高紅成

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

?

代數(shù)布式 天元開方
——卡爾達諾公式在晚清的境遇

高紅成

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)

卡爾達諾公式由譯本《代數(shù)術(shù)》(1873)傳入中國,引起了晚清數(shù)學(xué)家的關(guān)注,它與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的天元術(shù)和開方術(shù)發(fā)生了互動。晚清數(shù)學(xué)家探討了卡爾達諾公式的立術(shù)之原,企圖用開方術(shù)“消解”三次方程不可約情形,并把它納入自編的代數(shù)學(xué)教材。他們將卡爾達諾公式放在自己的知識結(jié)構(gòu)中討論、理解,在認識到符號代數(shù)優(yōu)越性的同時,也為保留傳統(tǒng)開方術(shù)找到了理由。這些有特色的工作很大程度是由他們自身的知識構(gòu)成決定的。

《代數(shù)術(shù)》 卡爾達諾公式 傳播 知識構(gòu)成

卡爾達諾公式指的是一般三次方程的求根公式,首次發(fā)表于意大利數(shù)學(xué)家卡爾達諾(Girolamo Cardano,1501～1576)1545年出版的《大術(shù)》中。《大術(shù)》是代數(shù)發(fā)展史上的里程碑,系統(tǒng)給出了代數(shù)學(xué)中許多新概念和新方法,如三、四次方程的一般解法,方程的降階,高于一次的方程有多個實根的認識,虛數(shù)及其運算的最早引入,三次方程根與系數(shù)的關(guān)系等等。其中,最為重要也頗具爭議的就是三次方程的求根公式。[1- 4]由于這個求根公式,三次方程“詭辯的”的不可約情形使得復(fù)數(shù)變得無法回避,開啟了復(fù)數(shù)研究的新局面；四次方程求解公式隨之得以解決,誘使人們企圖借助類似的方法解決五次及以上方程的求解問題,最終卻導(dǎo)致群論的創(chuàng)立,整個代數(shù)學(xué)獲得新生。因此,卡爾達諾公式被認為是整個歐洲近代數(shù)學(xué)崛起的先聲。現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家F.克萊因稱它包含了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的萌芽,遠遠超出了古典代數(shù)學(xué)的框架。[5]

三個多世紀后,卡爾達諾公式通過譯本《代數(shù)術(shù)》首次傳入中國?！洞鷶?shù)術(shù)》25卷共281款,由傅蘭雅(John Fryer,1839～1928)口譯、華蘅芳(1833～1902)筆述、劉彝程校算,于1873年在江南制造局出版。[6]其英文底本是《大英百科全書》(EncyclopaediaBritannica)第8版(1853～1860)中英國數(shù)學(xué)家華里司(William Wallace,1768～1843)撰寫的《代數(shù)學(xué)》(Algebra)辭條。[7- 8]其中卷11“論三次之正雜各方式之解法”,介紹的主要就是卡爾達諾公式。

相應(yīng)的,一般高次方程的數(shù)值解法和理論是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要研究領(lǐng)域,代表成就“增乘開方法”在13世紀中葉就已趨于完善。[9]卡爾達諾公式傳入中國時,由于群論、邏輯代數(shù)、非歐幾何的出現(xiàn)以及分析的算術(shù)化,歐洲數(shù)學(xué)已進入了突飛猛進的時代,而中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)早已漸行漸遠,與之不可同日而語。本文關(guān)注的是,自身有著高次方程求解傳統(tǒng)的晚清數(shù)學(xué)家對卡爾達諾公式進行了怎樣的解讀,抑或傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“開方術(shù)”與它發(fā)生了怎樣的互動。從科學(xué)傳播的角度來說,這是一個很值得探究的課題。在前人研究的基礎(chǔ)上,本文先簡介《代數(shù)術(shù)》中的卡爾達諾公式,然后基于原始資料來考察它在晚清的傳播情形,最后對西方數(shù)學(xué)在晚清的傳播提出一些思考。

1 《代數(shù)術(shù)》中譯介的卡爾達諾公式

《代數(shù)術(shù)》全書沿用李善蘭、偉烈亞力共創(chuàng)的漢譯代數(shù)符號表示法。為了便于后文討論,本節(jié)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號簡要敘述第11卷(第113～121款)的內(nèi)容。這一卷主要論述了缺二次項的三次方程

y3+qy+r=0

(1)

