張守波　王哲巖　張文宇(渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院，遼寧錦州121013)

小學(xué)數(shù)學(xué)估計內(nèi)容認(rèn)識誤區(qū)探析

張守波王哲巖張文宇(渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院，遼寧錦州121013)

一、問題提出

估計可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)字敏感性，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感，其具備最容易將數(shù)學(xué)與實際生活緊密聯(lián)系在一起的特性，也越發(fā)受到人們的重視。1980年，美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(NCTM)在《行動的綱領(lǐng)》中號召教師將估計活動結(jié)合到數(shù)學(xué)程序中去,并且鼓勵學(xué)生進(jìn)行估計練習(xí)，這份文件第一次把估計能力作為一種重要的數(shù)學(xué)素質(zhì)[1]。日本于1989年頒布的《日本中小學(xué)數(shù)學(xué)課程》提出在課程規(guī)劃中有用概數(shù)（近似數(shù)）來估計四則運算結(jié)果的要求，強(qiáng)調(diào)小學(xué)五年級之后，教師必須提供適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)情境，以利于學(xué)生使用估算來求解結(jié)果和檢驗結(jié)果的合理性[2]。加拿大于1995年頒布的《加拿大安省數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（1 -9年級）》要求6年級學(xué)生可以通過心算、估算、計算器和紙—筆算式解決單步驟問題并且能在心算、估算、計算器和紙—筆算式中選擇最好的運算方式[3]。1998年荷蘭政府與科學(xué)文化部頒布的“教育獲得性目標(biāo)”，在小學(xué)教學(xué)具體課程標(biāo)準(zhǔn)的“一般能力目標(biāo)”中有要求：“學(xué)生應(yīng)該能夠靈活使用各種方法進(jìn)行估算，包括小數(shù)和分?jǐn)?shù)的相關(guān)的估算，并能對估算結(jié)果的合理性做出大致上的判斷”[4]。

在我國，估計內(nèi)容真正受到重視是在2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》，估計有了明確的學(xué)段目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，將能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性做出解釋作為數(shù)感的表現(xiàn)之一，不再像往日的課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）只是對估計內(nèi)容簡單提及[5]。特別是在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，估計內(nèi)容教學(xué)又有了新的學(xué)段目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，并且明確表示數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系[6]。而且將數(shù)感作為中小學(xué)生應(yīng)該掌握的能力之一，足見對估計的重視程度。

然而估計內(nèi)容正式成為教學(xué)內(nèi)容只有十幾年的時間，而且估計看起來與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性的特點相悖，部分教師和學(xué)生對估計的認(rèn)識存在著很大的誤區(qū)，不利于估計內(nèi)容的掌握。

二、數(shù)學(xué)估計

數(shù)學(xué)估計是對結(jié)果進(jìn)行非精確的、大致的預(yù)測，沒有一套具體的可以操作的步驟。司繼偉認(rèn)為估計是未經(jīng)過物理操作而迅速給數(shù)學(xué)問題提供一個近似答案的心理操作過程，目前對于估計的概念沒有一個公認(rèn)的解釋，一般來說估計主要涉及到3種類型：數(shù)量估計（估數(shù)）、計算估計（估算）和測量估計（估測）[2](14)。 以下將從這三個方面對估計進(jìn)行分析。

（一）估數(shù)

估數(shù)實際是在沒有足夠時間數(shù)出物體的數(shù)量，或者沒有必要數(shù)出精確數(shù)量，或者物體數(shù)量過大，或?qū)Ψ庆o止的物體根本無法做出計數(shù)的情況下做出的一種粗略估計[7]。多出現(xiàn)于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，常見于第一學(xué)段。估數(shù)在生活中非常常見，與生活緊密相連，例如一箱蘋果的個數(shù)，體育場館觀看籃球比賽的人數(shù)，某學(xué)生的身高、體重等。估數(shù)相對來說更加直觀具體，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，有利于低年級學(xué)生掌握，因而估數(shù)是培養(yǎng)小學(xué)生估計意識、培養(yǎng)數(shù)感的不二選擇。

