張曉英 王 琨 張蠟寶

(1.蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院 蘭州 730050 2.南京大學電子科學與工程學院 南京 210093)

基于切片采樣的風力發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)概率潮流計算

張曉英1王 琨1張蠟寶2

(1.蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院 蘭州 730050 2.南京大學電子科學與工程學院 南京 210093)

在基于馬爾科夫鏈蒙特卡洛(MCMC)模擬法的概率潮流計算方法中，被廣泛應用的Gibbs采樣算法需要進行大量復雜的迭代運算才能得到較精確的計算結(jié)果。針對該算法的缺陷，提出基于切片采樣(slice sampling)算法的MCMC方法，并應用于風力發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)概率潮流計算中。首先，采用加權(quán)高斯混合分布(WGMD)對風電場出力進行建模；然后，通過切片采樣算法對風電場出力的概率分布進行采樣，從而構(gòu)建出風電場出力的樣本空間；最后，對樣本空間中的每組采樣點進行潮流計算，并在含有風電模型的IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)中與Gibbs采樣算法得到的結(jié)果進行比較。結(jié)果表明：切片采樣算法能夠顯著提高傳統(tǒng)MCMC方法的計算準確度；同時，在與Gibbs算法采樣迭代次數(shù)相同的情況下，切片采樣算法所生成的馬爾科夫鏈可以更快、更穩(wěn)定地收斂于平穩(wěn)分布。

風電并網(wǎng) 概率潮流 切片采樣 Gibbs采樣 馬爾科夫鏈蒙特卡洛模擬法

0 引言

風力發(fā)電對環(huán)境的影響較小，同時發(fā)電成本不斷下降，因此成為新能源發(fā)電中發(fā)展最快、最具有發(fā)展前景的一種發(fā)電方式。然而風能這種清潔能源具有顯著的隨機性、間歇性和不可調(diào)度性的缺點[1]。隨著風電滲透率的提高，其對電力系統(tǒng)在安全性和穩(wěn)定性方面的影響也越來越明顯[2]。

為了全面分析風力發(fā)電并網(wǎng)對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，需要精確計算出系統(tǒng)潮流分布情況。而風能的不確定性決定了風電并網(wǎng)系統(tǒng)潮流分布的不確定性，因此概率統(tǒng)計法成為了分析此類系統(tǒng)的基本方法。20世紀70年代B.Borkowska首次提出概率潮流(Probabilistic Load Flow，PLF)計算的概念[3]，此后該計算方法在包括電壓穩(wěn)定性分析、可靠性評估、網(wǎng)損分析等在內(nèi)的電力系統(tǒng)分析領(lǐng)域得到廣泛的應用。概率潮流算法的核心思想是：將輸入隨機變量的概率統(tǒng)計特性引入潮流計算當中，從而求得電網(wǎng)潮流指標的概率統(tǒng)計特性，如期望、方差、概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)、累計分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function，CDF)等。

由于概率潮流能夠更有效地模擬電力系統(tǒng)實際運行情況，因此經(jīng)過多年研究，國內(nèi)外學者提出了多種類型的概率潮流計算方法。其中，解析法[3-5]通過簡化的卷積計算能夠達到很快的計算速度，但計算準確度不高，且各輸入變量之間相互獨立的假設(shè)與實際電力系統(tǒng)運行不相符。點估計法[6，7]通過運行兩倍隨機參數(shù)個數(shù)的潮流程序計算所得參數(shù)的各階矩，與解析法相比計算時間有所增加，雖然相應的計算準確度略有提高，但采樣值不具備普遍性，同樣無法滿足計算準確度要求。