的求根公式(卡爾達諾公式)的推導(dǎo)、不可約三次方程及其三角解法。在華里司撰寫辭條時,這部分內(nèi)容實際上是歐洲方程論經(jīng)過邦貝利(R. Bombelli,約1526～1573)的復(fù)數(shù)研究、韋達(F. Vieta,1540～1603)的補充以及歐拉(Leonard Euler,1707～1783)的完善,特別是經(jīng)過數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化之后沉淀下來的內(nèi)容,屬于當(dāng)時歐洲初等方程論的基礎(chǔ)內(nèi)容。

1.1 卡爾達諾公式及其推導(dǎo)

卡爾達諾公式的推導(dǎo)是第114款和第115款的主要內(nèi)容。對方程(1)令y=v+z,得到

v3+3v2z+3z2v+z3+qv+qz+r=0

(2)

《代數(shù)術(shù)》稱：

此式中有兩個未知之?dāng)?shù),一為亥(v),一為人(z)。如能將此式分而為二式,則求亥、人之同數(shù)更易。欲分前式為二,只有一法。*此段文字后引起爭議,現(xiàn)將英文原文附于此:“Thus we have a new equation, which as it involves two unknown quantities, v and z, may be resolved into any two others, which will simplify the determination of those quantities.// Now it appears, that the only way in which we can divide that equation into two others, so as to simplify the question, is the following.”([8],517頁) 另外,在引用原文時隨文以括號夾注,以便理解和對照,下同。

此處所強調(diào)的“只有一法”,即令

3v2z+3zv2+qv+qz=0

(3)

v3+z3+r=0

(4)

另外兩根為

上述求根公式就是方程(1)的卡爾達諾公式,《代數(shù)術(shù)》稱之為“迦但之法”,即Cardan’s rule ([8],517頁)的譯文,現(xiàn)今一般譯為“卡當(dāng)公式(法則)”,Cardan是Cardano的英文拼法。變換y=v+z是關(guān)鍵一步,而v和z當(dāng)時分別譯作“亥”和“人”,因此在晚清這個公式還被稱為“亥加人開方法”。

1.2 “不能化之式” (不可約三次方程)

“不能化之式”是《代數(shù)術(shù)》對irreducible case([8]，519頁)的翻譯，現(xiàn)今一般譯作“不可約情形”，相應(yīng)的方程稱為“不可約三次方程”。這種方程在用卡爾達諾公式求根時會導(dǎo)致一個無法回避的問題：實根必須用虛數(shù)的立方根來表示。在16世紀的歐洲，負數(shù)都不被承認，更不用說虛數(shù)開方了，所以當(dāng)時卡爾達諾和邦貝利都感到困惑，稱這種情形“出乎常理，猶如詭辯(sophistic)”[10]。

1.3 “不能化之式”的三角解法

基于以上討論，第121款介紹了不可約三次方程的三角解法。

(5)

將不可約三次方程

y3-qy+r=0

(6)

這個三角解法是由韋達在其《論方程的整理與修正》(1615)中首先給出的，避免了卡爾達諾公式的使用。三次方程解法的第一個完整討論是1732年由歐拉給出的。[11]

2 晚清數(shù)學(xué)家對卡爾達諾公式的解讀和討論

2.1 探討卡爾達諾公式的立術(shù)之原：(2)式何以只能分成(3)、(4)兩式？

《代數(shù)術(shù)》在推導(dǎo)卡爾達諾公式時稱(2)式“只有一種分法”,即只能分為(3)式和(4)式,但并沒有給出原因。對此,一些中算家表示“蓄疑已久”或“不解”。他們的疑惑實際上觸及到卡爾達諾公式的實質(zhì),諸家有一番探討,大體如下。

1893年,華蘅芳《學(xué)算筆談》(12卷)全部出版,其中卷8、卷9均論及卡爾達諾公式。華氏認為,(2)式“全式既等于〇,則欲分之為兩式,必為使其所分之兩式皆等于〇,方合于理。即所謂〇與〇相加必等于〇也?！鄙岽艘酝?“無論如何分法皆不能使所分之兩式皆等于〇。”([19],卷9，13頁)

翌年,在南菁書院學(xué)習(xí)的崔朝慶著《讀〈代數(shù)術(shù)〉記》,他認為“欲分前式為二,只有一法”一句的翻譯有語病,華蘅芳的解釋“仍前譯書時之誤,而未嘗細辯也?！贝奘险J為“亥與人之同數(shù)原為未定之?dāng)?shù)”,只有分成(3)、(4)兩式,“用別種分法求亥與人之同數(shù),均不易得?！彼运J為應(yīng)在原譯文“只有一法”后加上注文“只有一個分法分作二式易求得亥與人之同數(shù)”才行。[20]實際上,對比英文原文(前文注),《代數(shù)術(shù)》的翻譯并沒有問題。

