張?jiān)ツ希?楊懷彬， 黃濤,2， 張舒陽， 房遠(yuǎn)

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院 兵器與控制系， 北京 100072； 2.63983部隊(duì)， 江蘇 無錫 214035)

向心型履帶式全方位移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析

張?jiān)ツ?， 楊懷彬1， 黃濤1,2， 張舒陽1， 房遠(yuǎn)1

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院 兵器與控制系， 北京 100072； 2.63983部隊(duì)， 江蘇 無錫 214035)

兵器科學(xué)與技術(shù)； 全方位移動(dòng)平臺(tái)； 履帶； 向心型

0 引言

全方位移動(dòng)平臺(tái)在平面上具備縱向、橫向和中心轉(zhuǎn)向3個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度，其運(yùn)動(dòng)具有較高的靈活性，且運(yùn)動(dòng)過程中能夠保持平臺(tái)本身位姿不變，廣泛應(yīng)用于倉儲(chǔ)運(yùn)輸[1-2]、運(yùn)動(dòng)競賽[3-4]、智能服務(wù)[5]、精確安裝[6-7]等領(lǐng)域。目前，全方位平臺(tái)使用的行走機(jī)構(gòu)大部分為輪式，其中麥克納姆輪應(yīng)用最為廣泛，但其在負(fù)重載荷、運(yùn)動(dòng)“敲地”、路面適應(yīng)性等方面存在諸多不足。文獻(xiàn)[8-10]通過改變輥輪數(shù)量、加裝減震機(jī)構(gòu)等方法對其進(jìn)行改進(jìn)，取得了一定的改善效果，但結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。平臺(tái)布局形式主要分為縱向?qū)ΨQ型和向心型兩種[11-12]。前者為高速行駛和越障提供了可能，后者的運(yùn)動(dòng)均衡性更好。

傳統(tǒng)履帶車輛在負(fù)重和越野等方面具備較強(qiáng)的優(yōu)勢。將麥克納姆輪按序列進(jìn)行展開，結(jié)合傳統(tǒng)履帶的機(jī)械結(jié)構(gòu)，可設(shè)計(jì)出一種具有多運(yùn)動(dòng)自由度的行走機(jī)構(gòu)，即全方位移動(dòng)履帶[13]。文獻(xiàn)[14]中研究了全方位移動(dòng)履帶采用縱向?qū)ΨQ布局形式構(gòu)建全方位平臺(tái)的基本結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本文主要針對向心型布局的全方位平臺(tái)進(jìn)行研究，建立三履帶、四履帶全方位平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，分析平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并通過虛擬樣機(jī)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 全方位移動(dòng)履帶結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)分析

1.1 全方位移動(dòng)履帶結(jié)構(gòu)

1.2 全方位移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析

在分析平臺(tái)運(yùn)動(dòng)之前，做以下假設(shè)：

1)平臺(tái)與地面均為剛體，各種運(yùn)動(dòng)在平面上進(jìn)行；

2)不考慮滑轉(zhuǎn)、滑移對平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的影響；

3)平臺(tái)重心與幾何中心完全重合，不存在重心偏移現(xiàn)象。

選取平臺(tái)第i(1≤i≤N)條全方位履帶作為分析對象，如圖3所示。圖3中，矩形框代表履帶接地部分，短斜線代表輥輪接地部分。假定平臺(tái)參數(shù)如下：Oxy為以平臺(tái)幾何中心為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，Oixiyi為以履帶接地段幾何中心為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，θi為Oixi與Ox所成夾角，li為Oi點(diǎn)到O點(diǎn)的距離，αi為輥輪偏置角，βi為OOi與x軸所成夾角，vy、vx、ωz為平臺(tái)在Oxy坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)速度。通過分析得到平臺(tái)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[14]，如(1)式所示。

(1)

