楊海燕

(江蘇省南京市第十三中學(xué),210008)

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○教學(xué)研究○

本立而道生
——例談“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

楊海燕

(江蘇省南京市第十三中學(xué),210008)

“本立而道生”出自《論語》,即做任何事情都要明白事情的根本.教師在教學(xué)中同樣需要以學(xué)生的發(fā)展為根本.在具體數(shù)學(xué)教學(xué)中,除了要幫助學(xué)生獲得基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識和能力之外,更要幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)問題.

本文基于“本立而道生”的思想，談?wù)劇皵?shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì).

一、教材與學(xué)情分析

“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”是蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-2第3章第1節(jié)內(nèi)容,這節(jié)課的主要內(nèi)容是數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的引入以及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.其中數(shù)系的擴(kuò)充體現(xiàn)了數(shù)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程,同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)的發(fā)展的客觀需求和現(xiàn)實(shí)背景;而復(fù)數(shù)的引入,則是中學(xué)階段數(shù)系的又一次也是最后一次擴(kuò)充.對于高中生來說,學(xué)習(xí)一些復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識是十分必要的,可以促使他們對數(shù)的概念有一個(gè)初步的、較為完整的認(rèn)識,也給他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題增添了新的工具.

學(xué)生學(xué)習(xí)這一節(jié)內(nèi)容,可能存在如下障礙:為什么引入虛數(shù)單位i?怎么引入的?復(fù)數(shù)是個(gè)什么樣的數(shù)?它有何意義?

二、教學(xué)目標(biāo)

(1)理解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示,掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件.

(2)通過回憶并感知數(shù)系擴(kuò)充的過程,通過歸納并感悟數(shù)系擴(kuò)充的基本方法,進(jìn)而形成并理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.

(3)通過問題情境感受虛數(shù)引入的必要性,體會(huì)人類理性思維的作用,形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度.

三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):數(shù)系擴(kuò)充的過程,復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,復(fù)數(shù)相等的充要條件.

教學(xué)難點(diǎn):數(shù)系擴(kuò)充的原則及對虛數(shù)單位i的理解.

四、教學(xué)過程

本節(jié)課的教學(xué)程序分成五個(gè)環(huán)節(jié)來進(jìn)行.

1.以“矛盾”誘發(fā)認(rèn)知沖突,幫助學(xué)生認(rèn)識“虛數(shù)”的產(chǎn)生

問題1我們學(xué)校高一年級多少個(gè)班?高二年級多少個(gè)班?高一、高二年級班級數(shù)之比是多少?

設(shè)計(jì)意圖引出熟悉的數(shù),為本節(jié)課做鋪墊.數(shù)字是數(shù)學(xué)的基本語言,數(shù)學(xué)正是起源于對數(shù)的研究.在對數(shù)的研究中,數(shù)系不斷擴(kuò)充和壯大.

1545年意大利著名的數(shù)學(xué)家卡爾丹遇到令人頭疼的問題:

問題2能否將10分成兩部分,且使兩者的乘積為40?

設(shè)計(jì)意圖引領(lǐng)學(xué)生重溫歷史,感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘,讓學(xué)生與數(shù)學(xué)大師一起思考問題、解決問題.歸納出:“找不到這樣的兩個(gè)實(shí)數(shù),它們的和為10,積為40”,也就是“方程x2-10x+40=0在實(shí)數(shù)集內(nèi)無解”.追問:“為什么這個(gè)方程無解呢?”“其根本原因是什么?”“-15不能開方，哪個(gè)數(shù)能開方就解決了所有負(fù)數(shù)開方的問題?”實(shí)數(shù)已經(jīng)不夠用了,讓學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài),形成認(rèn)知沖突,誘發(fā)學(xué)生主動(dòng)、積極地思考問題,引出課題.

2.以“統(tǒng)一”促進(jìn)認(rèn)知順應(yīng),幫助學(xué)生擴(kuò)展數(shù)的認(rèn)識

問題3數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴(kuò)充?每一次擴(kuò)充分別解決了哪些原來無法解決的問題?