1899年,劉彝程《簡易庵算稿》(4卷)序成。[21]劉氏于1875～1898年主講求志書院,該書收錄他主講求志書院期間課士的二百余個典型題目并附解答,其中有多題與三次方程求解有關(guān),其中“丙申春一”題給出了與崔氏類似的解釋：只有那樣分才“最為合用”。

顯然,華、崔、劉三人均未理解公式的實質(zhì)。而崔氏的看法被葉耀元主編的《新學(xué)報》第2期(1897)以“《代數(shù)術(shù)》辯誤”為題加以轉(zhuǎn)載,并且還被吳誠《代數(shù)一隅》(1898)、解崇輝《代數(shù)術(shù)補式》(1898)引用。[22- 24]可見,上述6人均未弄清卡爾達諾公式的立術(shù)之原。

這個疑惑,后來的陳平瑛給出了本質(zhì)的解釋。陳平瑛,字修常,福建侯官人,1881年生,在福建府丁酉(1897)年的科舉考試中舉,年僅17歲。時人稱他“生而穎悟,幼通算理,年未弱冠,以算學(xué)名天下,其丁酉科闈中所對天算策問,傳頌于時?！盵25]。曾任廣州府中學(xué)堂算學(xué)教習(xí)。[26]1901年,他著成《中西算學(xué)題鏡》(8卷),其中卷1“專論三次式之理”說：

其所以分為二式之故,《代數(shù)術(shù)》只云“欲分前式為二,只有一法”,而不言其理。遍考諸家算草,皆云如此分之,則能令二式皆等于〇,否則無論如何分法,皆不能令所分之二式等于〇。其語多涉含混,因取而另解之。([25],卷1，1頁)

他先給出完全立方和恒等式

(v+z)3=v3+z3+3vz(v+z)

(7)

將y=v+z代入得

y3-3vzy-(v3+z3)=0

(8)

將此式與方程(1)對比，可得

q=-3vz，r=-(v3+z3)

(9)

(2)式可變形為

(v3+z3+r)+(3vz+q)(v+z)=0

與(9)式對比，可知(2)式“只有一法”分成(3)、(4)兩式。

可見，陳平瑛完全弄清了卡爾達諾公式立術(shù)之原就是完全立方和公式(7)。

2.2 “消解”不可約情形

2.2.1 不可約情形的“解法”

圖1 沈善蒸虛數(shù)開立方算草

法一：將實數(shù)、虛數(shù)依立方廉隅法配成四項開之。如劉彝程《簡易庵算稿》乙酉春一題。

這種類比開方法的初商很不好找，劉彝程稱“配法極煩，不便于行”([21],卷4，5頁)。實際上，只是立方虛根符合開方術(shù)的形式，但無法直接用代數(shù)開方得到虛數(shù)的立方根。

法二：“代數(shù)”開立方術(shù)

專用左邊實數(shù)(A),先求初商(a),以其立方積減左,又三因初商除之,開平方得次商(b)?；?qū)Ｓ糜疫吿撌交蚋?先求次商(b),以其立方積減右(B),又三因次商(b)除之,開平方得初商(a)。([21],卷4，6頁)

這個方法先求的商是試算出來的,“極費經(jīng)營”。此題篇幅長達十三頁,列舉了多個例題,極力破解“不能化之式”。后來,陳志堅《求一得齋算學(xué)》(1904)引用了這個方法,但加上一個驗商的步驟,“以次商立方積減右,復(fù)三因次商以除右,余數(shù)平方開之,適與初商合,則初商次商即為定商。若三因次商除右余數(shù)不能開方,或能開而所得與初商不合,則另擬?！盵28]因此這個方法只具有理論價值了。

法三：待定系數(shù)法

支寶枬1898～1901年主講于上虞算學(xué)堂,他曾是劉彝程在求志書院的學(xué)生,([21],凡例)主編的《上虞算學(xué)堂課藝》收入了一個很有“代數(shù)”意味的方法。[29]問題為：

八十負加減一萬五千五百五十二負之平方根為實立方,開之為何式？([29],卷上，29頁)