式中：矩陣J為平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程雅克比矩陣，表示履帶與平臺(tái)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系；r為驅(qū)動(dòng)輪半徑；ωi為履帶驅(qū)動(dòng)輪角速度。對于任一平臺(tái)，若要實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)性能，必須確保平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程雅克比矩陣J的秩滿足Rank(J)≥3[15]. 因此，平臺(tái)至少要具備3條以上履帶，才能實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)性能。鑒于加工安裝、體積、質(zhì)量、系統(tǒng)控制等因素，三履帶和四履帶構(gòu)成的全方位平臺(tái)實(shí)用價(jià)值和適用范圍更大。因此，本文重點(diǎn)研究這兩類平臺(tái)。當(dāng)履帶數(shù)量超過4條時(shí)，平臺(tái)在成本、冗余度等方面表現(xiàn)較差，尤其在多電機(jī)協(xié)調(diào)控制上存在難度，實(shí)用價(jià)值不大。若需要增加平臺(tái)載重能力，可通過對全方位履帶進(jìn)行適當(dāng)?shù)募娱L加寬或增加輥輪數(shù)量來滿足要求[14]。

2 三履帶全方位移動(dòng)平臺(tái)分析

2.1 平臺(tái)結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

由圖4可知，圖中1、2、3分別表示3條履帶標(biāo)號(hào)，且定義了每條履帶的運(yùn)動(dòng)正方向。布局1中履帶與平臺(tái)中線垂直，輥輪偏置角可變化；布局2中履帶縱向中心線與平臺(tái)中線重合，輥輪偏置角可變化；布局3中輥輪偏置角與平臺(tái)中線平行，履帶角度可變化。通過對3種平臺(tái)布局形式的幾何關(guān)系進(jìn)行分析，得到如表1所示的平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)。將各結(jié)構(gòu)參數(shù)代入(1)式，可得到平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的具體形式及其雅克比矩陣秩的值。由前文分析可知，布局1、布局2可以實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)，但布局3不能。雖然布局2可以實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)，但該布局形式不利于履帶安裝，而且在平臺(tái)驅(qū)動(dòng)效率、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性等方面不如布局1. 因此，這里重點(diǎn)分析如圖4(a)所示的三履帶全方位移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性。

根據(jù)表1中布局1的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可得其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(2)

2.2 平臺(tái)各向最大平移速度分析

當(dāng)平臺(tái)的履帶數(shù)量和布局確定后，輥輪偏置角成為影響平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵因素。不同偏置角情況下，平臺(tái)各向運(yùn)動(dòng)的速度差異較大。

假定平臺(tái)在Oxy平面內(nèi)只進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)，不伴隨轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)，其速度為v，運(yùn)動(dòng)方向與x軸間的角度為ψ(0≤ψ≤2π rad)，則

(3)

式中：vy、vx分別表示平臺(tái)在y軸、x軸上的速度分量。

由(2)式可得

(4)

假定驅(qū)動(dòng)輪的最大線速度為1 m/s，即rωi≤1 m/s(i=1,2,3)，不考慮轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)情況下可將(4)式記為rωi=aiyvy+aixvx，aiy、aix為平臺(tái)平動(dòng)時(shí)各向速度相對于第i條履帶的運(yùn)動(dòng)分量系數(shù)。其中：

則

rωi=aiyvsinψ+aixvcosψ，

(5)

即

(6)

綜上可得

(7)

式中：A=|aiysinψ+aixcosψ|max.

由(7)式可得

(8)

(9)

2.3 平臺(tái)各向最大平移加速度分析

輥輪偏置角的選取還會(huì)影響到平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)能力，因此還需要考慮平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)特性。全方位履帶因其在履帶板上安裝有輥輪結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)特性與傳統(tǒng)履帶有較大差別。輥輪可自由旋轉(zhuǎn)，其牽引力方向主要沿輥輪軸線方向。假定驅(qū)動(dòng)輪提供的驅(qū)動(dòng)力為Fi、履帶牽引力為fi，則fi=Fisinα(i=1,2,3)[14]。對圖4(a)所示的平臺(tái)進(jìn)行受力分析，結(jié)果如圖6所示。

(10)

(11)

