葛 卓，羅慶生，梁冠豪

（北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100081）

冗余自由度工業(yè)機(jī)器人模糊自適應(yīng)PID控制研究

葛 卓，羅慶生，梁冠豪

（北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100081）

為提高汽車生產(chǎn)中涂膠工序的工作效率和空間利用率，改善機(jī)器人避障性能，設(shè)計了一款具有7自由度的冗余度工業(yè)涂膠機(jī)器人，并對其控制方法開展研究；針對現(xiàn)有PID控制方法應(yīng)用于非線性時變的多自由度多剛體串聯(lián)式開鏈系統(tǒng)時，控制效果有限、難以達(dá)到系統(tǒng)精度要求等問題，基于傳統(tǒng)PID控制和模糊自適應(yīng)控制算法，提出了一種帶有重力補(bǔ)償?shù)哪：赃m應(yīng)PID混合控制方法；該方法在對冗余度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，基于牛頓－歐拉分析法建立了冗余度機(jī)器人動力學(xué)模型，基于動力學(xué)分析設(shè)計了帶有重力補(bǔ)償?shù)哪：赃m應(yīng)參數(shù)整定PID控制策略，建立了控制器模型，通過Matlab仿真實驗表明，具有模糊自適應(yīng)參數(shù)整定PID控制較有重力補(bǔ)償?shù)膫鹘y(tǒng)PID控制具有更好的控制效果。

冗余自由度；工業(yè)機(jī)器人；動力學(xué)；模糊自適應(yīng)

0 引言

汽車制造業(yè)是工業(yè)機(jī)器人應(yīng)用較多的領(lǐng)域，多種類型、多個系列的工業(yè)機(jī)器人主要用于焊接、涂膠、噴漆等勞動強(qiáng)度大、工作環(huán)境差、重復(fù)動作多的加工過程。為了追求更為卓越的性能和外觀，汽車涂膠的位置越來越變化多端。對有些特殊位置進(jìn)行涂膠時，由于車窗框、工位中其他障礙物等的阻擋，普通的6自由度工業(yè)機(jī)器人無法同時實現(xiàn)涂膠所需要的位置和姿態(tài)，需要對車體的位置進(jìn)行調(diào)整，或是需要增加改變末端姿態(tài)的節(jié)拍，導(dǎo)致涂膠工作無法一次性完成，大大降低了生產(chǎn)效率、降低了良品率。而關(guān)節(jié)空間維數(shù)大于任務(wù)空間維數(shù)的冗余自由度機(jī)器人，因其所特有的冗余特性，能夠有效地解決這類問題。為了滿足產(chǎn)業(yè)界對更高性能的工業(yè)機(jī)器人的需求，本文以一款經(jīng)ABBIRB 1410工業(yè)機(jī)器人改造的7自由度涂膠機(jī)器人為研究對象，針對該冗余自由度機(jī)器人的動力學(xué)和控制問題開展研究。

傳統(tǒng)的PID控制方法因為其控制簡單易于實現(xiàn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、工業(yè)制造等控制領(lǐng)域。但由經(jīng)典控制理論可知，PID控制方法面對非線性被控對象時，在整個控制區(qū)間內(nèi)很難找到最佳PID參數(shù)；模糊控制器可以補(bǔ)償系統(tǒng)中非線性因素的影響，獲得良好的動態(tài)特性，但是難以消除靜態(tài)誤差［1］。隨著智能控制理論的發(fā)展，先進(jìn)的智能PID控制策略相繼被提出，為復(fù)雜動態(tài)不確定機(jī)器人系統(tǒng)的控制提供了新的途徑［2 5］。例如，任國華等針對移動機(jī)器人提出了一種多項式PD控制策略，通過Lyapunov直接法證明了閉環(huán)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性［6］。胡克滿針對六自由度噴涂機(jī)器人的位置控制問題，提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)PID控制策略，獲得了較好的控制性能和應(yīng)對參數(shù)變化的魯棒性［7］。

本文將基于傳統(tǒng)PID控制與模糊自適應(yīng)控制算法的混合控制方法，在對冗余自由度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)建模的基礎(chǔ)上，研究帶有重力補(bǔ)償?shù)哪：齈ID控制方法，旨在探究適用于冗余自由度工業(yè)涂膠機(jī)器人這類非線性時變的多自由度多剛體串聯(lián)式開鏈系統(tǒng)的控制方法，以提高系統(tǒng)精度，獲得更佳魯棒性和更好的控制效果。

