楊雪萍，楊洪耕，馬曉陽，曾巧燕

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065）

基于核獨立分量分析的諧波責(zé)任劃分

楊雪萍，楊洪耕，馬曉陽，曾巧燕

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，成都 610065）

為了更加準(zhǔn)確地劃分公共連接點的諧波責(zé)任，提出了一種基于核獨立分量分析劃分諧波責(zé)任的方法。首先采用核主分量分析算法對觀測值進行白化和去均值處理，觀測值的非高斯性增強；然后利用獨立分量分析算法對處理后的觀測值進行盲源分離，得到諧波電流和諧波阻抗估計值；最后根據(jù)諧波責(zé)任計算公式求得各諧波源對關(guān)注母線的諧波責(zé)任。在IEEE14節(jié)點配電系統(tǒng)上進行仿真測試，結(jié)果表明，本文方法與僅用獨立分量分析方法相比，本文所提方法估計結(jié)果更準(zhǔn)確。

諧波責(zé)任；核獨立分量分析；非干預(yù)式；盲源分離

隨著各種非線性負(fù)荷和電力電子設(shè)備的應(yīng)用增加，諧波污染引起了廣泛的關(guān)注。非線性負(fù)荷注入電力系統(tǒng)的諧波電流，不僅會增加功率損耗，還可能損壞系統(tǒng)設(shè)備[1]。諧波電流經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)的諧波阻抗流動，會增加公共連接點PCC（point of common coupling）的諧波電壓。為了有效控制諧波污染，提高諧波管理水平，需要正確評估PCC用戶和系統(tǒng)的諧波責(zé)任[2-3]。

劃分諧波責(zé)任的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確估計系統(tǒng)諧波阻抗和背景諧波電壓，目前電力系統(tǒng)中主要采用“非干預(yù)式”的方法[4-8]對系統(tǒng)諧波阻抗進行估算，根據(jù)求得的系統(tǒng)諧波阻抗值，定量計算各諧波源的諧波電壓貢獻量。文獻[4]提出的波動量法是根據(jù)PCC諧波電壓與諧波電流之間波動量比值的實部符號判斷系統(tǒng)阻抗和用戶阻抗，不足之處在于當(dāng)負(fù)荷波動較小時，估計誤差較大，同時要求測量的諧波電壓、諧波電流具有較高的精度。文獻[5-7]提出的各種改進的線性回歸法，在背景諧波電壓波動較小時，具有較高精度，但是當(dāng)背景諧波電壓波動較大時，回歸模型中的未知參數(shù)不再保持不變，估計誤差較大。文獻[8]根據(jù)獨立統(tǒng)計特性，分離出諧波電流中的快速變化量，進而提取諧波自阻抗和互阻抗，計算諧波貢獻，為計算諧波責(zé)任提供了新思路。

獨立分量分析ICA（independent component analysis）最早用于信號處理，該方法是一種高效的盲源分離技術(shù)，近年來廣泛用于電力系統(tǒng)中[9-13]。文獻[9]采用FastICA算法對包含瞬時電能質(zhì)量擾動信號的電網(wǎng)電壓信號進行計算，可分離出與擾動相對應(yīng)的信號。文獻[10]建立ICA模型，估計電力系統(tǒng)諧波電流。文獻[11]采用復(fù)值ICA算法，推導(dǎo)出諧波電流相量比例系數(shù)，進行諧波電流狀態(tài)估計。文獻[12]利用ICA算法得到諧波電流的估計值，然后在歸一化的混合矩陣和歸一化的象征阻抗矩陣之間尋找匹配列，從而定位諧波源。文獻[13]將ICA算法用于諧波責(zé)任分離。

ICA算法的基本目標(biāo)是尋找一個線性變換，達到變換后的各分量之間盡可能相對獨立的目的。因為ICA算法本身具有的線性特性，不能分離出被非線性混合的數(shù)據(jù)源，同時基于ICA算法的線性投影不能完成數(shù)據(jù)中非線性特征的提取。所以針對諧波源信號被非線性混合的情況，本文提出了核獨立分量分析算法[14-15]KICA（kernel independent component analysis）進行諧波源估計，進而劃分諧波責(zé)任。首先，核主元分析通過非線性函數(shù)將原始數(shù)據(jù)映射到一個高維的特征空間；然后進行主成分分析PCA（principal component analysis），使映射到特征空間的數(shù)據(jù)具有非高斯性；最后采用ICA算法進行獨立分量的盲源分離。在IEEE14節(jié)點系統(tǒng)中，采用KICA算法估計諧波電流和諧波阻抗，求得各諧波源對關(guān)注母線的諧波責(zé)任，與僅用ICA方法的仿真結(jié)果相比，誤差減小。

