左曙光 吳雙龍 吳旭東 沈 健 林 福

(同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心 上海 201804)

軸向磁通永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩解析模型和轉(zhuǎn)矩優(yōu)化

左曙光 吳雙龍 吳旭東 沈 健 林 福

(同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心 上海 201804)

軸向磁通永磁同步電機(jī)的電磁場呈三維分布，其轉(zhuǎn)矩的精確建模和優(yōu)化通常需要采用三維有限元方法，但這非常耗時。提出一種轉(zhuǎn)矩解析計算模型，并基于該模型對軸向磁通永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩展開優(yōu)化。首先，通過磁通密度比磁導(dǎo)法建立了軸向磁通永磁同步電機(jī)氣隙磁場解析模型。然后基于麥克斯韋張量理論推導(dǎo)得到電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型，并通過有限元法驗證了該模型的準(zhǔn)確性。該模型不僅指出了產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的判據(jù)，還明晰了轉(zhuǎn)矩波動各階成分與氣隙磁通密度諧波之間的關(guān)系。最后利用該解析模型，采用徑向變極弧系數(shù)法對一臺單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁通永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩展開優(yōu)化，結(jié)果表明徑向變極弧系數(shù)法可有效削弱軸向磁通永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩波動，而基于解析模型的優(yōu)化則具有非常高的效率。

軸向磁通永磁同步電機(jī) 轉(zhuǎn)矩 解析模型 轉(zhuǎn)矩優(yōu)化

0 引言

相較于傳統(tǒng)的徑向磁通電機(jī)，軸向磁通永磁同步電機(jī)具有更大的轉(zhuǎn)矩和功率密度、更高的效率以及更適合狹小空間安裝的小長徑比結(jié)構(gòu)，從而在分布式驅(qū)動電動車和風(fēng)力發(fā)電機(jī)等領(lǐng)域得到了廣泛運用[1，2]。然而與徑向磁通永磁電機(jī)類似，軸向磁通永磁電機(jī)在工作過程中同樣存在轉(zhuǎn)矩波動問題，轉(zhuǎn)矩波動的存在將引起傳動系統(tǒng)的扭振，對電機(jī)本體的控制及轉(zhuǎn)矩輸出質(zhì)量造成不利影響，因此有必要對其轉(zhuǎn)矩特性進(jìn)行分析和優(yōu)化[3]。

目前國內(nèi)外對電機(jī)轉(zhuǎn)矩的研究方法主要有解析法和有限元法兩種，由于軸向磁通電機(jī)的電磁場呈三維分布，目前對其轉(zhuǎn)矩的分析和優(yōu)化大多采用三維有限元法。有限元法雖然能夠準(zhǔn)確計算轉(zhuǎn)矩的幅值與頻率，但難以對轉(zhuǎn)矩特性及其影響因素進(jìn)行規(guī)律性的探討，且計算耗時長，不利于對轉(zhuǎn)矩進(jìn)行優(yōu)化。相反，準(zhǔn)確的解析模型不僅可以快速準(zhǔn)確地計算轉(zhuǎn)矩值，而且還能直觀地分析轉(zhuǎn)矩特性、轉(zhuǎn)矩成分來源以及主要影響因素，從而有利于電機(jī)的初始設(shè)計和優(yōu)化。

目前國內(nèi)外在電機(jī)轉(zhuǎn)矩解析建模方面已有一定的研究。文獻(xiàn)[4，5]采用能量法分別建立了表貼式和內(nèi)置式徑向永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。文獻(xiàn)[6]同樣采用能量法建立了永磁無刷直流電機(jī)磁阻轉(zhuǎn)矩的解析模型，能量法相比有限元法雖然可以快速計算轉(zhuǎn)矩值，但該方法計算過程復(fù)雜且準(zhǔn)確度較低，一般用于齒槽轉(zhuǎn)矩的分析。文獻(xiàn)[7]利用功率法對表貼式徑向磁通永磁同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行解析計算，但功率法由于部分參數(shù)(如電感等)較難獲取精確值，其轉(zhuǎn)矩幅值計算準(zhǔn)確度較低，一般只用于電磁轉(zhuǎn)矩特性的定性分析。綜上所述，無論是能量法還是功率法均不能同時考慮電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩，而且存在計算準(zhǔn)確度不高和表達(dá)不直觀等問題，因此有必要建立一種能將電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩統(tǒng)一起來、計算簡便準(zhǔn)確且能直觀反映轉(zhuǎn)矩幅值和頻率特性的轉(zhuǎn)矩解析模型，為后續(xù)的轉(zhuǎn)矩優(yōu)化做準(zhǔn)備。