（二）估算

估算在《辭?！分卸x為大致推算，“大致”即大約；“推算”即推演計算[8]。司繼偉認(rèn)為：估算是個體未經(jīng)過精確計算而只借助原有知識對問題提出粗略答案的一種估計形式，是心算、數(shù)概念和算術(shù)計算技巧之間相互作用的過程[2](14)。估算常被應(yīng)用于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域。教材中常見的估算主要有兩類：一是數(shù)字類估算，主要特點為沒有具體情境，全部是數(shù)據(jù)，題目要求為估算，學(xué)生需要根據(jù)給定數(shù)據(jù)估算結(jié)果，例如：估算10199；二是情境類估算，其特點是多和具體情境結(jié)合在一起，以情境為背景，生活中的數(shù)據(jù)為具體條件，學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)預(yù)估情境結(jié)果，例如：一根鉛筆0.9元，一個文具盒9元，買5根鉛筆，一個文具盒，帶15元夠嗎？

事實上，數(shù)字類估算與情境類估算也不是彼此孤立的，二者有著緊密的聯(lián)系。其中數(shù)字類估算是情境類估算的基礎(chǔ)，情境類估算是數(shù)字類估算的升華。無論是哪種估算，其作用不僅可以節(jié)省計算時間，提升效率，還可以對計算進(jìn)行檢驗，提高正確率，提高效率。

（三）估測

估測是一種非常實用的日常數(shù)學(xué)技能，估測主要包括對長度、面積、重量、溫度和價格等日常數(shù)學(xué)范疇的估計[9]。估測多應(yīng)用于圖形與幾何領(lǐng)域，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，還可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的量感。韓國是特別重視量感的國家，在其數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中就明確提出：通過對各種物體的長度進(jìn)行估測和實際測量，建立長度的量感；通過各種容器的容量的估測和實際測量，建立容量的量感；通過各種物體的質(zhì)量的估測和實際質(zhì)量，建立質(zhì)量的量感[10]。量感對應(yīng)數(shù)感，雖然在《課標(biāo)（2011版）》中沒有明確提出量感的定義，但是無論是《課標(biāo)（2011版）》還是教材中都有量感的學(xué)習(xí)內(nèi)容，只是我們沒有把數(shù)感和量感嚴(yán)格區(qū)分而籠統(tǒng)劃歸為數(shù)感而已。估測的對象都是現(xiàn)實生活中常見的，估測不僅要求學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還要求學(xué)生有一定的生活經(jīng)驗,例如：一本數(shù)學(xué)書的厚度為（）cm。測量自己的步長，通過步長估測出客廳的面積等。

三、估計認(rèn)識常見誤區(qū)

（一）估計就是估算

由于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以計算為主，所以估計常被等同于是估算，這是一種片面的看法。估算是以計算為主的，主要應(yīng)用于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，而估計貫穿整個小學(xué)教學(xué)過程中，不僅應(yīng)用于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，而且圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐領(lǐng)域都有涉及，與實際生活密切相連，如果把估計僅僅等同于估算，無形中縮小了估計概念的外延，更不利于對估計的內(nèi)涵實質(zhì)進(jìn)行把握。

（二）估算就是近似計算

由于估算和近似計算二者得到的結(jié)果都不是精確的，許多學(xué)生對估算和近似計算的概念混淆，甚至到了小學(xué)畢業(yè)也還認(rèn)為估算就是近似計算。特別是學(xué)生初次接觸估算時，大多是沒有具體情境的數(shù)字類估算，多采用四舍五入進(jìn)行估算，受其負(fù)遷移的影響，在遇到情境類估算時也不顧實際情境對其進(jìn)行四舍五入的近似計算。比如對于數(shù)字類估算“19280的值大約是多少？”可以進(jìn)行四舍五入的近似計算，學(xué)生通常會有下面兩種估算結(jié)果，一種是把192精確到十位得到一種結(jié)果，即19080，一種是把192精確到百位得到一種結(jié)果，即20080。同樣的問題加入具體情境，如“每平方米地板192元，裝修80平方米的客廳多少錢能夠？”，顯然精確到十位的估算結(jié)果是不能解決問題的。事實上，估算和近似計算是兩個不同的概念，估算一般要用到四舍五入的近似計算做工具，四舍五入是估算的一種策略，但近似計算要考慮到問題要求的精度，雖然也需要四舍五入作為計算的工具，但不同的精度要求就會得到不同的結(jié)果，可以說近似計算更接近實際結(jié)果，但估算就相對差些，特別是涉及到具體情境的問題，如上面談到的例子，采用更接近實際結(jié)果的近似計算代替估算就更不合時宜了。

