人不乏處理具體問題的經(jīng)驗和技巧,但不善于從經(jīng)驗中提出普遍問題,上升為一般性理論。

其四,中國古人對運動現(xiàn)象的認知方式是數(shù)學(xué)性的,而非物理性的。

古人把物理運動學(xué)問題看作數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)方法求解。雖然對于一些簡單的運動問題,數(shù)學(xué)解法與物理解法本質(zhì)上是一致的,但數(shù)學(xué)解法的物理概念不夠清晰,有些算題存在物理量綱錯誤；對于一些比較復(fù)雜的運動學(xué)問題,古人得出的結(jié)果是數(shù)學(xué)公式,無法將其還原為物理公式,此即體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解法的本質(zhì)特征。由于古人把物理問題看作數(shù)學(xué)問題,而且局限于解決具體問題,因而不能提出一般性物理概念,提煉出一般性物理問題,長期停留在一個認識水平上,無法發(fā)展成一般的運動學(xué)理論。這是古代數(shù)學(xué)解法無法走向物理運動學(xué)的根本原因。另外,古代的運動學(xué)算題習(xí)慣于以“日”作為時間單位,而沒有采用“秒”之類的更為精確的時間計量單位,因而不可能對運動過程中物體速度的變化情況做出精確的描述,這也是其無法走向物理運動學(xué)的原因之一。不過,必需看到,中國古人早在漢代即能近似求解一些比較復(fù)雜的運動學(xué)問題,并且具有一些清晰的認識,這在世界物理學(xué)史上仍然是一項突出的成就。

最后尚需說明,算書關(guān)注的是數(shù)量關(guān)系及算法,古代算學(xué)家把現(xiàn)實中的運動現(xiàn)象提煉成數(shù)學(xué)問題予以解答,這是值得充分肯定的科學(xué)成就。我們沒有理由要求古代算學(xué)家一定要以物理的視角看待運動學(xué)問題。本文的目的絕非要苛求古人,而是要分析、比較面對同一種認識對象,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)認知方式與西方物理認知方式的異同,進而探討中國傳統(tǒng)的認知路線無法走向物理運動學(xué)的原因。

致 謝 第一位審稿人指出,中國古代運動學(xué)算題以“日”作為時間單位,而不是以精確的“秒”為單位,這也是其無法走向運動學(xué)的原因。本文吸收了這一見解,特此表示感謝。此外,韓琦先生與鄒大海先生也對本文提出了重要的修改意見,在此一并致謝。

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A Comparison of the Solutions of Traditional Mathematics and Modern Physics of Computational Problems related to Kinematics in Pre-modern Chinese Mathematical Books

HU Huakai, ZHANG Yangyang

(Dept.ofHistoryofScience,UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China)

There are about 175 computational problems related to kinematics in at least 24 of the mathematical texts dating from the Qin Dynasty to the middle of Qing Dynasty. These questions cover uniform motion, uniformly accelerated motion and accelerated motion. While different to modern kinematics, not only in problem solving and cognitive methods, but also in knowledge system, pre-modern Chinese used many kinds of mathematical methods to solve these problems. By systematic analysis and comparison of the solutions of traditional mathematics and modern physics of such computational problems, it is found that the solutions of traditional mathematics are consistent with those of modern physics in the problems of uniform motion, while these two kinds of solutions are inherently different in some more complex problems of uniformly accelerated motion and accelerated motion. This reflects a unique physical cognitive style and problem solving method. The pre-modern Chinese cognitive style of the phenomenon of object motion is mathematical rather than physical. Therefore, no general physical concepts were raised and no general physical problems extracted, a cognitive level that remained over a long period, preventing the development of a general kinematics theory．

pre-modern Chinese mathematical books, kinematics problems, mathematical solutions, physics, comparison

2015- 12- 15；

2016- 01- 03

胡化凱,1954年生,安徽蒙城人,博士,教授；張陽陽,1987年生,安徽滁州人,博士研究生。

N092∶O112

A

1000- 0224(2016)02- 0127- 23