李 偉 蘇光輝 秋穗正 田文喜 陳 平 李垣明

1（中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610213）

2（西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 西安 710049）

一種穩(wěn)定性增強(qiáng)及高精度數(shù)值方法在RELAP5中的實(shí)現(xiàn)與評(píng)價(jià)

李 偉1蘇光輝2秋穗正2田文喜2陳 平1李垣明1

1（中國(guó)核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 成都 610213）

2（西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 西安 710049）

在計(jì)算穩(wěn)定性的改進(jìn)方面，修正RELAP5程序中的虛擬質(zhì)量力(Virtual mass force)形式，同時(shí)添加了新的界面壓力項(xiàng)(Interface pressure)；在計(jì)算精度的改進(jìn)方面，采用具有總變差減小(Total variation diminish, TVD)特點(diǎn)的高精度通量限制器(Flux limiter)方法取代RELAP5程序原本的一階迎風(fēng)方法來(lái)離散質(zhì)量和能量守恒方程中的對(duì)流項(xiàng)。在模擬水平管道內(nèi)空泡份額微擾隨時(shí)間發(fā)展的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，相比改進(jìn)前的RELAP5，改進(jìn)后的RELAP5計(jì)算得到的微擾幅度并未增長(zhǎng)；在模擬液相沉降的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，改進(jìn)前的RELAP5程序計(jì)算得到了不真實(shí)的空泡份額分布，而改進(jìn)后的RELAP5在不同的網(wǎng)格數(shù)量下能夠得到收斂的穩(wěn)定解。對(duì)Ransom 水龍頭數(shù)值實(shí)驗(yàn)和Marviken CFT 15大破口噴放實(shí)驗(yàn)的計(jì)算表明，改進(jìn)后的具有二階TVD格式的RELAP5程序能夠得到更接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果。

RELAP5，穩(wěn)定性，精確性，雙曲性，虛擬質(zhì)量力，界面壓力項(xiàng)

RELAP5程序長(zhǎng)期以來(lái)在反應(yīng)堆系統(tǒng)的熱工水力及安全分析領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，包括乏燃料池(Spent fuel pool)的安全設(shè)計(jì)[1]。但RELAP5的基本偏微分方程組包含虛的特征根，因此不具備雙曲性，這種兩流體模型不具備適定性[2-3]。在實(shí)際應(yīng)用中可能導(dǎo)致由不適定性引起的數(shù)值解發(fā)散，出現(xiàn)不真實(shí)的計(jì)算結(jié)果。在數(shù)值離散方面，RELAP5作為系統(tǒng)程序采用了稀疏的交錯(cuò)網(wǎng)格，動(dòng)量守恒方程中的對(duì)流項(xiàng)采用一階迎風(fēng)方法進(jìn)行離散。這有利于增強(qiáng)程序的數(shù)值穩(wěn)定性和提高計(jì)算效率，然而也使得數(shù)值擴(kuò)散過(guò)大，影響計(jì)算精度。

本文基于RELAP5/MOD3程序，從改善計(jì)算穩(wěn)定性和提高數(shù)值精度方面對(duì)其進(jìn)行性能改進(jìn)并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在計(jì)算穩(wěn)定性改進(jìn)方面，分析了動(dòng)量守恒方程中不同的虛擬質(zhì)量力形式以及界面壓力項(xiàng)對(duì)RELAP5六方程特征根的影響，修正了RELAP5原本的虛擬質(zhì)量力形式和增加界面壓力項(xiàng)使其特征根全部為實(shí)數(shù)來(lái)增強(qiáng)模型的雙曲性。設(shè)計(jì)一個(gè)空泡份額微擾隨時(shí)間變化的數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)后的RELAP5程序在計(jì)算穩(wěn)定性方面的性能；通過(guò)一個(gè)相沉降數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)后的RELAP5程序預(yù)測(cè)結(jié)果在不同網(wǎng)格劃分方案下的行為。在數(shù)值精度改進(jìn)方面，Wang等[4]研究了二階總變差減小(Total variation diminish, TVD)格式在系統(tǒng)程序TRACE中的實(shí)現(xiàn)。TRACE是系統(tǒng)程序TRAC和RELAP5組合后的版本。發(fā)現(xiàn)二階TVD格式比一階迎風(fēng)格式的計(jì)算更準(zhǔn)確，且與一階迎風(fēng)格式一樣高效和穩(wěn)定。張小英等[5]開(kāi)發(fā)了二階精度的一維兩流體模型程序TFIT。該程序未考慮能量方程，用于絕熱不可壓縮問(wèn)題。通過(guò)對(duì)Ransom水龍頭問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，二階TVD格式比一階精度格式的計(jì)算準(zhǔn)確度明顯提高，而且同樣保持良好的穩(wěn)定性。本文采用結(jié)合了Minmod flux limiter的二階TVD格式代替RELAP5程序中對(duì)流項(xiàng)的一階迎風(fēng)離散格式，用于實(shí)際工程計(jì)算?；赗ansom水龍頭數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)際工程試驗(yàn)Marviken CFT 15對(duì)改進(jìn)后的程序進(jìn)行驗(yàn)證，評(píng)估對(duì)數(shù)值擴(kuò)散問(wèn)題的改善。