這是個有意思的解法，題設(shè)的來源是三次方程的不可約情形，而解決的關(guān)鍵最后的三次方程竟是借助于傳統(tǒng)的“開方術(shù)”求解。所以支寶枬在開篇“例言”就指出，“遇不能化者，不如用天元商得數(shù)較易。蓋開方闡理，天元不及代數(shù)之精；超步約商，代數(shù)不若天元之便。”([29]，例言)

法四：級數(shù)法

前面提到的陳平瑛在《中西算學(xué)題鏡》卷1給出了兩種較為新穎的方法：級數(shù)法和三角法。先介紹級數(shù)法。由二項式展開式得到

這樣得到x的一個近似值x≈4.4188。

法五：三角法

(10)

則

(11)

陳氏指出，《代數(shù)術(shù)》第262款介紹了棣莫弗公式

(12)

陳氏此法與韋達三角解法“相通”。實際上,陳氏相當(dāng)于運用棣莫弗公式將韋達的三角解法推導(dǎo)出來了。

這五種方法明顯分為成兩類。前三種方法均很自然地以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的開方術(shù)來“消解”不能化之式,在這個傳統(tǒng)中,虛數(shù)立方根與實數(shù)立方根的處理沒有什么區(qū)別,并且開方術(shù)具有“簡便”的優(yōu)勢。陳氏的后兩法則是從《代數(shù)術(shù)》中尋找到了解決之道,已融入西方數(shù)學(xué)的范式,顯示了晚清數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢。

2.2.2 對三次方程根的討論

劉彝程《簡易庵算稿》戊戌秋一、秋二兩題討論了缺項三次方程根的情況。他說：

準(zhǔn)秦道古(指秦九韶)《數(shù)書九章》及李尚之《開方說》。凡開方式,其相聯(lián)兩層以下步上,異名得一正根,同名得一負根。又以方步實得一小根,以廉步方得一中根,以隅步廉得一大根?！斩椫⒎?準(zhǔn)代數(shù)理,其大根必等于中小根之和,而反其號,故能相加適盡。而令二項為空,但此等式大、中、小三根有無虛實,代數(shù)雖論及之,究未詳盡。([21],卷4，4頁)

對于缺項的三次方程根的討論,可以追溯到于清代中期李銳和汪萊的研究,這個問題在傳統(tǒng)開方術(shù)中通過步法解決。這里不介紹劉氏討論的過程,只關(guān)注劉氏通過《代數(shù)術(shù)》中介紹的多項式因式分解理論以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識,得到了比李銳更為詳盡的結(jié)果。劉氏的討論實際指向不可約情形,他最后得到三次方程至少有一實根的結(jié)論,因此“無論一實根、三實根之式,可先求其易得之根。由亥(v)、人(z)得地(y),以地除空二項式,化為平方式,易求得其余二根?！贝思?求得一實根后將方程降為二次,然后得到另外兩個根,避免了公式法的麻煩。劉氏的討論結(jié)果后來還被陳志堅《求一得齋算學(xué)》引用。

可以看出,劉氏題設(shè)明顯屬于傳統(tǒng)開方術(shù)的范疇,承續(xù)了清代中期李銳、汪萊研究開方術(shù)的思路,討論三次方程根的個數(shù)和大小關(guān)系,針對的卻是《代數(shù)術(shù)》中三次方程。類似的情形在晚清西方數(shù)學(xué)輸入和傳播過程中不少,值得思考。

2.3 自編代數(shù)學(xué)教材：舍棄開方術(shù)

隨著《代數(shù)學(xué)》(1859)、《代微積拾級》(1859)、《代數(shù)術(shù)》等書籍的翻譯,符號代數(shù)逐漸得到晚清中算家的認同,影響也日益增強。一些數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)教師普遍以代數(shù)方法或其他西方數(shù)學(xué)方法來演算、整理傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作中的算題,以此種方式來傳授、傳播西方數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法。[30]突出情形就是將西方數(shù)學(xué)內(nèi)容直接移植或改編,撰寫出適合中國學(xué)子的代數(shù)學(xué)教材。方楷《代數(shù)通藝錄》、馮澂《代數(shù)啟蒙》、黃慶澄《代數(shù)鑰》可視為代表。