轉(zhuǎn)矩優(yōu)化方面，由于齒槽轉(zhuǎn)矩與電磁轉(zhuǎn)矩波動是表貼式軸向磁通永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動的兩大來源，前者主要由永磁體磁場和定子槽相互作用產(chǎn)生，后者主要由定子磁動勢諧波和永磁體磁場相互作用產(chǎn)生[8]，所以轉(zhuǎn)矩優(yōu)化也主要從這兩方面入手，目前已有大量文獻(xiàn)對其展開研究。關(guān)于齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱，主要有斜極法[9，10]、開輔助槽[11]、永磁體周向不等極弧系數(shù)法[12]、永磁體/槽周向移位[10，13]、永磁體輪廓設(shè)計[14]等方法；電磁轉(zhuǎn)矩波動削弱方面，文獻(xiàn)[15，16]分別采用田口法和轉(zhuǎn)子移位的方法對軸向磁通永磁電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行優(yōu)化。綜合上述文獻(xiàn)可知，目前對軸向磁通永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩優(yōu)化主要采用三維有限元法，由于三維有限元法一般只能在給定的離散解集內(nèi)尋優(yōu)，因此很難找到最優(yōu)值，而且非常耗時，這將不利于電機(jī)的初始設(shè)計和優(yōu)化。

在氣隙磁場解析推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，基于麥克斯韋張量理論對軸向磁通永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行解析建模，得到了更加直觀、簡便和通用的轉(zhuǎn)矩解析模型，并通過有限元法驗證了該解析模型的準(zhǔn)確性。該模型不僅指出了電機(jī)產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的機(jī)理，還可以用來分析齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的幅值與頻率特性，明晰了轉(zhuǎn)矩波動各階成分與氣隙磁通密度各諧波乃至電機(jī)參數(shù)之間的關(guān)系，最后利用該解析模型，采用徑向變極弧系數(shù)法對一臺單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁通永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩展開優(yōu)化。結(jié)果表明徑向變極弧系數(shù)法可有效削弱軸向磁通永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩波動，而基于解析模型的優(yōu)化則具有非常高的效率。

1 氣隙磁場解析推導(dǎo)

1.1 永磁體磁場

表貼式軸向磁通永磁同步電機(jī)的永磁體軸向磁通密度常假設(shè)成矩形波，不考慮開槽時的永磁體軸向和切向磁場為[17]

(1)

(2)

氣隙磁通密度各階幅值的表達(dá)式分別為

(3)

(4)

上述表達(dá)式中的Mε與Δ可由以下表達(dá)式獲得

(5)

(6)

式中，ε為永磁體氣隙磁通密度的空間階數(shù)；θ為空間角度，rad；ωr為電機(jī)轉(zhuǎn)動圓頻率，rad/s；t為時間，s；μr為永磁體的相對回復(fù)磁導(dǎo)率；hm為永磁體軸向厚度，m；R為求解半徑，m；L為定、轉(zhuǎn)子內(nèi)端面間的軸向距離，m；y為軸向求解位置與轉(zhuǎn)子內(nèi)端面的軸向距離，m；δ為氣隙長度，m；Br為永磁體剩磁，T；p為永磁體極對數(shù)；αp為永磁體極弧系數(shù)。