蒙特卡洛模擬法(Monte Carlo Simulation，MCS)[8-10]在采樣規(guī)模足夠大的情況下，計算準確度較高，但其計算量過大、耗時過長。因此，這種方法大多作為驗證其他方法準確程度的標準。針對MCS方法的不足，一些學者將隨機過程中的馬爾科夫過程引入到蒙特卡洛模擬中，形成了馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)模擬法[11，12]，其基本思想是：通過重復抽樣，建立一個平穩(wěn)分布與系統(tǒng)先驗概率分布相同的馬爾科夫鏈，從而得到系統(tǒng)的狀態(tài)樣本。被廣泛用于構(gòu)建馬爾科夫鏈的Metropolis-Hastings算法和Gibbs算法存在著不可忽視的缺點：實現(xiàn)Metropolis-Hastings采樣算法需要找到一種合適的建議分布；與此類似的是，使用Gibbs采樣算法時必須構(gòu)造一種從非標準單變量分布抽樣的算法以實現(xiàn)有效抽樣[13，14]；由于易受初始值的影響，Gibbs采樣算法穩(wěn)定性較低，且需要進行大量迭代運算才能達到收斂。這些缺陷限制了MCMC方法在電力系統(tǒng)中的應用。

本文將切片采樣(slice sampling)算法[14]引入到風力發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)概率潮流計算中。與Gibbs采樣算法相比，切片采樣算法改善了采樣值在隨機變量分布中的覆蓋程度、提高了采樣效率。在對IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)進行風電并網(wǎng)改造后，分別采用Gibbs采樣算法和切片采樣算法進行概率潮流計算，結(jié)果證明了所提算法的高效性和準確性。

1 風電場概率模型的建立

在風電并網(wǎng)系統(tǒng)概率潮流計算中，風電場概率模型的建立方法主要有兩種：一種是基于風速概率密度函數(shù)的建模方法[15]；另一種是基于風電場有功出力時間隨機序列的建模方法[16]。根據(jù)風電場實測風電出力數(shù)據(jù)分析得出，在不同時間尺度下，風電出力波動較大、變化復雜，呈較強的非線性。風速概率密度函數(shù)建模法需要通過對滿足特定概率分布的風速進行變換得到風電場有功出力，在對大規(guī)模風電并網(wǎng)系統(tǒng)潮流分析時，其擬合誤差無法滿足潮流計算的準確度要求。對于時間隨機序列的建模方法來說，雖然該方法可以比較精確地模擬出風電場在任何時間段的功率波動變化，但是要依靠大量的風電場實測數(shù)據(jù)，并且在生成概率轉(zhuǎn)移核矩陣時需要進行大量計算，因此其適用范圍受到了局限。

加權(quán)高斯混合分布(Weighted Gaussian Mixture Distribution，WGMD)通過多個高斯分布的加權(quán)組合可以平滑地近似任意復雜形態(tài)的數(shù)據(jù)分布。采用該分布構(gòu)建風電場有功出力的概率模型時，由于直接采用了風電場有功出力的實測數(shù)據(jù)，可以避免由風速變換風功率時帶來的誤差。同時，在生成風功率時間序列時不需要構(gòu)建概率轉(zhuǎn)移核矩陣，可以提高建模效率。因此，該方法更適合用于描述風電出力的隨機性和波動性等非線性分布特性。藺紅等人采用加權(quán)高斯混合分布概率模型對新疆某地區(qū)風電場的出力進行研究，其結(jié)果也證實了加權(quán)高斯混合概率模型在模擬風電出力方面的準確性和有效性[17]。綜上所述，本文采用基于加權(quán)高斯混合分布的風電場概率建模法進行概率潮流計算。

采用加權(quán)高斯混合分布來表示風電場出力的概率函數(shù)為

(1)

給定風電場出力實測數(shù)據(jù)X={x1,x2,…,xN}， 其概率模型的似然函數(shù)為

(2)

式中，Θ={θ1,θ2,…,θN}。 對式(2)取對數(shù)得

(3)

EM算法進行參數(shù)估計主要由兩步完成，即

E步：計算對數(shù)似然函數(shù)的條件期望，即

(4)

M步：尋找Θ(p+1)， 使得

(5)

1)初始化迭代參數(shù)Θ(0)。

2)迭代計算式(6)所示參數(shù)，直到收斂。

(6)

2 切片采樣算法

切片采樣算法由J.Besag和P.G.Green在1993年首先引入主流統(tǒng)計學研究領(lǐng)域[20]。切片采樣算法在采樣過程中需要引入輔助變量，當引入單輔助變量后，其采樣過程可以被看作是目標概率密度函數(shù)圖像下的Gibbs采樣算法。

