內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析計(jì)算

李桂丹,王佐民,李 斌

(天津大學(xué),天津 300072)

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內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析計(jì)算

李桂丹,王佐民,李 斌

(天津大學(xué),天津 300072)

利用定子側(cè)邊力法分析了內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩。在基于等效磁網(wǎng)絡(luò)法的基礎(chǔ)上求解出內(nèi)置式永磁電機(jī)的氣隙磁密，進(jìn)而將其等效為表貼式結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，建立了等效電機(jī)單槽模型，獲得了齒槽轉(zhuǎn)矩各階諧波分量，進(jìn)而根據(jù)槽空間相位關(guān)系合成了電機(jī)總的齒槽轉(zhuǎn)矩，提高了計(jì)算效率。計(jì)算結(jié)果與有限元法所得出的結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了本方法的正確性。

齒槽轉(zhuǎn)矩;內(nèi)置式永磁電機(jī);單槽模型;側(cè)邊力;合成

0 引 言

永磁電機(jī)以其高功率密度、高效率等優(yōu)點(diǎn)，得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。相比表貼式結(jié)構(gòu)，內(nèi)置式永磁電機(jī)永磁磁極埋于轉(zhuǎn)子內(nèi)部，可以克服高轉(zhuǎn)速下對(duì)永磁體的離心力作用；弱磁能力強(qiáng)，能夠在較寬的調(diào)速范圍內(nèi)運(yùn)行；磁阻轉(zhuǎn)矩分量增大了電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩。基于這些優(yōu)勢(shì)，內(nèi)置式永磁電機(jī)在驅(qū)動(dòng)設(shè)備中，特別是新能源電動(dòng)汽車(chē)中應(yīng)用廣泛。

永磁電機(jī)定子齒壁與永磁體間存在齒槽轉(zhuǎn)矩，齒槽轉(zhuǎn)矩會(huì)在電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，從而產(chǎn)生噪聲、振動(dòng)。針對(duì)表貼式永磁電機(jī)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用能量法，側(cè)邊力法等[1-3]分析了電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩。研究表明能量法模型受槽漏磁和永磁體間漏磁影響較大，側(cè)邊力法可以更準(zhǔn)確的求解出齒槽轉(zhuǎn)矩[4]。相比表貼式結(jié)構(gòu)，內(nèi)置式永磁電機(jī)有效氣隙小，齒槽轉(zhuǎn)矩的影響更大[5]。文獻(xiàn)[6-8]采用有限元法分別研究了永磁體不對(duì)稱(chēng)、定子鐵心形狀、永磁體分段對(duì)內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。但有限元法耗時(shí)較長(zhǎng)，尤其在電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)階段，這個(gè)問(wèn)題更為突出。解析法以數(shù)學(xué)模型的形式直觀體現(xiàn)電機(jī)參數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩的聯(lián)系，具有更明確地物理意義，并且可以與多種優(yōu)化算法結(jié)合達(dá)到優(yōu)化電機(jī)參數(shù)的目的。文獻(xiàn)[9]在能量法基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，結(jié)合梯度下降法對(duì)內(nèi)置式永磁電機(jī)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，削弱了齒槽轉(zhuǎn)矩；文獻(xiàn)[10]采用能量法和傅里葉分解法結(jié)合研究了槽口寬度對(duì)內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響；文獻(xiàn)[11]利用等效虛擬磁極，將側(cè)邊力法應(yīng)用于多層U型內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩解析計(jì)算，但在齒槽轉(zhuǎn)矩求解時(shí)，每一個(gè)步長(zhǎng)需要累加全部齒產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩，計(jì)算量較大。

本文對(duì)一型內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析計(jì)算進(jìn)行了研究，在忽略齒槽效應(yīng)的情況下采用等效磁路法求解了電機(jī)徑向磁密，建立了等效電機(jī)單槽模型，利用側(cè)邊力法對(duì)單槽內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行求解，獲得了各階諧波分量，進(jìn)而根據(jù)槽空間相位關(guān)系合成了電機(jī)總的齒槽轉(zhuǎn)矩，給出了各階諧波變化規(guī)律，提高了計(jì)算效率。通過(guò)有限元仿真驗(yàn)證了該方法的正確性。