（三）問題中出現(xiàn)“大約”字樣就估計

學(xué)生對于估計的直觀認(rèn)識來源于教科書，在教科書中估計問題表述中常出現(xiàn)“大約”這樣的詞語，因此造成學(xué)生看見問題中出現(xiàn)“大約”字樣就估計的慣常性思維。其實在很多情況下，這種“大約”是在無法得出準(zhǔn)確數(shù)據(jù)時而添加的副詞，目的是保證數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。比如，一輛汽車的行駛速度大約是100km/h，行駛5小時，大約走了多遠(yuǎn)？汽車行駛的速度不可能是恒定的，這里的“大約”是代表平均速度的意思，“大約”也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，問題中的“大約”是跟隨條件中的“大約”出現(xiàn)的，實際上，這種情況不需要估計。

（四）估計可以不考慮精確度

張奠宙先生說過：“從數(shù)學(xué)上看，估算必須有精確度的標(biāo)準(zhǔn)，沒有精確度的估算是胡算、瞎算，因此，只有附加精確度的近似計算，才是真正理解估算。”[11]造成學(xué)生“胡算”“瞎算”的原因有以下幾種：首先，估計用高等數(shù)學(xué)的知識來解釋，可以將精確值看作a，估計值可以看作點a的鄰域U（a，δ），由于第一學(xué)段、第二學(xué)段學(xué)生知識掌握程度、理解程度的限制，《課標(biāo)（2011版）》未對估計的含義做出數(shù)學(xué)的定義；其次，估計僅僅是通過具體例題、習(xí)題的形式呈現(xiàn)，通常用“大約”“猜一猜”“估計”等提示詞，這些詞語并不是嚴(yán)格的學(xué)術(shù)語言，導(dǎo)致估計的結(jié)果評價缺少科學(xué)的評判標(biāo)準(zhǔn)，在評價方面帶來了困難；最后，為了防止學(xué)生“先精算，后估算”的問題出現(xiàn)，部分教師將精確計算與估算嚴(yán)格分開，矯枉過正，導(dǎo)致部分學(xué)生在估計的時候完全不考慮精確值。

四、結(jié)論與建議

正確認(rèn)識是理解掌握的前提，學(xué)生對數(shù)學(xué)估計認(rèn)識的誤區(qū)不利于數(shù)感與量感的把握，進(jìn)而也會極大的阻礙學(xué)生估計能力的學(xué)習(xí)與發(fā)展，為此，教學(xué)中應(yīng)切實加以重視。

對于估計和估算混淆的問題，教師首先應(yīng)該結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)全面把握估計內(nèi)容，進(jìn)而幫助學(xué)生全面掌握，在估計內(nèi)容的講解和練習(xí)時，無論是在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領(lǐng)域，還是在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域都要對學(xué)生進(jìn)行估計內(nèi)容的滲透，將數(shù)學(xué)估計不僅看作一種解題策略，更作為一種數(shù)學(xué)思想方法滲透于學(xué)生的學(xué)習(xí)與生活當(dāng)中，培養(yǎng)學(xué)生的估計意識，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的估計能力。