1 冗余度涂膠機(jī)器人動力學(xué)模型

在實際中對機(jī)械臂進(jìn)行控制時，人們對機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩感興趣。而對機(jī)械臂的逆動力學(xué)分析有助于構(gòu)建機(jī)械臂關(guān)節(jié)期望的角位移、角速度、角加速度與關(guān)節(jié)所需驅(qū)動力矩之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。因此，在對多剛體系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析時，構(gòu)建系統(tǒng)的動力學(xué)方程是必由之路。目前，在常見的動力學(xué)分析方法中，主要有拉格朗日分析法與牛頓－歐拉分析法。根據(jù)在O.Khatib［8-9］的兩篇文章表明牛頓－歐拉分析法的計算量相對較小。因此本文采用牛頓－歐拉分析法進(jìn)行動力學(xué)分析。對單個機(jī)械臂連桿的力平衡分析，可以得出由關(guān)節(jié)運動計算轉(zhuǎn)動型關(guān)節(jié)力矩的完整迭代算法，其由兩部分組成。以第i根桿為例（i＝1，2，3，…，7），迭代算法如下：

1）從連桿1向連桿7順序迭代計算連桿的速度和加速度；

2）從連桿7向連桿1倒序迭代計算連桿間的相互作用力和力矩以及關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。

上述式中，i＋1Ri為坐標(biāo)系｛i｝到坐標(biāo)系｛i＋1｝的旋轉(zhuǎn)矩陣；iωi和為連桿i在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系｛i｝下的角速度與角加速度；z0為任意坐標(biāo)系下z軸單位矢量z0＝［001］；qi＋1，˙和¨qi＋1為關(guān)節(jié)i＋1在基坐標(biāo)系下的角位移，角速度與角加速度；ivi和i˙vi為連桿i在坐標(biāo)系｛i｝下的平移速度與平移加速度；為連桿i在坐標(biāo)系｛i｝下的平移加速度；ipci為連桿i的質(zhì)心在坐標(biāo)系｛i｝下的表示；ipi為坐標(biāo)系｛i－1｝原點到坐標(biāo)系｛i｝原點的距離在坐標(biāo)系｛i｝下的表示；iFi和ifi為作用在連桿i質(zhì)心上的外力，連桿i－1作用在連桿i上的內(nèi)力在坐標(biāo)系｛i｝下的表示；iNi和ini為作用在連桿i上的外力矩，連桿i－1作用在連桿i上的內(nèi)力矩在坐標(biāo)系｛i｝下的表示；ICi為連桿i相對于其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量陣；τi為關(guān)節(jié)i產(chǎn)生的驅(qū)動力矩。

通過牛頓－歐拉分析法對冗余度涂膠機(jī)器人的分析，可以得到關(guān)于整個機(jī)械臂7個關(guān)節(jié)之間的力平衡方程組，化簡以后，可以得到統(tǒng)一形式的動力學(xué)模型：

等式左側(cè)，M（q）是冗余度涂膠機(jī)器人的7×7慣性張量矩陣，是該機(jī)械臂的科里奧利力和離心力7×7矩陣，G（q）則是一個表示該機(jī)械臂的重力項的7×1向量，而在等式右側(cè)，τ是機(jī)械臂7個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩向量。至此，在關(guān)節(jié)空間里，通過給定期望的角位移qd，角速度˙和角加速度，即可求解出機(jī)械臂各關(guān)節(jié)所需的驅(qū)動力矩τ，逆動力學(xué)問題得解。

以上文所得的所需驅(qū)動力矩τ作為已知量之一，加之以當(dāng)前各關(guān)節(jié)角位移q與角速度˙作為剩余已知量，即可求解該機(jī)械臂的正運動學(xué)問題。即令式（11）中的＝［00－9.81］，則可得：

這是一種基于逆動力學(xué)解的正運動學(xué)求解算法。在文獻(xiàn)［10］中，ShuujiKajita等得出了9自由度以下的機(jī)械臂采用這種算法可使正運動學(xué)問題的求解計算量更小。因此，本文也采用這種算法求解該機(jī)械臂的正動力學(xué)問題，并以此作為構(gòu)建機(jī)械臂動力學(xué)仿真的基礎(chǔ)，應(yīng)用Robotics Toolbox for Matlab進(jìn)行該機(jī)械臂的動力學(xué)建模與求解。