1 KICA算法

1.1 特征空間的ICA模型

給定一個原始空間Rn的隨機向量x，可能被非線性混合，通過非線性函數(shù)映射到特征空間D中，如式（1）所示。

通過式（1）可以將原始空間的觀測信號轉(zhuǎn)換為特征空間中具有更高維數(shù)的向量。

假設(shè)在特征空間得到的非線性映射后的數(shù)據(jù)滿足線性可分離，然后在特征空間D中找到線性混矩陣Wφ，從φ（x）中恢復(fù)各個獨立分量，即

采用ICA模型進行盲源分離，首先需要對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理（白化和去均值）。通常采用主成分分析白化數(shù)據(jù)，使轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)滿足E{yyT}=I。在特征空間采用PCA，相當(dāng)于對原始觀測數(shù)據(jù)執(zhí)行核主成分分析KPCA（kernel principal component analysis）?；谶@種思想，建立了KICA算法，詳細(xì)計算過程如下。

1.1.1 利用KPCA對映射到特征空間中的向量進行白化處理

假設(shè)原始空間中存在觀測序列x1，x2，…，xM，則在D中滿足，特征空間D中的協(xié)方差算子為

假設(shè)Q=[φ（x1），φ（x2），…，φ（xM）]，則構(gòu)造Gram矩陣R=QTQ，其為M階矩陣，由給定的核函數(shù)確定，如式（4）所示。

若采用高斯核函數(shù)，則

式中：λj（j=1，2，…，m）為R的m個最大的正特征值，滿足λ1≥λ2≥…≥λm；γj（j=1，2，…，m）為λj對應(yīng)的正交特征向量。

令B=（β1，β2，…，βm），計算下式

式中Λ=diag（λ1，λ2，…，λm）。

令

式中：P為白化矩陣；V=（γ1，γ2，…，γm）。

則

式中I為單位矩陣。

最后，白化處理映射到特征空間的數(shù)據(jù)如式（10）所示。

1.1.2 在特征空間對數(shù)據(jù)去均值

首先使CM為M階矩陣，以及C1為M×1矩陣。然后分別對R和Rx去均值，如式（11）和式（12）所示。

最后將式（10）中的Rx變換為，計算與R'x的 m個最大特征值（滿足λ1≥λ2≥…≥λm）相應(yīng)的正交特征向量γ1，γ2，…，γm，則白化變換為

1.2 ICA算法

假設(shè)有N個未知的源信號和M個觀測信號，則ICA的線性混合模型為

式中：X=[x1（ti），…，xN（ti）]T為M個觀測信號構(gòu)成的列向量；S=[s1（ti），…，sN（ti）]T為N個未知的源信號構(gòu)成的列向量；A是M×N維混合矩陣；ti是采樣時間，i=1，2，…，T；ε是均值為0的M維高斯噪聲向量。

通過KPCA對數(shù)據(jù)白化和均值處理后，采用ICA算法找到分離矩陣W（即混合矩陣A的逆），得到盡可能逼近源信號真實值的估計值，即

分離矩陣W必須是正交矩陣，應(yīng)滿足如下關(guān)系：

綜上所述，KICA算法的基本計算步驟如下：

（1）對獲得的原始觀測數(shù)據(jù)白化并去均值；

（2）選定m個估計的分量，進行k次迭代；

（3）隨機選擇最初的權(quán)向量Wk；

（6）如果Wk不收斂，返回步驟（4）；

（7）令k=k+1，如果k≤m，則返回步驟（3）。

2 諧波責(zé)任劃分

2.1 諧波貢獻指標(biāo)的建立

假設(shè)電力系統(tǒng)中包含多個諧波源負(fù)荷，關(guān)注母線處的諧波阻抗矩陣為

式中：h表示諧波次數(shù)；Uh表示母線電壓向量；Ih表示母線注入電流向量；Zh表示h次諧波對應(yīng)的系統(tǒng)阻抗矩陣。以下分析中省略了變量下角標(biāo)中的h。

式（17）的第i行對應(yīng)于關(guān)注母線i，計算其h次諧波電壓，可表示為所有諧波源負(fù)荷在母線i產(chǎn)生的諧波電壓矢量和，即

式中：Zij表示節(jié)點i與節(jié)點j（i、j=1，2，…，N）之間的諧波阻抗（當(dāng)i≠j時，為互阻抗；當(dāng)i=j時，為自阻抗）；Uij表示第j個諧波源負(fù)荷在關(guān)注母線i處產(chǎn)生的諧波電壓。