1 計(jì)算穩(wěn)定性改進(jìn)

1.1RELAP5兩流體模型的非雙曲性

為分析RELAP5兩流體模型的非雙曲性，將其6個(gè)守恒方程改寫(xiě)為如下的矩陣方程形式：

表示RELAP5的直接求解變量，分別為壓力、空泡份額、氣相速度、液相速度、氣相內(nèi)能和液相內(nèi)能；A、B和C為包含未知量的矩陣[6×6]。設(shè)為式(1)的特征根，它們滿(mǎn)足以下特征方程：

只有以下條件成立時(shí)[5]，特征根才全部為實(shí)數(shù)：

或：

1.2虛擬質(zhì)量力的影響

虛擬質(zhì)量力[6]在多相流問(wèn)題中刻畫(huà)了離散相流體在連續(xù)相流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)其周?chē)倪B續(xù)相流體運(yùn)動(dòng)所需要的額外力。RELAP5采用如下形式的虛擬質(zhì)量力：

式中：ma具有氣液混合物等效音速的意義。如果ε在數(shù)量級(jí)上足夠小，即氣、液相的速度大小相對(duì)值遠(yuǎn)小于混合物音速時(shí)，經(jīng)分析須滿(mǎn)足如下的條件才能保證所有的特征根均為實(shí)數(shù)：

在大部分情況下，ε都可以被認(rèn)為是數(shù)量級(jí)很小的量。當(dāng)氣、液相速度差與音速相當(dāng)時(shí)，Tiselj等[7]認(rèn)為無(wú)論虛擬質(zhì)量力系數(shù)如何取值也無(wú)法使得方程組具備雙曲性。本文在采用式(10)的虛擬質(zhì)量力系數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究界面壓力項(xiàng)對(duì)兩流體模型適定性的影響。

1.3界面壓力項(xiàng)的影響

在RELAP5的模型假設(shè)中，氣、液和相間界面的壓力相等，因此也稱(chēng)為單壓力模型，這造成了守恒方程中某些重要信息的缺失，是導(dǎo)致模型不具備適定性的重要因素。在另一個(gè)著名的反應(yīng)堆熱工水力系統(tǒng)分析程序CATHARE中，通過(guò)在動(dòng)量守恒方程中引入相間界面壓力項(xiàng)[8]來(lái)考慮各相壓力的差異，即：

式中：iPΔ為界面壓力項(xiàng)系數(shù)。界面壓力項(xiàng)在動(dòng)量方程中引入了空泡份額的空間偏微分項(xiàng)。同時(shí)存在虛擬質(zhì)量力和界面壓力項(xiàng)時(shí)，方程組的特征方程化解為：

式(14)判別式非負(fù)，求得界面壓力項(xiàng)系數(shù)須滿(mǎn)足如下關(guān)系式：

從物理量綱來(lái)看iPΔ具有動(dòng)壓的意義。當(dāng)虛擬質(zhì)量力的系數(shù)為零時(shí)，式(15)與CATHARE程序中的形式一致。當(dāng)虛擬質(zhì)量力的系數(shù)滿(mǎn)足式(10)時(shí)，即時(shí)，無(wú)需界面壓力項(xiàng)方程組也能滿(mǎn)足雙曲性要求，否則界面壓力項(xiàng)能夠?qū)μ摂M質(zhì)量力的效果起到補(bǔ)充作用（例如在水平分層流動(dòng)中虛擬質(zhì)量力系數(shù)為零的情況下）。雖然虛擬質(zhì)量力和界面壓力項(xiàng)的目的都與改善RELAP5兩流體模型的適定性有關(guān)，但是二者之間存在一定的區(qū)別：虛擬質(zhì)量力在兩相流中是具有對(duì)應(yīng)物理意義的，而界面壓力修正項(xiàng)則缺乏堅(jiān)實(shí)的物理根據(jù)。它雖然考慮到單壓力模型中界面壓力與各相平均壓力之間并不相等，但是真正的界面壓力非常復(fù)雜，因此采用經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式近似。不可把式(11)和(12)看作是真實(shí)物理過(guò)程中的界面壓力，可以理解為使兩流體模型的方程組具有雙曲性而人工添加的微分項(xiàng)，所以為防止過(guò)分強(qiáng)調(diào)其影響，一般在合適的取值范圍內(nèi)取最小的值。在程序的實(shí)際實(shí)施過(guò)程中，還通常對(duì)iPΔ乘以一個(gè)稍大于1的系數(shù)ξ。此外，RELAP5在水平分層流動(dòng)時(shí)考慮到了界面壓力與各相平均壓力的不同而使用了這種壓力修正項(xiàng)，CATHARE則在所有流型中予以使用，以改善基本守恒方程的雙曲性。