2 模糊自適應(yīng)參數(shù)整定PID控制器設(shè)計

在工業(yè)現(xiàn)場，傳統(tǒng)PID控制方法因其簡單易操作性已得到了較為廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)PID在面對這些非線性時變的多自由度多剛體串聯(lián)式開鏈系統(tǒng)時，其控制效果差強(qiáng)人意，難以達(dá)到系統(tǒng)精度要求。而模糊控制策略為改善傳統(tǒng)PID在本文研究對象特定應(yīng)用場景下的控制弱勢提供了可參考的方案——模糊參數(shù)自整定PID控制策略［11 12］。

在機(jī)械臂實際運動的過程中，機(jī)械臂末端執(zhí)行器的軌跡會受到自身各桿件轉(zhuǎn)動慣量與重力的影響。由式（11）可知，只有當(dāng)各關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ可以較好模擬等式左邊在輸入為期望角位移qd，角速度和角加速度¨的期望輸出力矩τd時，方可達(dá)到較好的控制效果。因此，在構(gòu)造針對冗余度涂膠機(jī)器人的控制律u時，應(yīng)該考慮添加重力補(bǔ)償量g（q）。而除了重力補(bǔ)償以外，摩擦力對機(jī)械臂控制精度也存在較大的影響。而一般地，在對機(jī)械臂驅(qū)動部件，如電機(jī)的內(nèi)部具體參數(shù)不甚了解的情況下，較難對其摩擦力項進(jìn)行準(zhǔn)確建模。由于僅對機(jī)械臂進(jìn)行動力學(xué)數(shù)值仿真，暫且忽略摩擦力對機(jī)械臂控制精度的影響。

2.1 控制的穩(wěn)定性

由于對機(jī)械臂的控制最終反映到機(jī)械臂的工具坐標(biāo)系即是對機(jī)械臂操作空間的控制。因此，在機(jī)械臂操作空間的模糊自適應(yīng)PID控制策略中，設(shè)末端執(zhí)行器的給定期望姿態(tài)常向量pd＝［xd，yd，zd，φd，?d，φd］T，實際姿態(tài)向量為pe，＝pd－p e＝［Δx，Δy，Δz，Δφ，Δ?，Δφ］T作為本控制策略的控制量，控制目標(biāo)是使得~p逐漸趨于零?，F(xiàn)選擇如下正定二次型的李雅普諾夫方程為：

結(jié)合式（11）以及˙M（q）－2C（q，˙q）是斜對稱陣的性質(zhì)可得：

令上式中的τ用控制量u代替，可得：

式中，KD是正定的微分增益矩陣。所以，式（16）可整理為：

2.2 模糊自適應(yīng)控制器的設(shè)計

本文的被控對象是冗余度涂膠機(jī)器人，由于對其進(jìn)行位置控制是本文控制目標(biāo)，所以控制系統(tǒng)主要針對機(jī)械臂末端執(zhí)行器的空間姿態(tài)偏差量~p進(jìn)行控制。

模糊自適應(yīng)控制器正是利用控制系統(tǒng)被控制量與其對時間的微分量進(jìn)行控制。在本系統(tǒng)中即是對空間姿態(tài)偏差量~p與空間姿態(tài)偏差量的變化率進(jìn)行控制，通過對預(yù)先設(shè)置的比例微分增益值進(jìn)行更新，得到比例微分增益的更新規(guī)律K′P＝ KP＋ΔKP和K′D＝KD＋ΔKD。模糊自適應(yīng)控制器會根據(jù)當(dāng)前的空間姿態(tài)偏差量及其變化率對系統(tǒng)增益進(jìn)行實時更新，以期使得空間姿態(tài)偏差量及其變化率趨于零。根據(jù)此思路與前文分析所得的控制律u，設(shè)計出帶重力補(bǔ)償?shù)哪：赃m應(yīng)PID控制系統(tǒng)示意圖如圖1所示。

圖1 重力補(bǔ)償模糊PID控制示意框圖

根據(jù)模糊控制理論的規(guī)范化離散論域設(shè)置規(guī)則，將誤差論域設(shè)置為6個區(qū)域，即需要設(shè)置7個隸屬度函數(shù)，并使其分別對應(yīng)模糊化規(guī)則｛NB，NM，NS，0，PS，PM，PB｝，并完成模糊隸屬度函數(shù)設(shè)置。對應(yīng)ΔKP與ΔKD的模糊規(guī)則如表1與表2所示。