諧波貢獻定義為以Ui的相角作為參考相角，各諧波源負(fù)荷在母線i處產(chǎn)生的諧波電壓在Ui上的投影長度占Ui模長的百分比，如圖1所示。

圖1 相量關(guān)系Fig.1 Relationship of phasors

定義諧波源負(fù)荷j對關(guān)注母線i的h次諧波電壓責(zé)任為

式中：α為Uij與Ui之間的相位角；μh為諧波貢獻指標(biāo)。該指標(biāo)為正時表示諧波源對母線i的h次諧波電壓起助增作用，指標(biāo)為負(fù)則起抑制作用。

由式（19）可知，要計算諧波貢獻指標(biāo)的前提是得到Uij、Ui，以及兩者之間的相角。通過估計諧波源負(fù)荷與關(guān)注母線之間的諧波阻抗，利用余弦定理，將諧波貢獻指標(biāo)變換為

式中Uoi表示除第j個諧波源負(fù)荷之外的其他諧波源負(fù)荷在關(guān)注母線i處產(chǎn)生的諧波電壓。

2.2 KICA算法計算諧波貢獻指標(biāo)步驟

（1）從關(guān)注母線處獲得諧波電流、諧波電壓的原始數(shù)據(jù)，應(yīng)用KPCA對原始數(shù)據(jù)進行白化和去均值處理。

（2）利用平滑濾波器獲得白化和去均值處理后的數(shù)據(jù)的快速變化量。對混合信號進行KICA算法，源信號的獨立性和非高斯性十分重要。諧波電流的波動特性除了與非線性設(shè)備本身有關(guān)，還受氣候、季節(jié)和一天中不同時段的影響，所以各個獨立的負(fù)荷發(fā)射的諧波電流之間具有相關(guān)性，不滿足ICA算法的使用條件。但是電力負(fù)荷一般包含快速變化量和緩慢變化量兩種[16]，快速變化量之間沒有必然的相關(guān)性，是相互獨立的。所以觀測數(shù)據(jù)經(jīng)過KPCA白化處理后，非高斯特性增強，再利用平滑濾波器可提取各諧波電流的快速變化量。平滑濾波器不改變諧波電壓U和諧波電流I間的線性關(guān)系，即

式中：上標(biāo)fast表示快速變化量；上標(biāo)slow表示緩慢變化量；阻抗矩陣Z保持不變。

（3）ICA算法進行盲源分離，得到諧波電流快速變化量的估計值和矩陣A，然后計算諧波責(zé)任。以諧波電流為狀態(tài)量，節(jié)點的諧波電壓Un和諧波電流In為量測值，根據(jù)式（17）建立ICA模型為

式中e（t）為t時刻的誤差向量。平滑濾波后的諧波電壓、諧波電流滿足ICA算法的使用條件，可對諧波電壓快速變化量使用KICA算法，得到諧波電流快速變化量，由式（22）得到緩慢變化量，相加求得諧波電流的實際估計值采用KICA算法得到混合矩陣A，即式（17）中的諧波阻抗Zh的估計值，則諧波貢獻指標(biāo)為

綜上所述，基于KICA的諧波責(zé)任計算流程如圖2所示。

圖2 諧波責(zé)任計算流程Fig.2 Flow chart of harmonic responsibility estimation

3 算例計算

以圖3所示的IEEE14節(jié)點標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為例，在MATLAB軟件中，對本文提出的方法進行驗證。為了符合實際電力系統(tǒng)，仿真時在母線5、10、14處接入諧波源負(fù)荷，模擬實際系統(tǒng)中諧波源之間具有較遠的地理距離和電氣距離[8]。注入系統(tǒng)的諧波源負(fù)荷Hc1，Hc2，Hc3的7次諧波電流曲線采用文獻[18]提出的典型曲線，1 min給定一個采樣點，1天共有1 440個采樣點，對應(yīng)諧波電流的緩慢變化量。為了表示諧波源負(fù)荷的快速變化量，在各典型曲線上分別加入拉普拉斯分布的隨機變量，其滿足均值為0，方差為0.002。把這種添加快速變化量的諧波電流作為注入的諧波電流。

選取母線7、9、14作為關(guān)注母線，然后利用KICA算法分別計算3個諧波源在關(guān)注母線的諧波貢獻。

圖3 IEEE14節(jié)點系統(tǒng)Fig.3 IEEE 14-node bus system

估計電流和實際電流的曲線如圖4所示，由圖4可以看出估計電流的實部和虛部準(zhǔn)確地反映了實際電流的實部和虛部。

為了量化估計結(jié)果的精度，將諧波源負(fù)荷的實際電流Ij和估計電流進行比較求誤差。當(dāng)所求誤差值越小則表示估計結(jié)果越準(zhǔn)確。因此構(gòu)造估計誤差ej，作為誤差評價指標(biāo)，如下所示：

