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云南省蒙自市蒙自一中新校區(qū)(661199)
一元函數(shù)不等式的證明方法
朱東海●
云南省蒙自市蒙自一中新校區(qū)(661199)
一元函數(shù)不等式的證明是高考中??嫉膯?wèn)題,處理的方法一般有以下幾種.
1.對(duì)于不等式兩邊的函數(shù)比較簡(jiǎn)單時(shí),可直接做差構(gòu)造函數(shù)
例1 (2015黑龍江省哈六中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文22題改編)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈R時(shí),求證f(x)≥-x2+x;
解 (1)∵f(x)=ex-x2+a,∴f′(x)=ex-2x
(2)設(shè)g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,則g′(x)=ex-1. 令g′(x)>0得x>0,令g′(x)<0得x<0,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;在(0,+∞)上單調(diào)遞增.從而g(x)min=g(0)=0,故f(x)≥-x2+x.
2.若不等式可以進(jìn)行等價(jià)變換,則變形(代換、比商等)后再作差構(gòu)造函數(shù)
令g(x)=ex-x-1,則g′(x)=ex-1.
∴當(dāng)x>0時(shí),g(x)在區(qū)間(-1,0)上是增函數(shù);
當(dāng)x<0時(shí),g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).
因此當(dāng)x=0時(shí)g(x)取得最小值,而g(0)=0,
故當(dāng)x>-1時(shí)g(x)≥0,也就是ex≥x+1.
3.對(duì)“隱零點(diǎn)”處理
例1和例2中的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是可以求出的,對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)其數(shù)值計(jì)算上的差異,我們可以分為兩類(lèi):一類(lèi)是數(shù)值上能精確求解的,我們不妨稱(chēng)為“顯零點(diǎn)”;另一類(lèi)是能判斷其存在但數(shù)值上無(wú)法精確求解的,我們不妨稱(chēng)為“隱零點(diǎn)”;對(duì)“隱零點(diǎn)”處理的基本方法為“虛設(shè)及代換”.
例3 (2015屆四川省德陽(yáng)市高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)理21題改編)已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,函數(shù)g(x)=ex,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于?x∈(0,+∞),求證:f(x) ①當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù). 綜上所述,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù). (2)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=lnx,令φ(x)=g(x)-f(x)-2,則φ(x)=ex-lnx-2, ∵當(dāng)x∈(0,t)時(shí),φ′(x)<0,φ(x)在(0,t)上為減函數(shù);當(dāng)x∈(t,+∞)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)在(t,+∞)上為增函數(shù), ∴φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2. ∴f(x) 對(duì)f(x)>g(x)型的不等式,若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最小值不易求出,則可考慮用f(x)min>g(x)max來(lái)證明f(x)>g(x)型的不等式,在證明之前,盡可能將不等式等價(jià)變形,使f(x)min和g(x)max容易求出. (1)若f(x)在(m,m+1)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍; 因此當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù); 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù); 所以x=1是f(x)的極大值點(diǎn). 而f(x)在(m,m+1)上存在極值, ∴m<1 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1). ∵x>1,∴t′(x)>0,從而t(x)在(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù). ∴t(x)>t(1)=1>0,也就是g′(x)>0, 因此g(x)在(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù). ∵x>1,∴1-ex<0.因此h′(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù). 若不等式兩邊有相同“結(jié)構(gòu)”,則利用其“結(jié)構(gòu)”的特征構(gòu)造函數(shù). 故要證原不等式成立,只需證明:當(dāng)x>0時(shí),x G632 B 1008-0333(2016)34-0016-02二、利用f(x)min>g(x)max來(lái)證明f(x)>g(x)型的不等式
三、 利用不等式兩邊相同“結(jié)構(gòu)”的特征構(gòu)造輔助函數(shù)