表1 ΔKp模糊規(guī)則表

表2 ΔKD模糊規(guī)則表

圖2是針對被控制量~p中的參數(shù)變化量Δx而設(shè)計的模糊控制器，該控制器分別以Δx與為輸入量，并以針對Δx進(jìn)行模糊控制的ΔKPx與ΔKDx為輸出。其中，標(biāo)號1表示本模糊控制器選擇重心法為解模糊方式，標(biāo)號2表示輸入的范圍，該范圍即使用傳統(tǒng)PID控制方法進(jìn)行Matlab／Simulink仿真時Δx的變化范圍。

圖2 參數(shù)變化量Δx模糊控制器

隸屬度函數(shù)的設(shè)置，如圖4所示。其中，圖3（a）是對輸入Δx隸屬度函數(shù)的設(shè)置；圖3（b）是對輸出ΔKPx隸屬度函數(shù)的設(shè)置，輸出的范圍根據(jù)傳統(tǒng)PID控制方法進(jìn)行Matlab／Simulink仿真時ΔKPx的變化范圍進(jìn)行估計。

圖3 模糊控制器輸入輸出隸屬度函數(shù)設(shè)置

使用上述方式設(shè)置針對Δy，Δz，Δφ，Δ?，Δφ等參數(shù)變化量的模糊控制器可以得到如圖4所示的模糊控制結(jié)構(gòu)圖。其中，標(biāo)號1，2，3，4，5，6分別表示針對被控制量~p中的6個參數(shù)Δx，Δy，Δz，Δφ，Δ?，Δφ分別設(shè)計的模糊控制器，7，8分別表示模糊控制器的輸入向量與輸出向量ΔKP，ΔKD，在Matlab／Simulink中使用subsystem（子系統(tǒng)）模塊對該模糊控制器網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行封裝即得到本控制系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制器子系統(tǒng)。

圖4 Matlab／Simulink模糊控制器內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖

3 冗余度涂膠機(jī)器人動力學(xué)仿真

根據(jù)前文的動力學(xué)分析與模糊PID控制器設(shè)計方案，利用Matlab／Simulink對冗余度涂膠機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)控制仿真，通過與傳統(tǒng)帶重力補(bǔ)償?shù)腜ID控制仿真實驗結(jié)果對比，

驗證模糊自適應(yīng)PID控制器的控制效果。

3.1 冗余度涂膠機(jī)器人的傳統(tǒng)重力補(bǔ)償PID控制動力學(xué)仿真

首先，根據(jù)前文在運動學(xué)分析中建立的冗余度涂膠機(jī)器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，并計算各桿件的動力學(xué)參數(shù)，建立該機(jī)械臂帶重力補(bǔ)償PID控制器如圖5所示。圖中標(biāo)號1，2，3分別表示比例增益，微分增益與重力補(bǔ)償模塊。

圖5 冗余度涂膠機(jī)器人傳統(tǒng)PID控制器（帶重力補(bǔ)償）

對系統(tǒng)進(jìn)行仿真，設(shè)置系統(tǒng)仿真固定步長為0.01 s，對系統(tǒng)期望輸入為機(jī)械臂末端工具在基坐標(biāo)系下的空間姿態(tài)向量，其結(jié)構(gòu)為［xd，yd，zd，φd，?d，φd］T，其中xd，yd，zd表示工具末端在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，而φd，?d，φd分別表示工具坐標(biāo)系繞基坐標(biāo)系x，y，z軸的轉(zhuǎn)角，對工具坐標(biāo)xd，yd，zd與實際輸出工具坐標(biāo)xe，ye，ze進(jìn)行兩兩對應(yīng)觀測。其中，仿真輸入設(shè)置為階躍信號；輸入?yún)?shù)φd，?d，φd則均設(shè)置為常量0。參數(shù)設(shè)置完畢以后，對機(jī)械臂模型進(jìn)行動力學(xué)仿真。通過調(diào)節(jié)PID參數(shù)，可以得出與被控量~p＝［Δx，Δy，Δz，Δφ，Δ?，Δφ］T相對應(yīng)的比例增益Kp與微分增益KD；仿真結(jié)果如圖6所示。

由仿真結(jié)果可以看出系統(tǒng)輸出能夠較好地跟蹤輸入的信號，基本能在［1 s，2 s］的區(qū)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，消除震蕩，基本消除穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 冗余度涂膠機(jī)器人PID控制（帶重力補(bǔ)償）仿真輸出圖