表1包括了各諧波源母線7次諧波電流估計誤差。ej越小則代表估計的諧波源曲線與實際的諧波源曲線越相近。若誤差ej≤5%，則可利用混合矩陣A對諧波源負(fù)荷進行諧波貢獻計算。

表1 各諧波源母線實際電流和估計電流之間的誤差Tab.1 Errors between actual current and estimated current on the harmonic source buses

由表1可以得到，各諧波源的估計誤差較小，且實部和虛部的誤差大小最大為3.27%和3.32%。與傳統(tǒng)的ICA算法相比，估計誤差明顯減小。結(jié)果表明，本文方法能準(zhǔn)確地估計諧波電流實部和虛部，且具有較高的穩(wěn)定性。

根據(jù)算法得到的混合矩陣A為

圖4 各諧波源母線7次諧波實際電流和估計電流Fig.4 Actual current and estimated current of 7th harmonic on the harmonic source buses

如圖5為混合矩陣A的幅值大小，也就是各個諧波源與關(guān)注母線之間的7次諧波互阻抗。

這些阻抗幅值從另一個角度來說，表示各個諧波源負(fù)荷在關(guān)注母線處產(chǎn)生的單位諧波電壓，其大小與電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有關(guān)。

圖5 混合矩陣的幅值大小Fig.5 Amplitude of mixed matrix

表2 各諧波源責(zé)任計算結(jié)果Tab.2 Calculated results of harmonic contributions from harmonic sources

圖6 各諧波源責(zé)任誤差Fig.6 Error between contributions from harmonic sources

在求得混合矩陣A后，通過式（24）計算各諧波源對關(guān)注母線7、9、14的諧波貢獻指標(biāo)μh，如表2所示。

從表2的計算結(jié)果可知，本文方法得到的諧波責(zé)任計算值和真實值大小吻合，相對誤差如圖6所示。對網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)注母線9而言諧波源Hc2產(chǎn)生的單位諧波電壓最大，但是注入的諧波電流負(fù)荷相對于諧波源Hc1小，因此總體來說，Hc1和Hc2的諧波貢獻指標(biāo)大小相當(dāng)。諧波源Hc1對母線7的諧波電壓影響較大，諧波源Hc3對母線14的諧波電壓影響較大。諧波源Hc2對關(guān)注母線7和9的諧波電壓貢獻差異不大，相對母線14較大。

綜上所述，本文方法通過關(guān)注母線監(jiān)測到的諧波電壓和諧波電流可以估計出各諧波源負(fù)荷對關(guān)注母線的諧波貢獻大小，從而劃分諧波污染責(zé)任。

4 結(jié)論

（1）KICA算法可以對觀測數(shù)據(jù)進行盲源分離，使得處理后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計獨立，適用于諧波源負(fù)荷被非線性混合的情況。

（2）本文采用KPCA白化數(shù)據(jù)，使白化后的數(shù)據(jù)盡可能呈現(xiàn)非高斯性，然后采用ICA算法進行盲源分離。該算法為諧波責(zé)任劃分提供了一種新的思路，與傳統(tǒng)ICA方法相比，具有更好的準(zhǔn)確性和有效性。

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Determination of Harmonic Contributions Based on Kernel Independent Component Analysis

YANG Xueping，YANG Honggeng，MA Xiaoyang，ZENG Qiaoyan
（School of Electrical Engineering and Information，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

In order to determine the harmonic contributions at the point of common coupling，a method based on kernel independent component analysis is proposed in this paper．Firstly，the non-Gaussian distribution of observing data is improved after whitening and mean-removal by the kernel principal component analysis．Then，independent component analysis is used in the process of blind source separation of processed data，and harmonic current and harmonic impedance are thus estimated．Finally，according to the formula of harmonic contributions，the harmonic contributions from harmonic sources are determined．A simulation test on the IEEE 14-node distribution system shows that the proposed method can give more accurate result compared with the independent component analysis．

harmonic contribution；kernel independent component analysis；non-invasive；blind source separation

TM714.3

A

1003-8930（2016）12-0109-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2016.12.018

楊雪萍（1990—），女，通信作者，碩士研究生，研究方向為電力諧波分析與評估。Email：yangxuepin910@163.com

楊洪耕（1949—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電能質(zhì)量、電壓無功控制和智能電網(wǎng)。Email：yangsi@mail.sc.cninfo.net

馬曉陽（1991—），男，博士研究生，研究方向為電能質(zhì)量分析與控制。Email：mxy_scu@163.com

2015-07-08；

2016-06-07