由圖7可知，平臺(tái)各向最大平移加速度與最大平移速度分布特征相似，呈正六邊形規(guī)律分布，平臺(tái)最大加速度隨著輥輪偏置角的增大逐漸增大。

3 四履帶全方位移動(dòng)平臺(tái)分析

3.1 平臺(tái)結(jié)構(gòu)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

四履帶平臺(tái)布局形式如圖8(a)～圖8(d)所示，定義每條履帶的運(yùn)動(dòng)正方向。布局1中履帶與平臺(tái)各邊平行，輥輪偏置角可變化；布局2中輥輪偏置角與平臺(tái)各邊平行，履帶角度可變化；布局3中履帶縱向中心線與平臺(tái)對角線重合，輥輪偏置角可變化；布局4中輥輪偏置角與平臺(tái)對角線平行，履帶角度可變化。通過對4種平臺(tái)布局形式的幾何關(guān)系進(jìn)行分析，得到如表2所示的平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)。將各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入(1)式，可得到平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的具體形式及其雅克比矩陣秩的值。由上文分析可知，布局1～布局3均可實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)，但布局4不能。其中，布局2和布局3均不利于履帶安裝，而且在驅(qū)動(dòng)效率、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性等方面不如布局1. 因此，本文重點(diǎn)分析圖8(a)所示的四履帶全方位移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)特性，根據(jù)表2中布局1的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可得其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(12)

3.2 平臺(tái)各向最大平移速度分析

按照三履帶全方位平臺(tái)最大平移速度分析方法，可得四履帶全方位平臺(tái)各向最大平移速度為

(13)

式中：A=|aiysinψ+aixcosψ|max,i=1,2,3,4.

由(12)式可知，

3.3 平臺(tái)各向最大平移加速度分析

按照三履帶全方位平臺(tái)的分析方法，可得四履帶全方位平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程：

(14)

由圖10可見，平臺(tái)各向最大平移加速度與最大平移速度分布特征相似，呈正四邊形規(guī)律分布，平臺(tái)最大加速度隨著輥輪偏置角的增大而逐漸增大。

4 平臺(tái)對比分析及仿真驗(yàn)證

4.1 平臺(tái)對比分析

由圖11和圖12可知：

從速度數(shù)值來看，在輥輪偏置角相同的情況下，三履帶平臺(tái)與四履帶平臺(tái)的最小速度值相同；但四履帶平臺(tái)的最大速度值略大，約為三履帶平臺(tái)的1.22倍，可見四履帶平臺(tái)的速度性能更優(yōu)。從速度分布來看，在輥輪偏置角相同的情況下，三履帶平臺(tái)速度域?yàn)檎呅?，四履帶平臺(tái)速度域?yàn)檎倪呅?，因此三履帶平臺(tái)的各向速度均衡性更好。

從加速度數(shù)值來看，在輥輪偏置角相同的情況下，四履帶平臺(tái)的加速度明顯大于三履帶平臺(tái)，其最大值約為三履帶的1.63倍；相同平移方向時(shí)四履帶平臺(tái)的加速度明顯大于三履帶平臺(tái)，可見四履帶平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)加速性能更優(yōu)。從加速度分布來看，在輥輪偏置角相同的情況下，三履帶平臺(tái)加速度域?yàn)檎呅?，四履帶平臺(tái)的加速度域?yàn)檎倪呅?，因此三履帶平臺(tái)的各向加速度均衡性更好。

總體來看，在履帶結(jié)構(gòu)相同的條件下，四履帶平臺(tái)相對于三履帶平臺(tái)在速度和加速度方面都有較大的提升，但三履帶平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)均衡性較好。增加一套驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和履帶系統(tǒng)后四履帶平臺(tái)載重能力更強(qiáng)，但平臺(tái)的體積、質(zhì)量、成本有所增加。三履帶平臺(tái)則結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕便、經(jīng)濟(jì)實(shí)用。在控制方面，由于三履帶平臺(tái)對稱性不如四履帶平臺(tái)，當(dāng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度和方向確定后各電機(jī)所分配速度的差異性較大。在實(shí)際工程應(yīng)用中，電機(jī)加速性能和每條履帶的機(jī)械特性等不能完全相同，可能會(huì)造成平臺(tái)運(yùn)動(dòng)偏移，而且往往發(fā)生在運(yùn)動(dòng)起始階段或運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變階段。因此，三履帶平臺(tái)的控制更加困難，必要時(shí)還需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)償控制。在控制穩(wěn)定性方面，四履帶平臺(tái)優(yōu)于三履帶平臺(tái)。

4.2 仿真驗(yàn)證

將平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入(2)式和(12)式，可得到三履帶、四履帶全方位平臺(tái)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(15)

(16)