設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課的生長點(diǎn)是學(xué)生對數(shù)已經(jīng)建立的認(rèn)知序,即學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些數(shù)集.在此基礎(chǔ)之上,幫助學(xué)生梳理數(shù)系擴(kuò)充的過程,了解數(shù)系擴(kuò)充的歷史序,從而形成數(shù)系擴(kuò)充的邏輯序.在此過程中,讓學(xué)生充分交流、合作、討論,感受到每一次擴(kuò)充都要引入新數(shù).與此同時(shí),感受到數(shù)系擴(kuò)充是社會(huì)發(fā)展的需要,如計(jì)數(shù)、平均分配、測量等；同時(shí)也是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要,如不夠減了、不能整除了、不能開方了等,從而完成數(shù)系擴(kuò)充：

問題4這幾次數(shù)系的擴(kuò)充有什么共同特征?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生通過對前幾次數(shù)系擴(kuò)充的歸納與梳理,感受到數(shù)系擴(kuò)充的合理性,并能提煉出數(shù)系擴(kuò)充的一般原則:① 引入新數(shù);② 在新的數(shù)集中,原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用,同時(shí)解決了某些運(yùn)算在原來數(shù)集中不是總可以實(shí)施的矛盾，為數(shù)系的再一次擴(kuò)充以及如何擴(kuò)充打好了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí),有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括與表達(dá)能力.由此,突破本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).

綜上所述：食管癌放射治療患者接受優(yōu)質(zhì)護(hù)理干預(yù)后，并發(fā)癥發(fā)生率，減輕不適；因此，值得在臨床護(hù)理工作中采納與應(yīng)用。

問題5為了解決負(fù)數(shù)開平方問題,實(shí)數(shù)集應(yīng)怎樣擴(kuò)充呢?

設(shè)計(jì)意圖尋找一個(gè)數(shù)的平方等于-1,讓“引入新元i”水到渠成.再規(guī)定:① i2=-1;② 實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算,進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立，從而實(shí)數(shù)集得以擴(kuò)充.同時(shí),介紹新元i的200多年的發(fā)展史,使學(xué)生們體會(huì)在知識發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)思想、方法和數(shù)學(xué)精神,感受到濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息.

3.以“否定之否定”聯(lián)系“意義賦予”,幫助學(xué)生掌握復(fù)數(shù)

問題6虛數(shù)單位i和實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算后,可產(chǎn)生新的數(shù),請舉例.能否歸納出其一般形式?

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生利用新知嘗試寫出含有i的一些新數(shù),追問:“這些數(shù)中,你覺得哪些可以歸為一類?”“其一般形式是什么?”學(xué)生通常會(huì)先發(fā)現(xiàn)bi,再發(fā)現(xiàn)a+bi(b≠0)，但會(huì)遺漏實(shí)數(shù).接著追問:“會(huì)不會(huì)產(chǎn)生2,3…?”“你覺得哪個(gè)形式把剛才所寫的數(shù)都包含在內(nèi)?”引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般,從而概括出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+bi(a,b∈R),并學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,從而完成從實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴(kuò)充.追問:“請說出剛剛所舉復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是什么?”“能否根據(jù)某個(gè)特征對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類?”引導(dǎo)學(xué)生由實(shí)數(shù)a,b的不同取值對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類,即

從而深化復(fù)數(shù)概念,攻克本節(jié)課的重點(diǎn),數(shù)系擴(kuò)充表得以完善.

4.精選例題,學(xué)以致用

為了檢測學(xué)生對復(fù)數(shù)有關(guān)概念的理解,設(shè)置了下列四組練習(xí):

(1)若a,b為實(shí)數(shù),則z=a+bi為虛數(shù)；

(2)若b為實(shí)數(shù),則z=bi為純虛數(shù)；

(3)若b=0,則z=a+bi為實(shí)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)診斷性練習(xí)出現(xiàn)在學(xué)生自主歸納出復(fù)數(shù)的分類后,及時(shí)鞏固對復(fù)數(shù)分類的理解.學(xué)生口答,屬于容易題.

例2請用韋恩圖表示出數(shù)集N,Z,Q,R,C的關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖例2主要是前后照應(yīng),采用概念同化的方式完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),用符號語言重現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充的過程,像樹的年輪一樣在生長.

例3實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)i是(1)實(shí)數(shù)?(2)虛數(shù)? (3)純虛數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生熟悉復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn),在解決問題的過程中內(nèi)化復(fù)數(shù)有關(guān)概念,起到及時(shí)反饋、學(xué)以致用的功效.并追問:例3中m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z是0?是6+2i?學(xué)生根據(jù)其學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蜃灾鹘鉀Q,進(jìn)而得到復(fù)數(shù)相等的概念.