1 內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩摸型

本模型選取了單層“一”型永磁體結(jié)構(gòu)的內(nèi)置式永磁電機(jī)作為研究對(duì)象。圖1中分別為一臺(tái)4極6槽和4極12槽的內(nèi)置式永磁電機(jī)，表1給出了電機(jī)的參數(shù)。

圖1 內(nèi)置式永磁電機(jī)模型

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值極數(shù)NP4槽數(shù)QS6/12永磁體剩磁Br/T1．05定子半徑rs/mm25轉(zhuǎn)子半徑rr/mm12鐵心軸向長(zhǎng)度lcore/mm50氣隙長(zhǎng)度δ/mm0．7極弧系數(shù)αp0．73槽開(kāi)口系數(shù)αS0．17/0．2

圖2是用有限元軟件仿真得到的磁場(chǎng)分布圖。在電機(jī)設(shè)計(jì)的初級(jí)階段，為了解析計(jì)算的快速與簡(jiǎn)捷性，假設(shè)電機(jī)定子是連續(xù)平滑的，即忽略電機(jī)定子的齒槽效應(yīng)。

(a)磁力線分布(b)磁密分布

圖2 1/4內(nèi)置式永磁電機(jī)的磁場(chǎng)分布

圖2(a)給出了電機(jī)磁力線分布，圖2(b)為電機(jī)磁密分布圖?？梢钥闯?，一個(gè)磁極的一半磁力線與另一半相鄰磁極形成閉合磁路，永磁體頂端接近轉(zhuǎn)子邊緣橋處，出現(xiàn)了明顯的磁路飽和問(wèn)題，在電機(jī)其他部位飽和不顯著。因此在計(jì)算氣隙磁密時(shí)，需要計(jì)及轉(zhuǎn)子邊緣橋部位飽和的影響。

圖3是1/4電機(jī)集中參數(shù)等效磁路圖。圖中，φg是一個(gè)磁極下內(nèi)置式永磁體單獨(dú)激勵(lì)時(shí)的氣隙磁通，φr是一個(gè)磁極激勵(lì)產(chǎn)生的磁通；Rg，Rmo分別是一個(gè)磁極下氣隙磁阻、永磁體磁阻；Rml，Rmb分別是永磁體端部漏磁磁阻、轉(zhuǎn)子邊緣橋漏磁磁阻；Rr，Rs分別是轉(zhuǎn)子軛磁阻，定子軛磁阻。轉(zhuǎn)子軛與定子軛在一般情況下不會(huì)出現(xiàn)飽和，所以Rr，Rs與Rg相比較的話(huà)可以忽略不計(jì)。

圖3 集中參數(shù)等效磁路

由于轉(zhuǎn)子邊緣橋出現(xiàn)磁路飽和問(wèn)題，Rmb不是線性，可表示:

(1)

其中：Amb=lb，l為鐵心長(zhǎng)度，b為邊緣橋?qū)挾取?/p>

通過(guò)該磁阻的漏磁磁通:

(2)

為避免迭代運(yùn)算，根據(jù)該定子鐵心材料的B-H曲線，可直接給定飽和工作點(diǎn)的磁通密度[12]。本文選取Bmb=1.7T，進(jìn)而由圖3可以得到氣隙磁通量φg，進(jìn)而得到氣隙磁密Bg。

另外，從圖2(a)中還可看出，內(nèi)置式永磁電機(jī)的氣隙磁密接近于徑向，此時(shí)可以將其等效為一個(gè)虛擬永磁體厚度為0，相對(duì)磁導(dǎo)率為1的表貼式永磁電機(jī)[11]。因此，可直接應(yīng)用表貼式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析算法來(lái)進(jìn)行求解。

選取計(jì)算側(cè)邊力方法，圖4給出了理想氣隙磁力線分布，其中，hm為等效永磁體的厚度；μr為永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率。為了簡(jiǎn)化齒槽轉(zhuǎn)矩的計(jì)算，作如下假設(shè)[1]:槽型簡(jiǎn)化為矩形；磁場(chǎng)分布由永磁體和相對(duì)磁導(dǎo)率乘積決定的；磁力線在氣隙處為直線，在槽中面對(duì)齒壁處的磁力線路徑是四分之一圓;定子鐵心相對(duì)磁導(dǎo)率無(wú)窮大。