針對平臺(tái)的全方位移動(dòng)性能，分別對縱向、橫向和中心轉(zhuǎn)向3種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行仿真。對應(yīng)地，將平臺(tái)目標(biāo)速度設(shè)置為(1 m/s 0 m/s 0 m/s)T、(0 m/s1 m/s 0 m/s)T、(0 m/s 0 m/s 1 m/s)T，分別代入(15)式和(16)式，可以得到驅(qū)動(dòng)輪期望轉(zhuǎn)速。將仿真時(shí)間設(shè)置為4.0 s，其中：0～0.5 s為平臺(tái)靜穩(wěn)定時(shí)間，0.5～1.5 s為平臺(tái)加速時(shí)間，1.5～4.0 s為平臺(tái)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，樣機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡及速度曲線如圖14所示。

對圖14中平臺(tái)在1.5 s達(dá)到穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)后進(jìn)行平均速度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表3所示。由表3并結(jié)合圖14中的運(yùn)動(dòng)軌跡和速度曲線可以看出，兩種平臺(tái)都可以實(shí)現(xiàn)全方位移動(dòng)性能，穩(wěn)態(tài)后平均速度都接近期望速度1 m/s，但平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡存在一定的偏移。圖15中履帶1達(dá)到最大線速度1 m/s，三履帶平臺(tái)的履帶3和四履帶平臺(tái)的履帶2速度約為0 m/s，兩種平臺(tái)的45°斜向運(yùn)動(dòng)速度與前文分析基本相符。

通過上述對兩種平臺(tái)全方位移動(dòng)性能和各向相異性的仿真分析，驗(yàn)證了該平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析的正確性。但在45°斜向運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，兩種平臺(tái)都至少有1條履帶處于純滑動(dòng)狀態(tài)，未參與平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)行為，如三履帶平臺(tái)中的履帶3和四履帶平臺(tái)中的履帶2、履帶4. 可見，該狀態(tài)下平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)效率有所降低。但此類情況因全方位平臺(tái)行走機(jī)構(gòu)的特殊性又必然存在，因此在實(shí)際應(yīng)用過程中應(yīng)盡量避免平臺(tái)運(yùn)行在這些特殊的方向上，以提高平臺(tái)的運(yùn)行效率。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，仿真中平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡和速度曲線會(huì)發(fā)生一定的偏斜和波動(dòng)，分析原因如下：1)仿真中的接觸參數(shù)設(shè)置不夠精確；2)運(yùn)動(dòng)分析中未將履帶長度和寬度考慮在內(nèi)，對實(shí)際運(yùn)動(dòng)有一定的影響；3)履帶運(yùn)動(dòng)過程中伴隨有一定的滑轉(zhuǎn)、滑移現(xiàn)象。

5 結(jié)論

2) 在履帶結(jié)構(gòu)相同的條件下，四履帶平臺(tái)相對于三履帶平臺(tái)在速度和加速度方面都有較大提升，但三履帶平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)均衡性較好。四履帶平臺(tái)載重能力更強(qiáng)，三履帶平臺(tái)結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕便和經(jīng)濟(jì)實(shí)用。此外，在控制穩(wěn)定性方面，四履帶平臺(tái)優(yōu)于三履帶平臺(tái)。

3) 在某些特殊運(yùn)動(dòng)方向上，兩種平臺(tái)都存在至少有1條全方位履帶處于純滑動(dòng)狀態(tài)的情況。該狀態(tài)下平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)效率降低，但由于全方位履帶結(jié)構(gòu)的特殊性又必然存在，在實(shí)際應(yīng)用過程中應(yīng)盡量避免平臺(tái)運(yùn)行在這些特殊的方向上，以提高平臺(tái)的運(yùn)行效率。

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AnalysisaboutMotionofCentripetalTrackedOmnidirectionalMobilePlatforms

ZHANG Yu-nan1， YANG Huai-bin1， HUANG Tao1,2， ZHANG Shu-yang1， FANG Yuan1

(1.Department of Arms and Control Engineering，Academy of Army Armored Force，Beijing 100072，China; 2.Unit 63983 of PLA， Wuxi 214035， Jiangsu，China)

ordnance science and technology; omnidirectional mobile platform; track; centripetal

U270.1+1; TJ801.1

A

1000-1093(2017)12-2309-12

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.12.003

2017-03-21

國家國防科技工業(yè)局技術(shù)基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(2015ZB15)

張?jiān)ツ?1961—)， 男， 教授， 博士生導(dǎo)師。 E-mail： zhang_yunan@sina.com