1.2 電樞反應(yīng)磁場

軸向磁通永磁同步電機(jī)的定子繞組一般采用分?jǐn)?shù)槽集中繞組，在忽略變頻器產(chǎn)生的時間諧波電流時，相電流常假設(shè)為正弦波，如下所示。

(7)

式中，ωf為電流圓頻率；rad/s；f為電流基頻，Hz；I為 電流有效值，A；φ為電流初始相位角，rad。

繞組每相電流產(chǎn)生的電樞反應(yīng)磁場為[18]

(8)

三相繞組正弦波供電后，產(chǎn)生的合成磁場為旋轉(zhuǎn)磁場，其軸向和切向分量為

(9)

(10)

式中，ν為電樞反應(yīng)磁場的空間階數(shù)，對于單元電機(jī)極槽數(shù)相差1的分?jǐn)?shù)槽電機(jī)的電樞反應(yīng)磁場，sf與ν滿足以下關(guān)系

(11)

軸向和切向磁通密度的各階幅值為

(12)

(13)

式中，T為分?jǐn)?shù)槽集中繞組電機(jī)的單元電機(jī)數(shù)；Nc為每相每槽線圈匝數(shù)；y1為等效氣隙長度，y1=hm/μr+δ， m；kdν為繞組分布因數(shù)；kpν為繞組短距因數(shù)。

(14)

(15)

式中,Qs為定子槽數(shù)；b0為槽口寬度，m。

1.3 氣隙比磁導(dǎo)

定子開槽將引起氣隙磁場發(fā)生畸變，產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，從而增加電機(jī)的轉(zhuǎn)矩波動。定子開槽的影響可通過比磁導(dǎo)進(jìn)行考慮，氣隙比磁導(dǎo)解析表達(dá)式為

(16)

式中，k為齒槽諧波階數(shù)；θsa為定子初始角度，rad；Λk為比磁導(dǎo)每階諧波的幅值，可由文獻(xiàn)[19]獲得。

1.4 氣隙磁場

在忽略飽和的情況下，電機(jī)氣隙磁場可通過將永磁體磁場與電樞反應(yīng)磁場線性疊加后再與氣隙比磁導(dǎo)相乘獲得，其軸向和切向分量為

Bz=[Bzm(θ,t)+Bza(θ,t)]λ(θ)

(17)

Bτ=[Bτm(θ,t)+Bτa(θ,t)]λ(θ)

(18)

2 轉(zhuǎn)矩解析模型

2.1 電磁轉(zhuǎn)矩

根據(jù)麥克斯韋張量理論，將考慮開槽時的永磁體磁場與電樞反應(yīng)磁場的軸向與切向分量分別疊加后代入麥克斯韋張量方程，再沿電機(jī)圓周方向與徑向雙重積分即可得到電磁轉(zhuǎn)矩。

[Bτm(θ,t)+Bτa(θ,t)]dθdr

Bza(θ,t)Bτa(θ,t)+Bzm(θ,t)Bτa(θ,t)+

Bza(θ,t)Bτm(θ,t)]dθdr

=T1+T2+T3+T4

(19)

由式(19)可知電磁轉(zhuǎn)矩由四部分組成，分別以T1、T2、T3、T4表示，依次代表：①永磁體磁場軸向分量與切向分量相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩；②電樞反應(yīng)磁場軸向分量與切向分量相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩；③永磁體磁場軸向分量與電樞反應(yīng)磁場切向分量相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩；④永磁體磁場切向分量與電樞反應(yīng)磁場軸向分量相互作用產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩。根據(jù)三角函數(shù)正交多項式，對這四項分別展開推導(dǎo)，最終結(jié)果為

T1=0

(20)

T2=0

(21)

(22)

(23)

式(20)和式(21)說明定子或轉(zhuǎn)子是無法單獨產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩的，電磁轉(zhuǎn)矩是由永磁體磁場的軸向、切向分量分別與電樞反應(yīng)磁場的切向、軸向分量作用產(chǎn)生，最終的電磁轉(zhuǎn)矩解析模型為