方楷(1839～1891),字子可,江蘇陽湖(今武進縣)人,1882～1887年在廣州實學(xué)館任漢文教習(xí),教授漢文和算學(xué)。《代數(shù)通藝錄》(16卷,1890)[31]是方楷在任教于實學(xué)館期間自編的數(shù)學(xué)講義基礎(chǔ)上編纂而成,被認為是中國數(shù)學(xué)家自己撰寫的第一部代數(shù)學(xué)教材 ([30],232頁),它最大的特點就是運用《代數(shù)術(shù)》中的符號代數(shù)語言、方法對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中典型內(nèi)容和算法進行演算和重構(gòu)[32]。方氏曾自述其編纂思想說：

以代數(shù)為根原,于中學(xué)則通《九章》,于西學(xué)則通幾何、借根方及諸比例,于古學(xué)則通天元、四元。又以代數(shù)無定式通古求一術(shù),以平三角通測量,以弧三角通星歷。旁及于《輯古算經(jīng)》、洞淵九容諸法,悉以代數(shù)通之。[33]

該書第十卷“立方三次式”介紹三次方程的解法。首先利用幾何模型介紹了帶一縱立方、帶兩縱相同立方以及帶兩縱不同立方等三種三次方程,所用術(shù)語源于《數(shù)理精蘊》,以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中常用的“立方積求邊”的方式設(shè)題,方程表示法卻來自《代數(shù)術(shù)》,解題主要是運用卡爾達諾公式得到一正根,然后運用綜合除法得到二次降階方程,最后用配方法求得另外兩個根。對于不可約情形,方氏先用三角解法求出一實根,然后對方程降次,最后得到3個根。整卷沒有介紹傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的開方術(shù),僅僅是沿用了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中方程的名稱。

馮澂,字涵初,號清渠,江蘇通州(今江蘇南通)人,曾在黃炳垕的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)天算。1891年入南菁書院受業(yè),直到1902年才離開書院。所編《代數(shù)啟蒙》(4卷,1897)編撰目的與方楷一致,“為習(xí)代數(shù)者入門之助”。[34]內(nèi)容相較于方著簡潔,只有四卷,知識最高內(nèi)容就是三次方程的解法,出現(xiàn)在末卷。該卷主要講二次方程和三次方程的代數(shù)解法,內(nèi)容同樣源自《代數(shù)術(shù)》,講解方式與方楷相同,術(shù)語和設(shè)題采用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形式,解答則是運用《代數(shù)術(shù)》中的代數(shù)方法,不介紹傳統(tǒng)的開方術(shù)。三次方程的內(nèi)容與方著相當(dāng),甚至前兩個例題和解題主要步驟都一樣,但邏輯性較方著為強。

黃慶澄(1863～1904),原名炳達,字欽教,號愚初,浙江平陽人。所著《代數(shù)鑰》(7卷),原連載于他創(chuàng)辦的《算學(xué)報》第4～10期。該報于光緒二十三年(1897)六月創(chuàng)刊,月刊,光緒二十四年五月?？?共刊出12冊(期)?！洞鷶?shù)鑰》每1卷為1冊,共7冊,對應(yīng)《算學(xué)報》的第4～10冊(期)?！端銓W(xué)報》第一冊“公啟”稱,“本報專釋近日算學(xué)中最切要者,演為圖說,俾學(xué)者由淺而深,即窮鄉(xiāng)僻壤,無師無書,亦可戶置一編,按其圖說自尋門徑?！盵35]《代數(shù)鑰》卷7中“論三次式之以二求一法”、“再論三次式之以二求一法”、“論三次式不能化之式”等三節(jié)解釋卡爾達諾公式。1906年啟新書局將這七卷結(jié)集以同名出版。[36]相較于方、馮兩書,《代數(shù)鑰》中幾乎沒有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的痕跡,全書依據(jù)《代數(shù)術(shù)》,介紹和解釋《代數(shù)術(shù)》中的相關(guān)內(nèi)容,最高知識內(nèi)容就是三次方程求解。卷6和卷7完整地介紹三次方程求根公式的推導(dǎo),并對“不能化之式”做了詳細的說明,印證了“專釋近日算學(xué)中最切要者”。

三書在方程解法介紹上雖有區(qū)別,但有一個相同的作法：不再介紹傳統(tǒng)的開方術(shù)。這些表明編者認識到了符號代數(shù)的優(yōu)越性和邏輯性,體現(xiàn)了西方數(shù)學(xué)在晚清的傳播逐漸深入。

3 “代數(shù)布式,天元開方”(代結(jié)語)