例4已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求實(shí)數(shù)x,y的值.

設(shè)計(jì)意圖強(qiáng)化復(fù)數(shù)相等的充要條件,并在解決問題過程中讓學(xué)生初步感受到復(fù)數(shù)問題可以化歸為實(shí)數(shù)問題.

今天我們從數(shù)系擴(kuò)充的角度引入新元,解決了實(shí)數(shù)集內(nèi)負(fù)數(shù)不能開平方問題,進(jìn)而學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.

5.小結(jié)收獲,理性升華

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)到了什么?

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生總結(jié),教師提煉,在課堂交流中形成總結(jié)的模式和反思的習(xí)慣.

五、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，圍繞 “本立而道生”這一核心思想,緊抓三條主線:數(shù)學(xué)史、學(xué)習(xí)方法和學(xué)生活動(dòng).

1.數(shù)學(xué)史滲透整節(jié)課,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵

筆者從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)(常見的數(shù)集)出發(fā),再現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家卡爾丹的問題,讓學(xué)生經(jīng)歷與數(shù)學(xué)大師一起發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程,感受到小小的“i”硬是經(jīng)過了兩個(gè)世紀(jì)的努力才被人接受.數(shù)學(xué)并不神秘,只要我們跳出原有的舊框框,一片更為廣闊的數(shù)學(xué)天地便盡收眼底……數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵在歷史的脈絡(luò)中體現(xiàn)得淋漓盡至,學(xué)生學(xué)到的不僅是知識,還感受到濃濃的數(shù)學(xué)文化氣息.

2.數(shù)學(xué)方法貫穿整節(jié)課,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想內(nèi)涵

數(shù)學(xué)作為一門具有嚴(yán)密的邏輯性的科學(xué)體系,以學(xué)術(shù)形態(tài)存在,具有抽象性、邏輯性和系統(tǒng)性,蘊(yùn)含著豐富的思想方法.學(xué)生在理解、把握數(shù)學(xué)知識中,不僅僅是記憶形式上的數(shù)學(xué)知識,更重要的是領(lǐng)會(huì)以數(shù)學(xué)知識為載體的數(shù)學(xué)思想方法,諸如類比思想、化歸思想等.

從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充與前3次數(shù)系擴(kuò)充必然有類似之處,其擴(kuò)充方法也必然有相似之處.筆者設(shè)計(jì)問題串,引領(lǐng)學(xué)生追溯數(shù)的發(fā)展歷史,類比前幾次數(shù)系的擴(kuò)充,讓學(xué)生在知識發(fā)生過程中進(jìn)行“火熱的思考”,實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”,抽象概括出數(shù)系擴(kuò)充的原則.實(shí)數(shù)可以根據(jù)某個(gè)特征進(jìn)行分類，類似地,復(fù)數(shù)能否分類?如何分類?在此過程中,學(xué)生不僅僅是實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的分類,更重要的是通過“火熱的思考”、“再創(chuàng)造”,體會(huì)到新舊知識在研究方法上的一致性,形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一貫方法.

3.學(xué)生活動(dòng)串聯(lián)整節(jié)課,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人本精神

人們的認(rèn)識過程是從感性到知性再到理性的,因而要形成理性認(rèn)識,必須依賴于感性的體驗(yàn)到知性的理解.從虛數(shù)的“生長”過程來看,是一個(gè)從無到有、從疑惑到接受、從模糊到清晰、從片面到完善的過程.只有學(xué)生親身“經(jīng)歷”這一歷史過程,才能消除學(xué)生對復(fù)數(shù)的疑惑:復(fù)數(shù)是什么?為什么要引入?怎么引入?引入后有什么用?

筆者引導(dǎo)學(xué)生主要進(jìn)行兩次活動(dòng):一是切合自己從一年級起至今的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,回顧依次遇到的數(shù)集,思考數(shù)集擴(kuò)充的原因以及每一次擴(kuò)充解決了哪些原本無法解決的問題,再小組交流;二是虛數(shù)單位i與實(shí)數(shù)可構(gòu)成哪些新的數(shù)?同時(shí),小組成員討論:這些新的數(shù)從形式看有什么特征?其一般形式是什么?可以怎么分類?這兩次活動(dòng)設(shè)計(jì),讓學(xué)生在探究中自主形成概念,有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)品質(zhì)和創(chuàng)新精神.