Tele=T1+T2+T3+T4

(24)

由式(24)可知，電磁轉(zhuǎn)矩由一系列余弦分量疊加而成，每階轉(zhuǎn)矩成分的幅值、頻率都可以直觀地從表達(dá)式中獲取，同時該解析模型也給出了產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩的判據(jù)：只有當(dāng)永磁體磁場階數(shù)與電樞反應(yīng)磁場階數(shù)相等時，才會產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，即

ε=ν

(25)

當(dāng)永磁體磁場空間階數(shù)ε與電樞反應(yīng)磁場空間階數(shù)ν相等時，兩者相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，其頻率為ε/p+sf， 將氣隙磁通密度諧波與電磁轉(zhuǎn)矩成分之間的關(guān)系歸納在表1中。

表1 電磁轉(zhuǎn)矩特性和來源

Tab.1 Characteristics and source of electromagnetic torque

判據(jù)永磁體磁場階數(shù)ε電樞反應(yīng)磁場階數(shù)ν轉(zhuǎn)矩頻率/Hz轉(zhuǎn)矩幅值/(N·m)pT05p5T6fε=ν7p7Tπ3μ0(BzεBτν+BτεBzν)·(R3o-R3i)11p11T12f13p13T………

由表1可知，正弦波供電時電磁轉(zhuǎn)矩頻率為電流頻率的6k(k=0，1，2，…)倍，并且是由永磁體磁場與電樞反應(yīng)磁場的(6k±1)p階磁通密度相互作用產(chǎn)生。

2.2 齒槽轉(zhuǎn)矩

根據(jù)麥克斯韋張量理論，將空載時永磁體磁場的徑向和切向分量經(jīng)氣隙比磁導(dǎo)修正后沿電機(jī)圓周方向和徑向雙重積分即可得到齒槽轉(zhuǎn)矩，具體為

sin[(ε2±ε1)ωrt]

(26)

由式(26)可知，齒槽轉(zhuǎn)矩是由一系列正弦分量疊加而成，每階轉(zhuǎn)矩成分的幅值、頻率也都可以直觀地從表達(dá)式中獲取，同時該解析模型也給出了產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩的判據(jù)：只有當(dāng)永磁體階數(shù)與齒槽諧波階數(shù)滿足以下關(guān)系時，才會產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，即

ε1±ε2=(k1±k2)Qs

(27)

對齒槽轉(zhuǎn)矩頻率特性作進(jìn)一步分析

(28)

由式(28)可知ε1±ε2=(k1±k2)Qs=2C1p=C2Qs， 故ε1±ε2=const.×LCM(2p,Qs)， 其中const.表示任意整數(shù)倍，C1和C2取任意整數(shù)。因此，齒槽轉(zhuǎn)矩頻率滿足const.×LCM(2p,Qs)×f/p， 即為電機(jī)轉(zhuǎn)頻與極槽最小公倍數(shù)乘積的整數(shù)倍。將氣隙磁通密度諧波與齒槽轉(zhuǎn)矩各階成分之間的關(guān)系歸納在表2中。

表2 齒槽轉(zhuǎn)矩特性和來源

Tab.2 Characteristics and source of cogging torque

判據(jù)永磁體階數(shù)ε1永磁體階數(shù)ε2磁導(dǎo)諧波k1磁導(dǎo)諧波k2轉(zhuǎn)矩頻率/Hz轉(zhuǎn)矩幅值/(N·m)5p02p117p02113p026f3p119p0211…………04ε1±ε2=(k1±k2)Qs11p22π12μ0(Bzε1Bzε2Λk1Λk2)·(R3o-R3i)p130413p221312f043p9p2213045p7p2213……………

由于齒槽諧波為任意整數(shù)階，因此齒槽轉(zhuǎn)矩的來源也更為豐富，并且不同于電磁轉(zhuǎn)矩，永磁體磁場的各階成分對齒槽轉(zhuǎn)矩均有貢獻(xiàn)。