假設(shè)從集合Rn中的一個概率分布抽取變量x，其概率密度函數(shù)與某一個函數(shù)f(x)呈正比。這個思想可以通過引入一個輔助變量y同時定義一個x、y的聯(lián)合分布函數(shù)來實現(xiàn)，其中y在函數(shù)f(x)曲線下的區(qū)域為U={(x,y):0

(7)

式中，Z=∫f(x)dx。x的邊緣概率密度函數(shù)為

(8)

要對x采樣只需對(x，y)的聯(lián)合分布采樣后再消去y即可實現(xiàn)。然而想要從U均勻地產(chǎn)生相互獨立的樣本點是比較困難的，因此需要定義一個收斂于這個均勻分布的馬爾科夫鏈。本文產(chǎn)生樣本點的可行性方法是用Gibbs采樣法：首先給定x對y的條件分布(在區(qū)間(0,f(x))上的均勻分布)，并給定y對x的條件分布(在區(qū)域S={x:y

2.1 切片生成

由于切片S是由輔助變量y來定義的，因此首先確定y的值，并在馬爾科夫鏈的每次迭代過程中都要對輔助變量y進行更新。在實際計算中，為了避免浮點下溢，應該通過計算g(x)=log(f(x))來間接達到計算f(x)的目的。因此輔助變量可表示為

Z=g(x0)-e

(9)

式中，e為期望是1的指數(shù)分布。切片S可以表示為

S={x:Z

(10)

2.2 區(qū)間確定

在確定區(qū)間I時所要遵循的原則是：保證I覆蓋切片S的大部分區(qū)間，以便抽取出新的采樣點與當前采樣點相比有較大差別。同時，為了防止采樣效率的降低，I的范圍不能大于切片S。對于區(qū)間I的選取，最簡單的方法是將切片S的范圍設(shè)定成最小區(qū)間，換句話說就是定義區(qū)間I的左邊界L和右邊界R滿足

(11)

式中，inf為上確界；sup為下確界。然而在實際應用中，這種方法卻很難實現(xiàn)，其根本原因在于并不是所有的方程y=f(x)都能夠通過數(shù)值解法得到答案。在大多數(shù)情況下，切片S是由多個不相交的區(qū)間構(gòu)成的，而這些不相交的區(qū)間很難用這種方法確定下來。

針對這種情況，文獻[14]提出了Stepping-out算法，該算法適用于任何連續(xù)分布函數(shù)并且可以彌補上述方法的缺陷。如圖1所示，根據(jù)初始值x0，定義w為切片標準估計寬度、m為限定切片寬度極限的整數(shù)(切片寬度極限為mw)、y為限定切片區(qū)間的水平線。分別從滿足區(qū)間為(0,1)的均勻分布中抽取隨機數(shù)U和V，同時對區(qū)間I的邊界L和R進行如下迭代計算：

1)輸入邊界迭代初值L=x0-wU、 R=L+w， 同時初始化迭代變量j=floor(mV)、 k=(m-1)-j， 其中floor(·)表示向下取整計算。

2)判斷j>0和y

3)判斷k>0和y

圖1 Stepping-out算法示意圖Fig.1 Stepping-out algorithm

2.3 樣本采樣

當區(qū)間I被確定后，則需用Shrinkage算法[14]來尋找下一個采樣點x1。

如圖2所示，Shrinkage算法的核心思想是：如果尋找到的下一個采樣點x1在區(qū)間I所包含的切片上則保留；否則以該點作為區(qū)間I的一個邊界，然后在更新后的區(qū)間I上繼續(xù)尋找采樣點x1直到其落在區(qū)間I所包含的切片上為止。樣本采樣流程如下：