2 計(jì)算精度改進(jìn)

RELAP5采用了一階精度的數(shù)值方案進(jìn)行對(duì)流項(xiàng)的離散，大量實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用證明這對(duì)大部分系統(tǒng)瞬態(tài)行為的預(yù)測(cè)能夠達(dá)到相應(yīng)的精度要求，同時(shí)也簡(jiǎn)化了程序的編程難度，提高了計(jì)算效率（特別是在進(jìn)行不確定性分析時(shí)）。RELAP5采取的是交錯(cuò)網(wǎng)格方案，質(zhì)量和能量守恒方程中的對(duì)流項(xiàng)采用一階迎風(fēng)格式[9]進(jìn)行離散：

采用Waterson[11]關(guān)于Flux limiter的通用概念，對(duì)流項(xiàng)的離散格式可表達(dá)為低階（一階迎風(fēng)）和高階格式的組合：

式中：KxΔ(LxΔ)為標(biāo)量控制體單元的長(zhǎng)度；/xφ??為標(biāo)量控制體單元界面上的參數(shù)梯度；()rψ為Flux limiter函數(shù)衡量控制體單元界面j上參數(shù)的平滑程度。Flux limiter函數(shù)的具體形式將會(huì)對(duì)程序的計(jì)算精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生重要影響。合適的Flux limiter函數(shù)形式應(yīng)該符合Flux limiter和TVD格式的初衷，即提高程序計(jì)算精度的同時(shí)，保證程序具有合理的穩(wěn)定性。Flux limiter的形式也不宜過(guò)于復(fù)雜，以致降低整個(gè)程序的運(yùn)行效率。出于實(shí)際計(jì)算中的穩(wěn)定性和精度考慮，本文采用Minmod flux limiter函數(shù)

3 改進(jìn)措施的驗(yàn)證

3.1計(jì)算穩(wěn)定性改進(jìn)措施驗(yàn)證

數(shù)值實(shí)驗(yàn)在RELAP5程序的開(kāi)發(fā)與驗(yàn)證過(guò)程中起到重要作用。采用類(lèi)似文獻(xiàn)[8]中的空泡份額微擾實(shí)驗(yàn)對(duì)穩(wěn)定性改進(jìn)措施進(jìn)行驗(yàn)證。在長(zhǎng)度5 m的水平管道中，流動(dòng)著0.1 MPa的飽和蒸汽和飽和水，速度分別保持0.1 m·s-1和1.0 m·s-1。除了距離入口2.0 m處的初始空泡份額為0.5008，其他位置的初始空泡份額均為0.5。進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，整個(gè)管道劃分為99個(gè)控制體，不計(jì)壁面摩擦。在這種情況下，由于數(shù)值擴(kuò)散的作用，空泡份額微擾將隨時(shí)間而衰減。但是對(duì)于不具備雙曲性的模型，擾動(dòng)可能迅速增長(zhǎng)，最終計(jì)算結(jié)果發(fā)散。在本例中虛擬質(zhì)量力的效應(yīng)相當(dāng)微弱，因此對(duì)于改進(jìn)前的RELAP5，式(7)可能無(wú)法得到滿(mǎn)足，如圖1(a)所示，改進(jìn)前的RELAP5計(jì)算得到的空泡份額值迅速發(fā)散。如圖1(b)所示，對(duì)于改進(jìn)后的RELAP5在虛擬質(zhì)量力和界面壓力項(xiàng)的共同作用下模型保持了雙曲性，微擾的增長(zhǎng)受到抑制，保持了計(jì)算的穩(wěn)定性。圖2為改進(jìn)后的RELAP5在不考慮虛擬質(zhì)量力時(shí)計(jì)算得到的空泡份額分布隨時(shí)間的變化，可見(jiàn)微擾迅速衰減。本例說(shuō)明虛擬質(zhì)量力以及界面壓力項(xiàng)的作用在程序中得到了實(shí)現(xiàn)，改進(jìn)后的RELAP5相比改進(jìn)前的RELAP5計(jì)算穩(wěn)定性明顯提高。