3 有限元驗證

為了驗證上述解析模型的準(zhǔn)確性，在有限元中建立了16極24槽單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁通永磁同步電機(jī)的模型，電機(jī)具體參數(shù)見表3[20]。

表3 電機(jī)主要參數(shù)

Tab.3 Main parameters of motor

參數(shù)取值參數(shù)取值永磁體極對數(shù)p8電機(jī)長度d/mm97定子槽數(shù)Qs24槽口寬度b0/mm8氣隙長度δ/mm2線圈匝數(shù)Nc148永磁體厚度hm/mm7.5最大相電流Im/A72.4永磁體外徑Ro/mm89平均轉(zhuǎn)矩Tave/(N·m)52永磁體內(nèi)徑Ri/mm55.7電機(jī)重量M/kg10.5轉(zhuǎn)子厚度hr/mm15額定功率P/kW5極弧系數(shù)αp0.6效率η(%)76永磁體剩磁Br/T1.1電流頻率f/Hz100

根據(jù)單元電機(jī)理論，16極24槽電機(jī)可以看成是由8個2極3槽的單元電機(jī)組成。故只需要建立電機(jī)的1/8模型對解析模型進(jìn)行驗證，電機(jī)有限元模型如圖1所示。

圖1 軸向磁通永磁同步電機(jī)三維有限元模型Fig.1 3-D finite element model of AFPMSM

圖2和圖3分別為電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的解析結(jié)果與有限元結(jié)果的對比。由對比結(jié)果可知，解析結(jié)果與有限元結(jié)果比較吻合，證明了該轉(zhuǎn)矩解析模型的準(zhǔn)確性。

圖2 電磁轉(zhuǎn)矩有限元驗證Fig.2 Electromagnetic torque validation by FEM

圖3 齒槽轉(zhuǎn)矩有限元驗證Fig.3 Cogging torque validation by FEM

4 轉(zhuǎn)矩優(yōu)化

4.1 解析方法

由于永磁體極弧系數(shù)的取值會影響電磁轉(zhuǎn)矩波動和齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值及相位，故針對軸向磁通電機(jī)的特點，可以將其永磁體沿徑向采用不同的極弧系數(shù)，使不同半徑處產(chǎn)生反相位的轉(zhuǎn)矩波動，從而達(dá)到削弱轉(zhuǎn)矩波動的目的。

為了建立永磁體徑向變極弧系數(shù)后電機(jī)轉(zhuǎn)矩的解析模型，可以將永磁體沿徑向進(jìn)行分段，每段取不同的極弧系數(shù)，如圖4所示。分段后的電機(jī)轉(zhuǎn)矩則可以看成是每段永磁體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩之和。

圖4 徑向變極弧系數(shù)的永磁體Fig.4 Permanent magnet with triangular skew

由式(24)和式(26)可得考慮永磁體徑向變極弧系數(shù)后的電磁轉(zhuǎn)矩與齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型為

(29)

式中，Bzε(j)、Bτε(j)分別為第j段極弧系數(shù)為αp(j)的永磁體的軸向與切向磁通密度幅值，可由式(3)和式(4)得到。極弧系數(shù)沿電機(jī)徑向連續(xù)線性變化時，任意半徑處的極弧系數(shù)αp(j)取值與內(nèi)、外半徑處的極弧系數(shù)αi與αo以及段數(shù)N之間應(yīng)近似滿足如下關(guān)系

(30)

式中，R(j)為第j段永磁體的平均半徑。

在優(yōu)化時控制優(yōu)化前后永磁體用量相同，即在永磁體厚度不變時永磁體端面面積相等，優(yōu)化前永磁體為扇形，其端面面積為

(31)

而優(yōu)化后的永磁體端面面積則可通過沿徑向積分獲得

(32)

由S*=S， 可得永磁體內(nèi)、外半徑處的極弧系數(shù)αi與αo需滿足條件

(33)