3.2 冗余度涂膠機(jī)器人的重力補(bǔ)償模糊自適應(yīng)PID控制動力學(xué)仿真

利用上述仿真中對空間姿態(tài)變化量中各參數(shù)變化量Δx，Δy，Δz，Δφ，Δ?，Δφ變化范圍（誤差范圍）來確定模糊控制器隸屬度函數(shù)誤差論域閾值的設(shè)定，以此作為模糊控制器構(gòu)建的參數(shù)依據(jù)，所構(gòu)建的重力補(bǔ)償模糊PID控制系統(tǒng)如圖7所示。其中，標(biāo)號1，2分別表示根據(jù)比例微分增益更新規(guī)律重新設(shè)計的比例、微分控制模塊；3，4分別表示模糊控制器與重力補(bǔ)償模塊。

圖7 冗余度涂膠機(jī)器人模糊自適應(yīng)PID控制器（帶重力補(bǔ)償）

在相同仿真條件，相同輸入的情況下，進(jìn)行冗余度涂膠機(jī)器人在重力補(bǔ)償?shù)哪：赃m應(yīng)PID控制下的動力學(xué)仿真，仿真結(jié)果如圖8所示。與圖6對比，模糊PID控制下的機(jī)械臂的階躍響應(yīng)上升沿更陡，對輸入的跟蹤效果比傳統(tǒng)的PID控制響應(yīng)時間更短，而且穩(wěn)態(tài)誤差消除比傳統(tǒng)PID控制徹底，顯示出了重力補(bǔ)償模糊自適應(yīng)PID控制比傳統(tǒng)PID控制更適用于本文研究的冗余度涂膠機(jī)器人。

圖8 冗余度涂膠機(jī)器人模糊PID控制（帶重力補(bǔ)償）仿真結(jié)果圖

4 結(jié)論

本文以具有7自由度工業(yè)涂膠機(jī)器人為研究對象，運用牛頓－歐拉分析法對冗余自由度涂膠機(jī)器人進(jìn)行了動力學(xué)分析與建模。研究了適用于冗余度涂膠機(jī)器人的模糊參數(shù)自整定PID控制策略，建立了控制模型，并在Matlab／Simulink中運用Robotics Toolbox for Matlab工具箱對該機(jī)械臂進(jìn)行了動力學(xué)建模與仿真。仿真實驗以均有重力補(bǔ)償?shù)膫鹘y(tǒng)PID控制與模糊自適應(yīng)PID控制為對比實驗，實驗結(jié)果表明模糊自適應(yīng)PID控制方法比傳統(tǒng)PID控制方法更適用于冗余度涂膠機(jī)器人，提高了系統(tǒng)精度，獲得了更佳的魯棒性，并達(dá)到更好的控制效果。

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Study of Redundant Industrial Robot Control Based on Fuzzy Self－adaptation PID Control Algorithm

Ge Zhuo，Luo Qingsheng，Liang Guanhao

（School of Mechatronical Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

In order to improve work efficiency and space utilization of gelatinizing process in automobile production line，a new type of redundant industrial robot with seven degrees of freedom was presented and a new type of control method was proposed.As it is known，the traditional PID control method had poor control effect dealing with nonlinear time－varying rigid－body series open chain system with multiple degrees of freedom.Based on the traditional PID control and fuzzy adaptive control algorithm，a parameter self－adaptation fuzzy PID control method with gravity compensation was proposed.Based on the Newton－Euler method，the dynamic model of this robot was established，and based on the dynamic model，the parameter self－adaptation fuzzy PID controller with gravity compensation was built.Several emulations used Matlab／Simulink software showed that the novel dynamic controller was a stable control system，and had better control effect comparing with PID controller.

redundant degree of freedom；industrial glue robot；dynamics；fuzzy self－adaptation

1671-4598（2016）08-0126-04

10.16526／j.cnki.11－4762／tp.2016.08.034

：TP2

：A

2016-03-16；

：2016-04-21。

北京市教育委員會科技計劃面上項目（KM201310858004，KM201310858001）。

葛 卓（1988-），男，安徽馬鞍山人，博士研究生，主要從事機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計、算法設(shè)計方向的研究。

羅慶生（1956-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事特種機(jī)器人技術(shù)、機(jī)電一體化技術(shù)方向的研究。