卡爾達諾公式之所以在歐洲引發(fā)一系列重大的反響,一個重要的原因是歐洲數(shù)學(xué)家對一般高次方程解的一般形式的執(zhí)著追求。在中國,傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家對一般高次方程的求解也同樣執(zhí)著,但他們崇尚的是數(shù)值解,注重算法的程序性和快捷性,早在宋元時期就已經(jīng)形成了自己的解高次方程的傳統(tǒng)。列方程有天元術(shù),解方程有增乘開方術(shù)和正負開方術(shù)等方法。

即便如此,就是進入了20世紀,很多數(shù)學(xué)家在求解方程時還是認為卡爾達諾公式解法“極繁難”,不如傳統(tǒng)的開方術(shù)便捷。且看如下幾例。

鄒尊顯在其《元代開方通義》(不分卷,1905年序)稱：

泰西算學(xué)家創(chuàng)代數(shù),流傳中土,中人譯之以天地人物等元代未知之?dāng)?shù),以甲乙丙丁等元代已知之?dāng)?shù),蓋即中國之《四元玉鑒》也。唯其式俱橫列,眉目清楚,較《四元玉鑒》之上下左右分列易至混淆者,尤為盡美盡善。獨于開方一術(shù),則自二次雜方外其三次雜方已覺不勝繁難,……至于四次以上更多滯礙難通,從無名家能創(chuàng)一通術(shù)以御之?！〈鷶?shù)三次雜方式以天元之義通之,按式推演,其得數(shù)若合符節(jié),從可知代數(shù)四次以上之雜方無不可以天元之義通之也。[37]

劉澤楨在《中西數(shù)學(xué)通解》(20卷,1907)卷16“帶從較數(shù)立方”論道：

愚初習(xí)算,竊謂代數(shù)至開三次雜方以上,其法歧出,其理較深,其得數(shù)最費轉(zhuǎn)折,初學(xué)讀之,難遽了然。……不若天元開方,無論平方、立方,以至若干乘方,且勿問帶從、不帶從,帶從之同與不同,為和、為較,無不可以一例推之。故識者謂布式莫便于代數(shù),而開方莫捷于天元。爰以代數(shù)布式,天元開方。[38]

陳崧為潮州金山中學(xué)堂編輯了一本有關(guān)代數(shù)學(xué)習(xí)的課本《借根方代數(shù)匯通》(5卷),自序于1903年,1910年刊刻出版,該書卷5“開方篇”說：

考西人《代數(shù)術(shù)》,惟解二次之式稍覺平易,至解三次式、四次式以及多次者,亦極繁難。故此書唯帶從平方則用代數(shù)法開之,其余帶從立方以下,則取秦道古投胎換骨之法以開之。蓋此術(shù)較代數(shù)術(shù)更為簡妙。近日李壬叔、華若汀皆深于算學(xué)者,亦以此法為甚便也,余故采而用之。[39]

可見,他們在處理高次方程求解時,常常先以符號代數(shù)方法列方程、整理、化簡方程,最后將得到的橫式的一元高次方程改寫為傳統(tǒng)的豎式開方式,運用開方術(shù)求解。([30],273頁)此即劉澤楨所謂的“代數(shù)布式,天元開方”。在他們眼中,代數(shù)方法不是求解高次方程的“通術(shù)”,“解三次式”的卡爾達諾公式會帶來“繁難”,所以三次及以上的高次方程最終都以開方術(shù)求根。此外,即使晚清數(shù)學(xué)家逐漸認識到代數(shù)方法列方程優(yōu)于天元術(shù),天元術(shù)也沒有被完全舍棄。([30],274頁)如華蘅芳認為“不習(xí)天元則正負開方之理不能盡明,雖從代數(shù)得其相等之式,亦不易求其同數(shù)?！?[19],卷5，20頁)亦即,若不學(xué)天元術(shù)便無法理解正負開方術(shù),這容易導(dǎo)致最后用代數(shù)方法得到的一元高次方程難以求根。這樣,天元術(shù)因為開方術(shù)而得以留存。