優(yōu)化時永磁體沿徑向分段數(shù)N越多，越能真實地反映連續(xù)變化的輪廓，但同時優(yōu)化迭代時間也越長。圖5為不同分段數(shù)N下的電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩。從圖5中可以看出，當(dāng)分段數(shù)為3或4時優(yōu)化結(jié)果基本相同，再增加分段數(shù)并不會提高優(yōu)化效果，相反只會增加迭代時間和加工制造成本，從優(yōu)化效果的角度出發(fā)最終選取分段數(shù)為4進(jìn)行優(yōu)化。

當(dāng)永磁體沿徑向分成4段時，由式(29)、式(30)和式(33)可得電機(jī)轉(zhuǎn)矩相對值隨永磁體內(nèi)徑處極弧系數(shù)變化的曲線如圖6所示。

由圖6可知，當(dāng)永磁體極弧系數(shù)沿電機(jī)徑向線性變化并控制優(yōu)化前后永磁體用量不變時，電機(jī)的平均轉(zhuǎn)矩基本保持不變，但轉(zhuǎn)矩波動得到大幅削弱，且內(nèi)、外半徑處的極弧系數(shù)差別越大，轉(zhuǎn)矩波動削弱效果越明顯。在內(nèi)半徑處極弧系數(shù)取αi=0.25時能夠很好地削弱電磁轉(zhuǎn)矩波動與齒槽轉(zhuǎn)矩。

圖5 永磁體不同分段數(shù)下的轉(zhuǎn)矩優(yōu)化效果Fig.5 Torque optimization result for different N

圖6 不同αi所對應(yīng)的轉(zhuǎn)矩相對值Fig.6 Torque relative value at different αi

4.2 有限元驗證

為了驗證上述解析優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性，對前面的虛擬樣機(jī)的永磁體進(jìn)行修改，使其內(nèi)半徑處的極弧系數(shù)變?yōu)棣羒=0.25，則由式(33)可得外半徑處的極弧系數(shù)變?yōu)棣羙=0.9。修改后的轉(zhuǎn)子有限元模型如圖7所示。

圖7 優(yōu)化后的轉(zhuǎn)子模型Fig.7 3-D finite element model of the optimized rotor

優(yōu)化前后電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的解析結(jié)果和有限元結(jié)果如圖8所示，從圖中可看出有限元與解析結(jié)果吻合較好，證明了解析優(yōu)化方法的準(zhǔn)確性。圖8也表明優(yōu)化后轉(zhuǎn)矩的平均值只是略有下降，從優(yōu)化前的57.71 N·m降為56.80 N·m，下降了1.58%，而電磁轉(zhuǎn)矩波動與齒槽轉(zhuǎn)矩均得到了大幅度的削弱，其中電磁轉(zhuǎn)矩波動的幅值由4.71 N·m下降至1.22 N·m，下降了74.10%；而齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值也由3.13 N·m下降到0.78 N·m，下降了75.08%。

圖8 優(yōu)化前后轉(zhuǎn)矩對比Fig.8 Torque contrast before and after optimization

5 結(jié)論

在氣隙磁場解析推導(dǎo)的基礎(chǔ)上基于麥克斯韋張量理論建立了軸向磁通永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩解析模型，并通過有限元法驗證了該模型的準(zhǔn)確性。該模型給出了產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的判據(jù)：只有當(dāng)永磁體磁場階數(shù)ε與電樞反應(yīng)磁場階數(shù)ν相等即ε=ν時，才會產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩，且其頻率為電流頻率的6k倍；只有當(dāng)永磁體階數(shù)與齒槽諧波階數(shù)滿足ε1±ε2=(k1±k2)Qs時，才會產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，且其頻率滿足const.×LCM(2p,Qs)×f/p。 然后利用該解析模型，采用徑向變極弧系數(shù)法對一臺單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁通永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩展開優(yōu)化，優(yōu)化后轉(zhuǎn)矩的平均值只是從優(yōu)化前的57.71 N·m降為56.80 N·m，幾乎沒有下降，而電磁轉(zhuǎn)矩波動的幅值則由4.71 N·m下降至1.22 N·m，下降了74.10%，齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值也由3.13 N·m下降至0.78 N·m，下降了75.08%。這些結(jié)果表明徑向變極弧系數(shù)法可以在不影響軸向磁通永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩輸出性能的前提下有效削弱其轉(zhuǎn)矩波動。此外解析優(yōu)化方法可以在給定的約束條件下快速尋找最優(yōu)解，具有非常高的效率，相比之下三維有限元法只能在給定的離散解集內(nèi)尋優(yōu)，而且非常耗時，因此基于解析模型的優(yōu)化方法非常適合在電機(jī)的初始設(shè)計階段使用。