圖4 理想化的磁力線分布圖

側(cè)邊力作用在定子齒上，進(jìn)而產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩。假設(shè)定子齒壁處磁密等于槽開(kāi)口處磁密，那么，內(nèi)置式永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩就可以通過(guò)下式計(jì)算[1]：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Br1，Br2分別為磁力線垂直于齒壁處的磁密值；λ，λr分別為磁導(dǎo)率與相對(duì)磁導(dǎo)率。其他參數(shù)如圖5所示。

圖5 側(cè)邊力

2 齒槽轉(zhuǎn)矩的合成

在直接計(jì)算內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)，在每一個(gè)分析步長(zhǎng)，需要將全部齒槽產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩疊加，從而得到總的電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩。為提高分析效率，建立單槽電機(jī)模型，如圖6所示，分別為4極6槽與4極12槽的單槽內(nèi)置式永磁電機(jī)，其中電機(jī)齒槽尺寸與圖1中電機(jī)一致。

圖6 單槽電機(jī)模型

以圖6為基礎(chǔ)，利用式(3)計(jì)算出單槽電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩Tsc(α)，可以表示為傅里葉級(jí)數(shù)：

(7)

式中:Tscn為T(mén)sc的n次諧波的幅值。根據(jù)疊加原理[13]將單槽齒槽轉(zhuǎn)矩合成為由全部齒槽產(chǎn)生的電機(jī)的整體齒槽轉(zhuǎn)矩，傅里葉級(jí)數(shù)表示：

(8)

根據(jù)式(8)，分別給出4極6槽與4極12槽內(nèi)置式永磁電機(jī)的全槽齒槽轉(zhuǎn)矩:

(9)

(10)

由式(7)、式(9)、式(10)可以得到，單槽電機(jī)的各次諧波不是全部參與全槽電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩合成，只有3n次諧波，這是由全槽電機(jī)的槽極數(shù)決定的。

3 齒槽轉(zhuǎn)矩解析結(jié)果與有限元仿真

圖7、圖8分別為4極6槽與4極12槽內(nèi)置式永磁電機(jī)的徑向氣隙磁密。

圖7中，在忽略齒槽時(shí)，通過(guò)等效磁路法與有限元法求得的氣隙磁密誤差小于4%，求解結(jié)果較為準(zhǔn)確；但由于實(shí)際電機(jī)模型中存在的齒槽效應(yīng)，4極6槽電機(jī)氣隙磁密在經(jīng)過(guò)齒槽時(shí)小于忽略齒槽時(shí)的計(jì)算數(shù)值，也就導(dǎo)致了解析法齒槽轉(zhuǎn)矩在齒槽開(kāi)口處要大于有限元仿真結(jié)果，如圖9所示。圖8中考慮齒槽與忽略齒槽時(shí)的有限元求解的氣隙磁密對(duì)比發(fā)現(xiàn)，雖然在經(jīng)過(guò)齒槽時(shí)磁密值出現(xiàn)波動(dòng)，但兩者氣隙磁密均值誤差小于3.7%，電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩解析法與有限元所得結(jié)果吻合度較高。

圖7 4極6槽內(nèi)置式永磁電機(jī)徑向氣隙磁密

圖8 4極6槽內(nèi)置式永磁電機(jī)徑向氣隙磁密

圖9、圖10分別為為4極6槽、4極12槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩。

圖9 4極6槽永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩

圖10 4極12槽永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩

可以看出，圖9、圖10中解析算法求得的齒槽轉(zhuǎn)矩與有限元法在求解結(jié)果基本吻合。存在的誤差主要是由在近似計(jì)算時(shí)假設(shè)定子鐵心無(wú)窮大導(dǎo)致的。同時(shí)，在計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)，對(duì)磁力線分布進(jìn)行了理想化假設(shè)，而實(shí)際情況中，氣隙磁密不完全是沿徑向分布的，這也是導(dǎo)致計(jì)算誤差的原因之一。

圖11、圖12圖分別為6槽、12槽的單槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩。得到單槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩后，可以根據(jù)式(9)、式(10)合成全槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩，這與式(3)所得到的解析結(jié)果一致，但計(jì)算效率提高。