的確,跨文化的科學(xué)傳播有其復(fù)雜性,在傳播過程中,科學(xué)知識本身的“優(yōu)越性”并不起決定作用,傳播者和接受者雙方的特點決定了西方科學(xué)知識傳播的特點和內(nèi)容。([30],370～371頁) 科學(xué)傳播不僅取決于傳入的西方科學(xué),也取決于國人對科學(xué)的理解。[40]西方數(shù)學(xué)在晚清的傳播就是如此。面對卡爾達諾公式,中算家是從自己的知識結(jié)構(gòu)出發(fā),把它放在自己知識構(gòu)成中去理解、重構(gòu)、吸收和揚棄,他們認識到符號代數(shù)方法在表示和運算方面的便捷,但在對比“不能化之式”的繁雜之后認為傳統(tǒng)的開方術(shù)在解方程方面具有“通法”的價值。他們并不糾結(jié)于方程的根式解或一般公式解,既然《代數(shù)術(shù)》已指出“五次及五次以上之式無人能思得一通法可徑解之,亦無有一定可化之為簡次之式者”([6],129款),而傳統(tǒng)開方術(shù)可以作為“通法”解決歐洲數(shù)學(xué)家的困惑,就具有了保留的價值。因此開方術(shù)在晚清反倒獲得了新的發(fā)展,華蘅芳的積較術(shù)即為一例。[41]這也是西方數(shù)學(xué)傳入后,晚清數(shù)學(xué)家反而能做出一些有特色的工作的重要原因之一。

但同時我們也看到,晚清數(shù)學(xué)家的知識構(gòu)成在比較、吸收西學(xué)的過程中在不斷地擴充和改變,逐步形成了新的知識結(jié)構(gòu),影響著后來與西學(xué)的相互作用,最后融入西方數(shù)學(xué),傳統(tǒng)數(shù)學(xué)被取代。方楷、馮澂、黃慶澄等人的努力加速了這一進程。陳平瑛對三次求根公式的理解和把握所達到的高度,就是中算家知識構(gòu)成達到一個新層次的體現(xiàn)。中算家知識構(gòu)成的變化,可以作為分析和理解西方數(shù)學(xué)在晚清傳播情形的一個新視角,這個視角可以兼顧傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“知識進展”與“近代化”的研究思路。

致 謝 感謝中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所韓琦研究員、田淼研究員、鄒大海研究員以及丹麥RoskildeUniversity的JensH?yrup教授的指點和匿名專家的評審意見,感謝中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所潘澍原博士惠贈資料。

1 王青建.三次方程求根公式的歷史[C] //李迪主編.數(shù)學(xué)史研究文集.第3輯.臺北：九章出版社；呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué)出版社,1992.

2 梁宗巨,王青建,孫宏安.世界數(shù)學(xué)通史[M].下冊. 第2版.沈陽：遼寧教育出版社,2000.457.

3 趙繼偉.《大術(shù)》研究[D].西安：西北大學(xué),2005.15～20.

4JacquelineA.Stedall. From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections:filling a gap in the history of algebra[M].Zürich:EuropeanMathematicalSocietyPublishingHouse,2010.17.

5F.克萊因.高觀點下的初等數(shù)學(xué)[M].第1卷.舒湘芹,等譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,2011. 84.

6 華里司.代數(shù)術(shù)[M]. 傅蘭雅口譯,華蘅芳筆述.江南制造局刊本,1873 (同治十二年).

7 戴吉禮.傅蘭雅檔案[M].第2卷.桂林：廣西師范大學(xué)出版社,2010. 645.

8WallaceW. Algebra[M] //Encyclopaedia Britannica,8thed.. 1853- 1860.489～564.

9 錢寶琮.增乘開方法的歷史發(fā)展[C]//宋元數(shù)學(xué)史論文集.北京：科學(xué)出版社,1985.36.

10KatzVJ.數(shù)學(xué)史通論[M].李文林,等譯.北京：高等教育出版社,2004.287.

11M.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].第1冊.張理京,等譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2002. 311.

12 丁福寶.算學(xué)書目提要[M].無錫竢實學(xué)堂刊本.1899 (光緒己亥).6.

13 梁啟超.讀西學(xué)書法[C]//梁啟超著,夏曉虹輯.《飲冰室合集》集外文.下冊.北京：北京大學(xué)出版社,2005.1160.

14 楊楠.清末中算家對連分數(shù)的研究和應(yīng)用[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,14(2)： 37～42.

15 田淼.《一次不定方程解法》研究[C] //第二屆中國少數(shù)民族科技史國際會議論文集.北京：社會科學(xué)文獻出版社,1996.

16 郭培.“泛倍數(shù)法”的傳入與研究[D].天津：天津師范大學(xué),2011.

17 燕學(xué)敏.《代數(shù)術(shù)》中譯本初探[C]∥李兆華主編.漢字文化圈數(shù)學(xué)傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育.北京：科學(xué)出版社,2004.1～165.