圖1 空泡份額分布隨時(shí)間變化(a) 改進(jìn)前的RELAP5，(b) 改進(jìn)后的RELAP5Fig.1 Time-dependent distribution of the void fraction.(a) Default RELAP5, (b) Improved RELAP5

圖2 改進(jìn)后的RELAP5不考慮虛擬質(zhì)量力時(shí)空泡份額分布隨時(shí)間的變化Fig.2 Time-dependent distribution of the void fraction without virtual mass term of improved RELAP5.

考慮更復(fù)雜的情況，采用如圖3所示的液相沉降數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。利用改進(jìn)后的RELAP5分別計(jì)算了控制體劃分?jǐn)?shù)目(Control Volume, CV)為25、49和99的情況，并且與改進(jìn)前的RELAP5進(jìn)行比較。圖4給出了改進(jìn)前/后的RELAP5計(jì)算得到控制體1中的空泡份額計(jì)算值隨時(shí)間的變化。隨著控制體數(shù)目增多，控制體單元尺寸減小，改進(jìn)前的RELAP5模型非雙曲性、不適定的缺點(diǎn)表現(xiàn)得更明顯。在精細(xì)的網(wǎng)格下更容易出現(xiàn)不穩(wěn)定性，計(jì)算過(guò)程中也出現(xiàn)了不真實(shí)的結(jié)果。而改進(jìn)后的RELAP5模型適定性得以改善，即使計(jì)算網(wǎng)格加密計(jì)算結(jié)果也不容易出現(xiàn)不穩(wěn)定的行為，達(dá)到了改進(jìn)的目的。

圖3 沉降數(shù)值實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.3 Sketch of the phase sedimentation numerical test.

圖4 控制體1內(nèi)的空泡份額隨時(shí)間變化 (a) 改進(jìn)前的RELAP5，(b) 改進(jìn)后的RELAP5Fig.4 Variation of the void fraction in CV #1 with time. (a) Default RELAP5, (b) Improved RELAP5

3.2計(jì)算精度改進(jìn)措施驗(yàn)證

采用Ransom[12]提出的水龍頭(Water faucet)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)對(duì)本文所作的精度改進(jìn)進(jìn)行驗(yàn)證。Water faucet問(wèn)題常被用于驗(yàn)證兩相流求解器的數(shù)值性能。如圖5所示，在長(zhǎng)度12 m、直徑1 m的豎直圓管中初始時(shí)刻充滿(mǎn)常溫常壓靜止的空氣，初始時(shí)刻圓管中還存在一股射流，其速度處處為10 m·s-1，且軸向的空泡份額均為0.2。管道入口空泡份額和液體速度分別保持為0.2 m·s-1和10 m·s-1，出口保持常壓。計(jì)算開(kāi)始后，水柱各部分在重力的作用下加速運(yùn)動(dòng)。不計(jì)管道壁面摩擦，整個(gè)過(guò)程絕熱。Ransom在假設(shè)液相不可壓縮的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了該問(wèn)題的精確解：

式中：0gα為初始空泡份額；gα為空泡份額；z為距管道入口的距離，m；0fν為液相初始速度，m·s-1；H為管道總長(zhǎng)度。

圖5 Ransom水龍頭數(shù)值實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.5 Sketch of the Ransom water faucet numerical test.

分別劃分96和120個(gè)控制體時(shí)，改進(jìn)前/后計(jì)算得到的空泡份額分布與分析解的對(duì)比如圖6所示。與改進(jìn)前的RELAP5一階迎風(fēng)格式(Upwind Difference, UD)相比，隨著控制體數(shù)目的增多，二階TVD格式(Minmod)更接近精確解(Analytic)。一階迎風(fēng)格式在控制體單元尺寸過(guò)大的情況下，數(shù)值擴(kuò)散更加明顯。從本次數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以看出，改進(jìn)后的RELAP5二階精度格式體現(xiàn)了程序捕捉流場(chǎng)間斷的優(yōu)勢(shì)。

圖6 空泡份額沿流動(dòng)方向上的分布(a) 96個(gè)控制體，(b) 120個(gè)控制體Fig.6 Variation of the void fraction along the flow. (a) 96 CVs are employed, (b) 120 CVs are employed

采用Marviken CFT 15全尺寸大型臨界流實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)措施[13]。實(shí)驗(yàn)中存放氣液混合物的壓力容器高24.55 m，平均內(nèi)徑5.2 m，排出管長(zhǎng)6.3 m，內(nèi)徑0.72 m，噴嘴直徑0.5 m，長(zhǎng)徑比為3.6。采用的控制體劃分方案如圖7所示，采用Henry-Fauske臨界流噴放模型。

圖7 Marviken CFT 15控制體劃分方案Fig.7 Nodalization scheme for the Marviken CFT 15 experiment.

