蘇藝偉●

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100)

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傾斜角互補(bǔ)的幾種表現(xiàn)形式

蘇藝偉●

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100)

人教A版必修二第3.1.1節(jié)介紹了直線的傾斜角與斜率.在本節(jié)的學(xué)習(xí)中我們知道了一個知識點(diǎn):若兩條直線傾斜角互補(bǔ),且斜率都存在,則斜率之和為零.這是一個再平常不過的基礎(chǔ)知識,以至于沒能引起同學(xué)甚至教師足夠的重視.事實(shí)上,在重要的考試當(dāng)中經(jīng)常會涉及到這個知識點(diǎn)的運(yùn)用,而題目往往不會直接給出“傾斜角互補(bǔ)”這么明顯的條件,而是變換另外的表現(xiàn)形式.這個時候就需要將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用該知識點(diǎn)來解決問題.本文著重探討了“傾斜角互補(bǔ)”的幾種常見表現(xiàn)形式,以期能夠?qū)虒W(xué)解題起到較好的指導(dǎo)作用.

一、入射光線和反射光線

設(shè)l1為入射光線,經(jīng)過x軸反射后,l2為反射光線,此時兩直線傾斜角互補(bǔ).

例1 光線沿直線x+2y-1=0射入,經(jīng)過x軸反射,求反射光線所在的直線方程.

二、關(guān)于x軸對稱(x軸是角平分線)

如果兩條直線關(guān)于x軸對稱,顯然兩直線的傾斜角是互補(bǔ)的.如果x軸是某一個角的角平分線,那么這個角的兩邊所在直線必定關(guān)于x軸對稱,故傾斜角也是互補(bǔ)的.

例2 教材復(fù)習(xí)參考題B組第1題

與直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為( ).

A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0

C.3x-4y+5=0 D. 3x-4y-5=0

例3 (2013年陜西高考理科第20題)

已知動圓過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點(diǎn).

解析 (1)易求得軌跡C的方程為y2=8x.

(2)如圖(3)所示,設(shè)直線l方程為y=kx+b,P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b).

因為x軸是∠PBQ的角平分線,故直線PB,QB傾斜角互補(bǔ),kPB+kPQ=0.

三、某兩個角相等(兩條線段相等)

如果題目條件為某兩個角相等,則往往隱含了相應(yīng)的兩條直線傾斜角互補(bǔ).有時候題目會以某個三角形中某兩條線段相等為條件,此時也可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩條直線傾斜角互補(bǔ).

(2)假設(shè)存在N(x0,0)滿足題意.

當(dāng)PQ⊥x軸時,由橢圓的對稱性可知,恒有∠PNM=∠QNM,即x0∈R.

當(dāng)PQ與x軸不垂直時,設(shè)直線PQ方程為y=k(x-1),P(x1,k(x1-1)),Q(x2,k(x2-1)).

因為∠PNM=∠QNM,故直線PN,QN傾斜角互補(bǔ),kPN+kQN=0.

綜上,在x軸上存在定點(diǎn)N(4,0),使得∠PNM=∠QNM.

解析 假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P(0,t),設(shè)M(x1,kx1+a),N(x2,kx2+a).

因為∠OPM=∠OPN,故直線PM,PN傾斜角互補(bǔ),kPM+kPN=0.

要使當(dāng)k變動時,總有∠OPM=∠PON,則t=-a.

因此存在符合題意的點(diǎn)P(0,-a).

解析 由OE=EF得直線AB,CD的傾斜角互補(bǔ),斜率互為相反數(shù).

設(shè)直線AB的方程為y=kx,直線CD的方程為y=-k(x-1).

顯然直線AC,BD也在上述二次曲線方程中.

設(shè)AC:A1x+B1y+C1=0,BD:A2x+B2y+C2=0.

由(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0,展開得

A1A2x2+B1B2y2+(A1B2+B1A2)xy+(A1C2+C1A2)x+(B1C2+C1B2)y+C2C1=0…(2)

比較(1),(2)兩式,xy項系數(shù)為0,故A1B2+B1A2=0.

因此直線AC,BD的斜率之和為定值0.

同一個知識點(diǎn)可以有不同的表現(xiàn)形式,在實(shí)際解題中我們要善于引導(dǎo)學(xué)生透過表現(xiàn)抓住問題的本質(zhì).這樣不僅能夠豐富解題經(jīng)驗,還能形成良好的邏輯思維能力,提升思辨智慧.

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