18 趙栓林,郭世榮.《代數(shù)學(xué)》和《代數(shù)術(shù)》中的術(shù)語翻譯規(guī)則[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)漢文版),2007,36(6)： 687～693.

19 華蘅芳.學(xué)算筆談[M].卷8,卷9.行素軒算稿刊本. 1893(光緒癸巳).

20 崔朝慶.南菁札記·讀《代數(shù)術(shù)》記[M].江陰使署刊本,1894(光緒甲午).

21 劉彝程.簡易庵算稿[M].江南制造局刊本,1900(光緒庚子).

22 葉耀元.新學(xué)報[M].第1冊,第2冊.1897 (光緒二十三年七月/八月).

23 吳誠.算學(xué)一隅·代數(shù)一隅[M].寧波儲才學(xué)堂刊本,1898(光緒戊戌).

24 解崇輝.代數(shù)術(shù)補式[M].上海順成書局石印本,1900(光緒庚子).

25 陳平瑛.中西算學(xué)題鏡[M].西湖街藏珍閣刊本,1901(光緒丁丑).后序1a.

26 黃啟明.微積通詮[M].廣州菁華閣刊本,1905(光緒三十一年).陳平瑛序.

27 沈善蒸.解代數(shù)一百十四款[M] //華里司輯.代數(shù)術(shù)·卷11.傅蘭雅口譯,華蘅芳筆述.古今算學(xué)叢書刊本,1898(光緒戊戌).

28 陳志堅.求一得齋算學(xué)[M].卷11.松江嵇文墨齋刊本,1904(光緒三十年).18.

29 支寶枬.上虞算學(xué)堂課藝[M].卷上.經(jīng)正書院刊本,1901(光緒辛丑).29.

30 田淼.中國數(shù)學(xué)的西化歷程[M].濟南：山東教育出版社,2005. 229.

31 方愷.代數(shù)通藝錄[M].西湖街成文堂刊本,1890 (光緒庚寅).

32 閆艷麗.方楷及其《代數(shù)通藝錄》研究[D].天津：天津師范大學(xué),2015.

33 方楷.代數(shù)通藝錄跋[M]//中華歷史人物別傳集·第62冊·方子可哀錄·方氏遺書目錄.北京：線裝書局.2003.597.

34 馮澂.代數(shù)啟蒙[M].江蘇書局刊本,1897(光緒丁酉). 序.

35 黃慶澄.算學(xué)報[M].第1冊(期).1897(光緒二十三年六月).公啟.

36 黃慶澄.代數(shù)鑰[M].啟新書局刊本,1906(光緒丙午).

37 鄒尊顯.元代開方通義[M].刊本,1905(光緒乙巳序).自序.

38 劉澤楨.中西數(shù)學(xué)通解[M].卷16.樂山叢桂書屋刊本,1907(光緒三十三年).18.

39 陳崧.借根方代數(shù)匯通[M].卷5.東溪算學(xué)八種刊本,1910(宣統(tǒng)二年).1.

40 韓琦.數(shù)學(xué)的傳入及其影響[M] //董光璧主編.中國近現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)史.長沙：湖南教育出版社,1997.121.

41 李兆華.招差術(shù)略論[C]//古算今論.第2版.天津：天津科技翻譯出版公司,2011. 282～299.

Building Equations by Algebra but Solving them by Tianyuanshu： A Study on the Dissemination of the Cardano’s Formula in the Late Qing

GAO Hongcheng

(SchoolofMathematics,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

The earliest introduction of Cardano’s formula into China was through the workDaishushu(代數(shù)術(shù)) in 1873. It aroused the attention of traditional Chinese mathematicians in the Late Qing, resulting interactions withKaifangshuandTianyuanshutechniques of traditional Chinese mathematics. Chinese mathematicians studied its origin, and wanted to “eliminate” the irreducible case of cubic function by means ofKaifangshu, and assimilated it into their algebra textbooks. They selected and incorporated Western mathematics on the basis of their own composition of knowledge. Though they realized the superiority of symbolic algebra, at the same time they found reasons for retainingKaifangshu.

Daishushu(Algebra), Cardano formula, dissemination, composition of knowledge

2014- 10- 08；

2016- 04- 20

高紅成,1976 年生,湖北麻城人,科學(xué)史博士,副教授,主要研究中國數(shù)學(xué)史。

國家自然科學(xué)基金 (項目編號:11001199)

N092∶O112

A

1000- 0224(2016)03- 0273- 12