圖8給出了改進(jìn)前/后的RELAP5計(jì)算得到的CFT 15破口流量與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較。從圖8中可見(jiàn)，改進(jìn)后的RELAP5計(jì)算得到的破口流量計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得很好，只在兩相噴放階段出現(xiàn)了一定的偏差。如圖8(b)所見(jiàn)，改進(jìn)后的RELAP5由于精度提高，計(jì)算穩(wěn)定性增強(qiáng)，能夠更好地預(yù)測(cè)從破口噴放的流量隨時(shí)間的變化。

圖8 改進(jìn)前的RELAP5 (a)和改進(jìn)后的RELAP5 (b)計(jì)算得到的破口流量Fig.8 Break flow rate calculated by the default RELAP5 (a) and improved RELAP5 (b).

4 結(jié)語(yǔ)

為改善RELAP5兩流體模型非雙曲性的缺點(diǎn)，通過(guò)分析特征根得到虛擬質(zhì)量力和界面壓力項(xiàng)，用于保證模型應(yīng)滿(mǎn)足的條件；為改善RELAP5兩流體模型僅具有一階精度的不足，將二階TVD格式應(yīng)用到程序中，同時(shí)為兼顧計(jì)算穩(wěn)定性選擇了能夠獲得二階精度、形式簡(jiǎn)單的Minmod 函數(shù)作為Flux limiter替代RELAP5的一階迎風(fēng)格式。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果表明，對(duì)RELAP5的改進(jìn)措施是可行、合理的，達(dá)到了改進(jìn)程序性能的目的，為更好地發(fā)揮系統(tǒng)程序在安全分析領(lǐng)域的作用具有積極意義，對(duì)改善其他最佳估算程序的性能也具有借鑒意義。

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Implementation and assessment of a stability-enhancing and high-resolution numerical scheme in RELAP5

LI Wei1SU Guanghui2QIU Suizheng2TIAN Wenxi2CHEN Ping1LI Yuanming1
1(Science Technology on Reactor System Design Technology Laboratory,Nuclear Power Institute of China,Chengdu 610213,China)
2(School of Nuclear Science and Technology,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,China)

Background：RELAP5 has been widely used in the field of nuclear thermal-hydraulics and safety analysis. However, improvement issues in terms of numerical stability and accuracy exist due to its basic single-pressure two-fluid model.Purpose：This study aims to enhance the numerical stability and numerical accuracy of RELAP5 by modifying the mathematical structure of RELAP5 basic model.Methods：Firstly, the default mathematical expression of the virtual mass force was modified in the RELAP5 code. Secondly, an interface pressure term was incorporated in the code, and a total variation diminish (TVD)-type flux limiter method was implemented in the RELAP5 code in place of the default 1st-order upwind scheme for the convective terms in mass and energy conversation equations.Results：In a numerical test where the evolvements of void fraction perturbation were concerned, the modified RELAP5 predicted no growth of the perturbation amplitude in contrast to a rapidly developing divergence for the default RELAP5. In addition, for the phase segmentation problem, convergence was accomplished on finer mesh by the modified RELAP5, while non-physical distribution of the void fraction was rendered by the default RELAP5 especially for finer mesh. When applied to the Ransom water faucet numerical test and Marviken CFT 15 experiments, the improved RELAP5 with 2nd-order of accuracy was more reliable in that thepredictions were closer to the experimental results.Conclusion：Compared with the original RELAP5, the modified or improved RELAP5 showed evident numerical stability and accuracy during the assessment in this work.

RELAP5, Stability, Accuracy, Hyperbolicity, Virtual mass, Interface pressure

TL33

10.11889/j.0253-3219.2016.hjs.39.110601

李偉，男，1986年出生，2015年于西安交通大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)獲博士學(xué)位，主要從事核燃料設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆熱工水力及安全分析First author: LI Wei, male, born in 1986, graduated from Xi’an Jiaotong University with a doctoral degree in 2015, major in nuclear science and technology, mainly focusing on nuclear fuel research and design, reactor thermal-hydraulic and safety analysis

2016-05-30，

2016-09-01