☉江蘇省姜堰中學(xué) 李 彥

“動(dòng)中尋靜，動(dòng)靜結(jié)合”破解高中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)難題

☉江蘇省姜堰中學(xué) 李 彥

從哲學(xué)的角度來(lái)看，動(dòng)與靜是相對(duì)矛盾的統(tǒng)一體，動(dòng)態(tài)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題，在處理高中數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)，采取“動(dòng)中尋靜，動(dòng)靜結(jié)合”的處理方法與手段，能夠有效突破思維障礙，準(zhǔn)確把握切入點(diǎn)，弄清解題的方向；筆者根據(jù)自身的教學(xué)實(shí)踐，以高中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問(wèn)題為探究載體，采取理論與案例相結(jié)合的方式，重點(diǎn)闡述緊抓運(yùn)動(dòng)中的不變量，采取動(dòng)靜結(jié)合與轉(zhuǎn)換的具體實(shí)施方式，希望能給讀者帶來(lái)一定的參考與借鑒.

一、動(dòng)中尋靜，以靜制動(dòng)

運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的、永恒的，而靜止卻是相對(duì)的，自然界的萬(wàn)物都是處于運(yùn)動(dòng)之中；在數(shù)學(xué)領(lǐng)域之中，數(shù)量關(guān)系與空間形式變換體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的特征，但在運(yùn)動(dòng)的、變化的過(guò)程中蘊(yùn)含著靜止的、不變的因素；實(shí)踐表明，以數(shù)量關(guān)系與空間形式中的不變量為解題的突破口，能夠提升處理數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問(wèn)題的實(shí)際效率.

例1 如圖1所示，正四棱錐P-ABCD可以繞AB邊任意旋轉(zhuǎn)，AB?平面α，已知點(diǎn)P在平面α上的射影為O，試求：|OC|的最大值.

圖1

圖2

解法1：根據(jù)題意作出如圖2所示的輔助線，E、F、M分別為AB、CD、PE的中點(diǎn)，點(diǎn)O為P點(diǎn)在平面α上的射影且在線段AB的中垂線上，CD⊥面OEF，正四棱錐繞AB邊旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，OM和MF的長(zhǎng)度保持不變且|OM|=在 Rt△OFC中，|OC|2=|OF|2+|CF|2，由于|OF|≤|OM|+|MF|，則，則當(dāng)O、M、F三點(diǎn)共線時(shí)，|OC|取得最大值且

解法2：正四棱錐P-ABCD在繞AB邊旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，向量和的模，以及與、與之間的夾角均為確定值，令∠PEO=α，根據(jù)幾何關(guān)系知∠PEF=60°，則當(dāng)2θ=90°，即θ=45°時(shí)，|OC|2取最大值且

點(diǎn)評(píng)：本題主要涉及立體幾何動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)中的極值問(wèn)題，由于動(dòng)點(diǎn)O和C位置的不確定性，從而導(dǎo)致不少學(xué)生難以準(zhǔn)確找到解題的突破口；解法1中解題的關(guān)鍵在于從運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)中不變量OM和MF入手，構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解，體現(xiàn)了“動(dòng)中尋靜，以靜制動(dòng)”的處理手段；在求極值時(shí)特別要注意一種錯(cuò)解的情況：|OC|≤|OM|+|MF|=3（此時(shí)取等號(hào)的情況不成立）；解法2中，借助于向量的分解進(jìn)行運(yùn)算，形成“以靜制動(dòng)”的解題效果，能夠有效化解動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)難題.

二、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，化繁為簡(jiǎn)

從物理學(xué)的角度來(lái)看，運(yùn)動(dòng)和靜止具有一定的相對(duì)性，參照物的不同運(yùn)動(dòng)的特征也不相同，在數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系中A相對(duì)于B運(yùn)動(dòng)（A動(dòng)B靜止）可以看成B動(dòng)A靜止；對(duì)于數(shù)學(xué)中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，完全可以利用這種動(dòng)靜之間的相對(duì)性進(jìn)行處理，往往能夠達(dá)到意想不到的效果.