圖11 6槽單槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩

圖12 12槽單槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩

為了對(duì)比單槽與多槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩間的聯(lián)系，分別對(duì)6槽電機(jī)與12槽電機(jī)的單槽與全槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行了傅里葉分解。對(duì)比圖13與圖14的各次諧波可以得出，當(dāng)由單槽電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩解析合成全槽電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)，單槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的各次諧波不會(huì)全部參與多槽電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩合成；由于4極6槽與4極12槽電機(jī)的槽極數(shù)的最小公倍數(shù)都為24，所以全槽轉(zhuǎn)矩諧波中只有單槽電機(jī)轉(zhuǎn)矩的3^n次諧波。內(nèi)置式永磁電機(jī)的槽極數(shù)共同決定了齒槽轉(zhuǎn)矩解析合成算式各項(xiàng)系數(shù)，即算式中出現(xiàn)的各次諧波的幅值大小與各次諧波次數(shù)。

圖13 6槽電機(jī)單槽與六槽齒槽轉(zhuǎn)矩諧波次數(shù)

圖14 12槽電機(jī)單槽與十二槽齒槽轉(zhuǎn)矩諧波次數(shù)

其中，4極6槽內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的各次諧波幅值為其單槽電機(jī)的3n次諧波的6倍；4極12槽內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的各次諧波幅值為其單槽電機(jī)的3n次諧波的12倍；并且由各次諧波變化趨勢(shì)可以看出，有限元仿真所得結(jié)果與解析法所得結(jié)果變化趨勢(shì)一致，驗(yàn)證了解析法的正確性。

圖15、圖16為選取電機(jī)不同槽開(kāi)口系數(shù)時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值。

圖15 4極6槽齒槽轉(zhuǎn)矩峰值

圖16 4極12槽齒槽轉(zhuǎn)矩峰值

通過(guò)有限元與解析法的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)槽開(kāi)口系數(shù)大于0.22時(shí)，兩者的計(jì)算誤差明顯增大；當(dāng)槽開(kāi)口系數(shù)小于0.22時(shí)，解析法計(jì)算結(jié)果與有限元更接近，這與表貼式電機(jī)分析結(jié)論一致[4]。目前工業(yè)用電機(jī)為了避免齒槽效應(yīng)，多選用半閉口槽，即槽開(kāi)口系數(shù)要小于0.22。所以，該解析算法適用于求解電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。

4 結(jié) 語(yǔ)

采用了一種以計(jì)算定子側(cè)邊力為基礎(chǔ)的內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析算法，采用等效磁路法與等效變換計(jì)算得到的齒槽轉(zhuǎn)矩具有較高的準(zhǔn)確性。同時(shí)，解析法求得單槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)，可以用合成法合成相應(yīng)多槽電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，提高計(jì)算效率；單槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的各次諧波不會(huì)全部參與多槽電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩合成；全槽內(nèi)置式永磁電機(jī)的槽極數(shù)共同決定了齒槽轉(zhuǎn)矩解析合成算式各項(xiàng)系數(shù)，即算式中出現(xiàn)的各次諧波的幅值大小與各次諧波次數(shù)。在此基礎(chǔ)上，討論了槽開(kāi)口系數(shù)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。通過(guò)有限元仿真驗(yàn)證了該解析法的正確性。

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Analytical Calculation of Cogging Torque for Interior Permanent Magnet Machine

LI Gui-dan,WANG Zuo-min,LI Bin

(Tianjin University,Tianjin 300072,China)

The cogging torque of interior permanent magnet machine (IPM) is analyzed using the lateral force method. The magnet flux density of air gap is calculated based on the equivalent magnet circuit (MEC), then the IPM can be transformed into an equivalent surface permanent magnet machine (SPM) model. To improve the computational efficiency, a single slot machine model is built. Based on this, the cogging torque is calculated and the harmonic components are obtained. According to space phase relationship of stator slots, the total cogging torque of the equivalent SPM, i.e. the original IPM, can be synthesized. Finally, the finite element analysis is used to validate the proposed method.

cogging torque; interior permanent magnet machine (IPM); single slot model; lateral force; synthesis

2016-03-28

TM351

A

1004-7018(2016)10-0026-04

李桂丹(1975-)，女，副教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)設(shè)計(jì)及控制。