邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

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對(duì)稱相交圓柱的研究

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院, 浙江湖州313000)

給出了四個(gè)圓柱沿正四面體對(duì)稱軸方向，六個(gè)圓柱沿正方體面對(duì)角線方向，六個(gè)圓柱沿正十二面體面心連線方向，它們公共相交部分的頂點(diǎn)坐標(biāo)，表面積和體積.利用數(shù)學(xué)軟件，繪出了它們的三維圖形.

相交圓柱； 正多面體； 體積

1 引 言

高等數(shù)學(xué)中的多重積分以及曲面積分，一個(gè)很重要的應(yīng)用是求封閉曲面圍成立體的表面積和體積.這些曲面，除了最典型的球面，圓柱面等，還有旋轉(zhuǎn)曲面[1]和二次曲面[2].還有一種曲面，看起來很簡單，但實(shí)際計(jì)算很麻煩.這種曲面就是圓柱面的組合，所包圍的立體稱為Steinmetz 體[3].幾個(gè)相同的圓柱，沿著多面體的對(duì)稱軸方向放置，它們的公共部分，就是Steinmetz 體.Steinmetz 體系列中最簡單也是最有名的是牟合方蓋，即兩個(gè)相同圓柱體垂直相交公共部分，中國古代數(shù)學(xué)家祖暅利用牟合方蓋求出了球的體積.文獻(xiàn)[4]給出了四個(gè)圓柱體沿正四面體的對(duì)稱軸方向以及六個(gè)圓柱體沿正方體的面對(duì)角線方向，這兩種Steinmetz 體的體積，但沒有給出具體計(jì)算細(xì)節(jié).我們給出計(jì)算細(xì)節(jié)，并給出了六個(gè)圓柱體沿正十二面體的面心連線方向Steinmetz 體的頂點(diǎn)坐標(biāo)和體積.

2 引 理

設(shè)圓柱的軸線方向上的單位適量是n=(nx,ny,nz)，圓柱面上任意一點(diǎn)坐標(biāo)是r=(x,y,z)，那么圓柱面的方程是

圖1 Steinmetz 體的基本組元

即

(1)

Steinmetz 體組元的三個(gè)表面是平面，一個(gè)側(cè)表面是圓柱面，求體積時(shí)按垂直圓柱半徑方向一層層切割.由相似性，距離中心r的切割面面積為A(r)=Ar2/R2.因?yàn)榘霃椒较蚴冀K垂直于切割面，所以Steinmetz 體組元體積為

(2)

即Steinmetz 體體積是它側(cè)面積乘以圓柱半徑乘積的三分之一，類似與棱錐體積與棱柱體積的關(guān)系.為計(jì)算方便，下文中所有圓柱的半徑取為一.

3 正四面體對(duì)稱性相交圓柱

正四面體對(duì)稱性Steinmetz 體表面可以分為四部分，分別對(duì)應(yīng)于四個(gè)圓柱面，如圖2所示，

圖2 正四面體對(duì)稱性Steinmetz 體表面部分

(4)

圖3 正四面體對(duì)稱性Steinmetz 體

把圖2中的四個(gè)部分組合起來，就得到正四面體對(duì)稱性Steinmetz 體，如圖3所示，這個(gè)物體的體積是(4)式中表面積的三分之一.

4 正方體對(duì)稱性相交圓柱

(z±y)2+2x2=2,

(z±x)2+2y2=2,

(x±y)2+2z2=2.

(5)

圖4 正方體面對(duì)角線對(duì)稱性Steinmetz 體表面部分

圖5 正方體面對(duì)角線對(duì)稱性Steinmetz 體

圖4中每一部分又可以分為兩種“箏”形，數(shù)目分別為4和2.“箏”形的一半就是圖1中的組元.由以上頂點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到圖1組元中相應(yīng)數(shù)據(jù)是

所以Steinmetz 體表面積為

(6)

把圖4中的六個(gè)部分組合起來，就得到正方體面對(duì)角線對(duì)稱性Steinmetz 體，如圖5所示，這個(gè)物體的體積是(6)式中表面積的三分之一.

5 正十二面體對(duì)稱性相交圓柱

(qy±pz)2+x2=1, (px±qz)2+y2=1, (qx±py)2+z2=1.

(7)

由(7)式解得六個(gè)圓柱相交于62個(gè)頂點(diǎn). 令

(8)

圖7 正十二面體對(duì)稱性Steinmetz 體

把圖6中的六個(gè)部分組合起來，就得到正十二面體對(duì)稱性Steinmetz 體，如圖7所示，這個(gè)物體的體積是(8)式中表面積的三分之一.

6 結(jié) 論

我們給出了四個(gè)圓柱沿正四面體對(duì)角線方向，六個(gè)圓柱體沿正方體面對(duì)角線方向，六個(gè)圓柱體沿正十二面體面心連線方向，這三種Steinmetz 體的空間解析幾何描述，包括圓柱面方程，所有頂點(diǎn)坐標(biāo)，表面積和體積，并用軟件編制程序畫出這些Steinmetz 體.數(shù)學(xué)軟件繪制三維圖形的優(yōu)點(diǎn)是可以拖動(dòng)旋轉(zhuǎn)全方位觀測，需要程序的讀者可以與本文作者聯(lián)系.另外，3D打印機(jī)也能打印這些Steinmetz 體，有條件的學(xué)校不妨打印實(shí)品，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文體積公式.

[1] 丁殿坤. 旋轉(zhuǎn)曲面的面積及圍成立體體積的求法[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2007, 23(4): 184-187.

[2] 趙虹. 二次曲面所圍封閉圖形的體積[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2013, 29(6): 138-140.

[3] Steinmetz solid[OL]: http:∥mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html.

[4] Moreton Moore. Symmetrical Intersections of Right Circular Cylinders[J]. The Mathematical Gazette, 1974, 58(405): 181-185.

An Investigation on the Intersection of Cylinders

QIUWei-gang

(School of Science, HuZhou Teacher’s College, HuZhou Zhejiang 313000,China)

The vertex coordinates, surface area and volume of intersection of cylinders with regular tetrahedron, cube and regular dodecahedron symmetry are obtained. Those 3D figures are drawn by mathematics software.

intersection of cylinders; regular polyhedrons; volume

2016-01-24； [修改日期]2016-03-12

高等學(xué)校數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)研究項(xiàng)目(JZW-15-Sl-03)；國家自然科學(xué)基金(11475062)

邱為鋼(1975-),男，博士，副教授，從事數(shù)學(xué)物理教學(xué)研究.Email:wgqiu@hutc.zj.cn

O123.2; O182.2

C

1672-1454(2016)05-0067-04