2)從滿足區(qū)間為(0,1)的均勻分布中抽取隨機數(shù)U。

圖2 Shrinkage算法示意圖Fig.2 Shrinkage algorithm

3 基于切片采樣的風電并網(wǎng)系統(tǒng)概率潮流計算流程

將本文提出的基于切片采樣算法的改進MCMC方法應用于風電并網(wǎng)系統(tǒng)概率潮流計算當中。計算流程如下：

1)建立風電場概率模型。文獻[17]已經(jīng)驗證一維二分量加權(quán)高斯混合模型可以比較準確模擬出單個風電場有功出力的概率分布。因此，用一維二分量加權(quán)高斯混合模型表示風電場有功出力的概率分布為

(12)

Qwind=Pwind·tanφ

(13)

由式(13)即可求出風電場無功功率的馬爾科夫鏈Qwind，并由此構(gòu)建出概率潮流計算所需的各種輸入隨機變量的樣本空間。

3)概率潮流計算。假設(shè)風電場并網(wǎng)節(jié)點為PQ節(jié)點，把樣本空間[Pwind，Qwind，Pload，Qload]中各組樣本值依次代入牛頓拉夫遜潮流計算式中求出各節(jié)點和支路的潮流樣本。

4)并網(wǎng)系統(tǒng)概率評估。利用概率統(tǒng)計方法得出所需輸出變量的隨機特性和概率統(tǒng)計指標。

4 算例分析

本文以IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)為算例，比較Gibbs采樣算法和切片采樣算法。概率潮流計算基于Matlab的Matpower 5.0b1電力系統(tǒng)計算工具包。在IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)的30節(jié)點和37節(jié)點分別接入風電場來替換節(jié)點原有的常規(guī)發(fā)電機組。風電場出力的歷史數(shù)據(jù)來源于德國某電力公司控制區(qū)域內(nèi)風電場15 min級平均功率序列[21]。服從正態(tài)分布的節(jié)點功率隨機變量參數(shù)見表1。

表1 概率負荷的參數(shù)

Tab.1 Parameters of probabilistic load

節(jié)點有功功率無功功率均值(pu)標準差(%)均值(pu)標準差(%)33.225.40.025.4181.587.20.307.2252.244.60.474.3261.396.70.176.73911.041.12.501.2

4.1 算法的收斂速度比較

根據(jù)MCMC理論，在經(jīng)過N次采樣迭代后舍去前M次采樣值(也稱為“退火”)得到的馬爾科夫鏈收斂于平穩(wěn)分布。目前有很多可以驗證MCMC算法是否收斂的方法。本文所用MCMC收斂性判定方法為Gelman-Rubin(G-R)診斷方法[22，23]，即

(14)

應用本文所提方法對含有風電場概率模型的IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)進行概率潮流計算。切片采樣和Gibbs采樣分別對每個風電場出力分布和負荷功率分布進行5 000次采樣，前2 000次用于“退火”。圖3給出了概率潮流計算后3號節(jié)點電壓幅值V和相角θ馬爾科夫鏈的G-R收斂性診斷比較結(jié)果。其中每個輸出隨機變量均由5條相互獨立的馬爾科夫鏈組成。由圖3可以得出，切片采樣法僅經(jīng)過1 400次采樣(“退火”后)就可達到收斂，而Gibbs采樣法卻要進行2 600次采樣(“退火”后)才能收斂?？梢姡衅蓸臃ǖ氖諗克俣纫煊贕ibbs采樣法。

圖3 兩種采樣方法的Gelman-Rubin診斷比較Fig.3 Comparison of Gelman-Rubin diagnostics for the two sampling methods

4.2 算法的穩(wěn)定性比較

以3號節(jié)點電壓幅值V為例對切片采樣算法和Gibbs采樣算法的穩(wěn)定性進行比較。圖4和圖5分別為兩種采樣算法經(jīng)過5次獨立計算得出的電壓幅值期望E[fV(x)]的收斂曲線。

