一個二次曲線定理的再推廣

朱 晶●

江蘇省鎮(zhèn)江中學(212017)

?

一個二次曲線定理的再推廣

朱 晶●

江蘇省鎮(zhèn)江中學(212017)

在綜合二次曲線的兩個關(guān)于直線恒過定點的結(jié)論之后，將其進一步推廣，得到更一般的結(jié)論.

二次曲線;定點;定值;斜率

文[1]給出了二次曲線的一個定理如下：

文[2]通過對圓的一個常見結(jié)論進行推廣，得到如下

受文[1]、文[2]的啟發(fā)，筆者想到：文[1]中的“PM⊥PN”，就是文[2]中的“C=-1”，如果將文[1]中的“PM⊥PN”改為“kPM·kPN=t(t為常數(shù))”，直線MN是否恒過定點？通過研究，得到一個肯定的結(jié)果.

把②代入①,則二次曲線Γ在新系x′Py′中的方程為：A(x′+x0)2+B(y′+y0)2+C(x′+x0)+D(y′+y0)+E=0,

整理得Ax′2+By′2+(2Ax0+C)x′+(2By0+D)y′=0 ③.

設(shè)MN在新系x′Py′中的方程為mx′+ny′=1，代入③得Ax′2+By′2+[(2Ax0+C)x′+(2By0+D)y′](mx′+ny′)=0.

整理得： [A+(2Ax0+C)m]x′2+[B+(2By0+D)n]y′2+[(2Ax0+C)n+(2By0+D)m]x′y′=0.

(1)當A=tB時，則由⑤得(2Ax0+C)m=(2By0+D)nt.

2.定理的三個推論

[1]沈新權(quán).二次曲線內(nèi)接直角三角形斜邊過定點的一個統(tǒng)一結(jié)論及推廣[J].數(shù)學通訊，2010(1).

[2]徐道.一個平面幾何結(jié)論的解析推廣[J]. 中學生數(shù)學(高中版)，2010(11).

G632

B

1008-0333(2016)28-0033-01