[1] 宮曉，徐衍亮，馮開杰.新型盤式橫向磁通永磁電機(jī)及其空載電動勢波形的解析計算[J].電工技術(shù)學(xué)報，2014，29(7)：77-82. Gong Xiao，Xu Yanliang，F(xiàn)eng Kaijie.A novel disc transverse-flux permanent magnet machine and analytical expression of its no-load EMF waveform[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(7)：77-82.

[2] 王允凱，周濤.基于等效磁路法的軸向永磁電機(jī)效率優(yōu)化設(shè)計[J].電工技術(shù)學(xué)報，2015，30(2)：73-79. Wang Yunkai，Zhou Tao.Efficiency optimization design of axial flux permanent magnet machines using magnetic equivalent circuit[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2015，30(2)：73-79.

[3] 沈健.軸向磁通永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩特性分析與轉(zhuǎn)矩優(yōu)化[D].上海：同濟(jì)大學(xué)，2015.

[4] Wang Xiuhe，Yang Yubo，F(xiàn)u Dajin.Study of cogging torque in surface-mounted permanent magnet motors with energy method[J].Journal of Magnetism and Magnetic Material，2003，267(11)：80-85.

[5] 王秀和，楊玉波，丁婷婷，等.基于極弧系數(shù)選擇的實心轉(zhuǎn)子永磁同步電動機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩削弱方法研究[J].中國電機(jī)工程學(xué)報，2005，25(15)：146-149. Wang Xiuhe，Yang Yubo，Ding Tingting，et al.The method for reducing cogging torque by suitable selection of pole-arc coefficient in solid-rotor PM synchronous motors[J].Proceedings of the CSEE，2005，25(15)：146-149.

[6] 王興華，勵慶孚，王署鴻.永磁無刷直流電機(jī)磁阻轉(zhuǎn)矩的解析計算方法[J].中國電機(jī)工程學(xué)報，2002，22(10)：104-108. Wang Xinghua，Li Qingfu，Wang Shuhong.Analytical calculation of cogging torque in brushless DC motor[J].Proceedings of the CSEE，2002，22(10)：104-108.

[7] 馬琮淦，左曙光，何呂昌，等.分布式驅(qū)動用永磁同步電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩的解析計算[J].振動與沖擊，2013，32(6)：38-42. Ma Conggan，Zuo Shuguang，He Lüchang，et al.Analytical calculation of electromagnetic torque in permanent magnet synchronous machine in distributed drive[J].Journal of Vibration and Shock，2013，32(6)：38-42.

[8] Aydin M，Gulec M.Reduction of cogging torque in double-rotor axial-flux permanent-magnet disk motors：A review of cost-effective magnet-skewing techniques with experimental verification[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61(9)：5025-5034.

[9] Caricchi F，Giulii F，Crescimbini F，et al.Experimental study on reducing cogging torque and no-load power loss in axial-flux permanent-magnet machines with slotted winding[J].IEEE Transactions on Industry Applications，2004，40(4)：1066-1075.

[10]Aydin M，Zhu Z Q，Lipo T，et al.Minimization of cogging torque in axial-flux permanent-magnet machines：Design concepts[J].IEEE Transactions on Magnetics，2007，43(9)：3614-3622.