對于估算和近似計算混淆的問題，可以通過設(shè)置數(shù)字類估算和情境類估算的對比問題，讓學(xué)生體會估算和近似計算的關(guān)系，特別是估算與四舍五入的關(guān)系。四舍五入是估算的一種策略，但是估算不僅僅是四舍五入，估算不僅在計算的策略選擇上對學(xué)生提出了要求，在思維方面也對學(xué)生提出了要求。估算需要學(xué)生經(jīng)過觀察、猜想、結(jié)合實際生活背景進(jìn)行分析，四舍五入，往往是一種程序性知識，有客觀的步驟程序等。從結(jié)果上看，讓學(xué)生體會四舍五入的答案通常是唯一的，估算的答案則不唯一，在一定范圍內(nèi)只要合情合理即可。

對于看見“大約”就想估計的問題，其主要原因在于“大約”一詞是伴隨著估算進(jìn)入數(shù)學(xué)教科書的，特別是估算中的問題多半涉及表示不十分準(zhǔn)確但比較接近的意思時，也多會出現(xiàn)“大約”的字樣，因而造成學(xué)生見到“大約”字樣就想到估計的慣性思維，歸根到底還是不理解“大約”與估計的含義。教師可以通過設(shè)置兩類問題幫助學(xué)生理解二者的本質(zhì)區(qū)別。一類問題是不出現(xiàn)“大約”卻需要估計的問題，如需要去買4件單價為4.9元的商品，帶多少錢合適？顯然這是一個估計問題，但題中并沒有出現(xiàn)“大約”的字樣，這類問題能夠幫助學(xué)生打破思維定式，讓學(xué)生體會到估計有時是要根據(jù)問題所處的情境只需要知道“大約”結(jié)果的主觀需要，并非一定要出現(xiàn)“大約”字樣才想到估計；另一類問題是出現(xiàn)“大約”卻不需要估計的問題，如前面談到的車速行駛問題，讓學(xué)生體會到“一輛汽車的行駛速度大約是100km/h”中的“大約”是對汽車運動或變化的數(shù)量描述，而題目的問題“大約走了多遠(yuǎn)”中的“大約”并不是要求運用估算解決問題，而是伴隨著前面“行駛速度大約是100km/h”而出現(xiàn)的，這里由于客觀原因的限制，汽車的行駛速度不可能恒定為“100km/h”，但在給學(xué)生描述問題時，是結(jié)合問題情境給出的盡量準(zhǔn)確的結(jié)果，因此也可以說“行駛速度大約是100km/h”的“大約”是在無法準(zhǔn)確的情況下不得已而為之的“大約”，與估計沒有根本的因果關(guān)系。

對于估計問題的精確度問題，本質(zhì)上是估計在結(jié)果評價上缺少系統(tǒng)科學(xué)的理論。筆者認(rèn)為在估計結(jié)果評價方面應(yīng)該從定性和定量兩個角度進(jìn)行評價。在定性評價方面，主要應(yīng)從估計根據(jù)的合理性、估計方法的科學(xué)性、估計結(jié)果的有效性等方面加以考慮；在定量評價方面，無論是估數(shù)、估算還是估測都應(yīng)該設(shè)置精確度，這樣才能保證估計的結(jié)果“八九不離十”。因為數(shù)學(xué)本身就是一門邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，為了使學(xué)生更好體會估計結(jié)果的精確性，在教學(xué)過程中，教師可以在學(xué)生得出估計值后和精確值進(jìn)行比較，讓學(xué)生體會到估計并非完全脫離精確，這樣不僅有助于教師對學(xué)生估計內(nèi)容的掌握程度進(jìn)行評價，也有利于學(xué)生更好的理解估計。

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（責(zé)任編輯單麗娟）

G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1672-8254（2016）05-0141-03

2016-03-19

遼寧省教育廳一般項目“基礎(chǔ)教育課程改革背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)教材國際比較研究”的階段性成果（項目編號：W2013161）

張守波（1963—），男，教育學(xué)博士，渤海大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、高等教育管理研究；王哲巖（1992—），女，渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士研究生，從事數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)研究；張文宇（1980—），男，教育學(xué)博士，渤海大學(xué)教育與體育學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。