圖4 切片采樣生成的E[fV(x)]的收斂曲線Fig.4 Convergence plot of E[fV(x)] by slice sampling

圖5 Gibbs采樣生成的E[fV(x)]的收斂曲線Fig.5 Convergence plot of E[fV(x)] by Gibbs sampling

由圖4和圖5可以看出：在每條鏈收斂之前，切片采樣算法得出的5條馬爾科夫鏈的期望收斂曲線彼此差距較小，而Gibbs采樣算法得出的期望收斂曲線波動范圍比較大；在所有鏈收斂之后，切片采樣法得出的每條馬爾科夫鏈期望的最終收斂值非常接近，而Gibbs采樣算法得出的每條鏈的最終收斂值彼此相差比較大。由此可知，切片采樣算法在整個采樣過程中的穩(wěn)定性都強于Gibbs采樣算法。

4.3 算法的準確度比較

為了量化分析兩種采樣算法的計算準確度，假設(shè)采用Gibbs采樣算法進行105 000次迭代計算，前5 000次用于“退火”，后100 000次采樣結(jié)果作為精確值，計算出的節(jié)點電壓V(相角θ)期望和標準差分別用μV(θ),accurate和σV(θ),accurate表示。同樣地，用μV(θ),simulated和σV(θ),simulated表示“退火”后在采樣3 000次的情況下輸出的隨機變量的期望和方差。輸出隨機變量的準確度可以用其期望值和標準差的相對誤差來衡量[24]。

(15)

(16)

表2給出了兩種采樣方法分別計算得出的節(jié)點電壓幅值和相角的期望和標準差的相對誤差平均值。從表2可知，在采樣3 000次的情況下，切片采樣算法計算出的各相對誤差平均值遠小于Gibbs采樣算法得出的各相對誤差平均值，由此說明了本文所提方法的精確性。

表2 輸出隨機變量的誤差均值比較

Tab.2 Average error comparisons of output random variables

算法εV,μ(%)εV,σ(%)εθ,μ(%)εθ,σ(%)Gibbs最大值0.0476.2182.0675.877均值0.0092.3491.1023.681切片采樣最大值2.7×10-43.9580.0363.375均值2.3×10-41.9140.0111.962

5 結(jié)論

本文提出了一種基于切片采樣算法的改進MCMC方法，并用于風力發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)概率潮流計算中。與傳統(tǒng)MCMC方法相比，引入輔助變量的切片采樣方法能夠顯著提高MCMC方法的計算準確度。同時，在與Gibbs算法采樣迭代次數(shù)相同的情況下，切片采樣算法所生成的馬爾科夫鏈可以更快、更穩(wěn)定地收斂于平穩(wěn)分布。通過對含有風電場概率模型的IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)進行仿真，驗證了本文提出方法的精確性和有效性。

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Probabilistic Load Flow Calculation Based on Slice Sampling for Wind Farms Integration System

Zhang Xiaoying1Wang Kun1Zhang Labao2

(1.College of Electrical and Information Engineering Lanzhou University of Technology Lanzhou 730050 China 2.School of Electronic Science and Engineering Nanjing University Nanjing 210093 China)

Gibbs sampling algorithm that is widely used in Markov Chain Monte Carlo (MCMC) simulation method suffers from complicated sampling iterations when accurate results from probabilistic load flow is required.According to the defect，an improved MCMC method based on Slice sampling is proposed in this paper and is integrated into probabilistic load flow algorithm for wind farms integration system.The probabilistic model of wind farm outputs is firstly constructed by weighted Gaussian mixture distribution (WGMD).Then，the sample space of wind farm outputs is obtained by Slice sampling from the WGMD of wind farm outputs.Finally，the samples from the sample space of wind farm outputs are calculated by load flow and the results of these two sampling methods are compared in IEEE 39-bus system.It is shown that the proposed method can distinctly improve the calculation accuracy of MCMC method.Additionally，the Markov Chain generated by Slice sampling can reach a stationary distribution more quickly and stably than Gibbs sampling with the same iterations.

Wind farms integration，probabilistic load flow，slice sampling，Gibbs sampling，Markov Chain Monte Carlo simulation method

國家自然科學基金資助項目(51267012)。

2015-07-10 改稿日期2015-12-08

TM712

張曉英 女，1973年生，碩士，副教授，研究方向為電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性。

E-mail：245659219@qq.com(通信作者)

王 琨 男，1988年生，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)分析與穩(wěn)定控制。

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