[11]郝立，林明耀，徐妲，等.軸向磁場磁通切換型永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩抑制[J].電工技術(shù)學(xué)報，2015，30(2)：21-26. Hao Li，Lin Mingyao，Xu Da，et al.Cogging torque reduction in axial field flux-switching permanent magnet machines[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2015，30(2)：21-26.

[12]Aydin M，Qu R，Lipo T.Cogging torque minimization technique for multiple-rotor，axial-flux，surface-mounted-PM machines：Alternating magnet pole-arcs in facing rotors[C]//38th IAS Annual Meeting，Conference Record of the Industry Applications Conference，2003.

[13]Letelier A，González D，Tapia J，et al.Cogging torque reduction in an axial flux PM machine via stator slot displacement and skewing[J].IEEE Transactions on Industry Applications，2007，43(3)：685-693.

[14]González D，Tapia J，Letelier A.Design consideration to reduce cogging torque in axial flux permanent-magnet machines[J].IEEE Transactions on Magnetics，2007，43(8)：3435-3440.

[15]Hwang C，Li P，Chuang F，et al.Optimization for reduction of torque ripple in an axial flux permanent magnet machine[J].IEEE Transactions on Magnetics，2009，45(3)：1760-1763.

[16]Madhavan R，F(xiàn)ernandes B.A novel technique for minimizing torque ripple in axial flux segmented rotor SRM[C]//IEEE Energy Conversion Congress and Exposition，2011.

[17]Chan T F，Lai L L，Xie S.Field computation for an axial flux permanent-magnet synchronous generator[J].IEEE Transactions on Energy Conversion，2009，24(1)：1-11.

[18]Zhang Y J，Ho S L，Wong H C，et al.Analytical prediction of armature-reaction field in disc-type permanent magnet generators[J].IEEE Transactions on Energy Conversion，1999，14(4)：1385-1390.

[19]Zhu Z Q，Howe D.Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet DC motors，part III，effect of stator slotting[J].IEEE Transactions on Magnetics，1993，29(1)：143-151.

[20]Yang Y P，Luh Y P，Cheung C H.Design and control of axial-flux brushless DC wheel motors for electric vehicles-part I：multiobjective optimal design and analysis[J].IEEE Transactions on Magnetics，2004，40(4)：1873-1882.

Analytical Model and Optimization of Torque of an Axial Flux Permanent Magnet Synchronous Motor

Zuo Shuguang Wu Shuanglong Wu Xudong Shen Jian Lin Fu

(Clean Energy Automotive Engineering Center Tongji University Shanghai 201804 China)

Axial flux permanent magnet synchronous motors (AFPMSM) have an intrinsic 3-D electromagnetic structure.Its accurate modeling and optimization of torque usually require the use of 3-D finite element analysis (FEA)，which is highly time consuming.This paper presents a new torque analytical model and then it was used to optimize the torque of an AFPMSM.Firstly，the analytical model of magnetic field was established by using magnetic potential and relative permeance.Then，electromagnetic torque and cogging torque analytical models were derived based on Maxwell-tensor method.Finally，3-D FEA was presented for verifying the accuracy of the proposed model.The analytical model indicates the criterion to produce electromagnetic torque and cogging torque.It also clears the relationship between the order components of torque and the harmonic field.Based on the analytical model，the torque of a virtual AFPMSM with one stator and one rotor was optimized by triangular skew method.The result shows that the triangular skew method can greatly decrease the cogging torque and electromagnetic torque ripple，and the analytical method is really high efficient.

Axial flux permanent magnet synchronous machines，torque，analytical model，torque optimization

國家自然科學(xué)基金項目(51375343)和國家重大科學(xué)儀器開發(fā)專項(2012YQ150256)資助。

2015-06-23 改稿日期2015-09-18

TM341；TM351

左曙光 男，1968年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為汽車振動與噪聲控制。

E-mail：sgzuo@#edu.cn

吳旭東 男，1983年生，博士后，助理教授，研究方向為汽車振動與噪聲控制。

E-mail：wuxudong@#edu.cn (通信作者)