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，存在如圖3所示的圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，E為圓內(nèi)接正方形ABCD邊AB上的中點(diǎn)，若正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)點(diǎn)F在邊AD上運(yùn)動(dòng)，試求：的最大值.

圖3

圖4

解法2：原題中正方形ABCD繞圓心M旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O不動(dòng)；這里可以看作正方形ABCD固定不動(dòng)，坐標(biāo)原點(diǎn)O以M為圓心，OM為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，從數(shù)量積的幾何意義角度分析，當(dāng)O、M、E三點(diǎn)共線且F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)處時(shí)，向量在向量方向上的投影值最大，則此時(shí)取最大值，即

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量中的極值問(wèn)題，解法1的主體思想是進(jìn)行向量的分解與轉(zhuǎn)化，過(guò)程復(fù)雜煩瑣，對(duì)學(xué)生的向量運(yùn)算和思維能力要求較高，部分學(xué)生難以準(zhǔn)確、快速地處理本題，顯得“力不從心”，而解法2將研究對(duì)象進(jìn)行有效轉(zhuǎn)換，將多點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，卸下復(fù)雜外衣，化繁為簡(jiǎn)，極大地降低原題的難度，從而實(shí)現(xiàn)從“疑無(wú)路、柳暗”向“花明”的有效轉(zhuǎn)化.

三、動(dòng)靜結(jié)合，事半功倍

運(yùn)動(dòng)與靜止是矛盾的統(tǒng)一體，同時(shí)存在，同時(shí)制約，兩者還可以相互轉(zhuǎn)化；實(shí)踐表明，靈活處理好數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“動(dòng)”與“靜”之間的關(guān)系，能夠準(zhǔn)確把握住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，加深對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步理解，提綱挈領(lǐng)，順利解題，從而達(dá)到“事半功倍”的效果.

例3 已知函數(shù)f（x）=x2+mx-1滿足在x∈［m，m+1］上使得f（x）＜0均成立，試求：實(shí)數(shù)m的取值范圍.

例4 已知0＜x1＜1，0＜x2＜1，0＜x3＜1，試求證：x1+x2+x3-x1x2-x1x3-x2x3＜1.

證明：令x3=x，f（x）=（1-x1-x2）x+x1+x2-x1x2，則命題變?yōu)樽C明：f（x）＜1，若1-x1-x2=0，則f（x）=x1+x2-x1x2=1-x1x2＜1；若1-x1-x2≠0，由于函數(shù)f（x）是單調(diào)性函數(shù)（一次函數(shù)）且f（0）=x1+x2-x1x2=（1-x2）（x1-1）+1＜1，f（1）=1-x1x2＜1，綜上可得f（x）＜1，即x1+x2+x3-x1x2-x1x3-x2x3＜1.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，例3中主要是針對(duì)二次函數(shù)最值問(wèn)題的考查，這里是采取“軸動(dòng)——‘動(dòng)’，取值區(qū)間定——‘靜’”的手段進(jìn)行處理，“一動(dòng)一靜，動(dòng)靜結(jié)合”的方式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，二次函數(shù)的最大值出現(xiàn)在取值范圍的端點(diǎn)處，這樣能給有效避免分類討論，化繁為簡(jiǎn)，讓問(wèn)題“迎刃而解”；例4中，涉及的參數(shù)變量比較多（三個(gè)變量），直接利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行解題幾乎是無(wú)從下手，毫無(wú)頭緒，給不少學(xué)生帶來(lái)解題的麻煩，這里若固定變量（x1和x2——“靜”），有效引入新的變化參量x（令x=x3——“動(dòng)”），將原題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，再利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析證明結(jié)論.

總而言之，“動(dòng)靜結(jié)合”是一種典型的數(shù)學(xué)思想和解題方法，實(shí)踐表明，利用動(dòng)靜結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法分析實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠有效轉(zhuǎn)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，有助于探尋高中數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)難題的入手點(diǎn)和突破口，有利于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律；作為一線的高中數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生“動(dòng)中尋靜、化動(dòng)為靜、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、動(dòng)靜結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性品質(zhì)的快速發(fā)展，進(jìn)而提升高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益.