李立新
【摘要】泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題方面應(yīng)用較廣,有尋求等價(jià)無窮小量、求極限、不等式的證明、近似計(jì)算幾方面的應(yīng)用.本文將就泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開探討,深入了解泰勒公式的內(nèi)涵,體會(huì)其特殊的數(shù)學(xué)價(jià)值.
【關(guān)鍵詞】泰勒公式;高等數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用分析
泰勒公式把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)變成簡單函數(shù),涉及了函數(shù)增量,自變量增量,導(dǎo)數(shù)等微積分計(jì)算,充分體現(xiàn)了微積分“逼近法”思想,通過把非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題,簡略了計(jì)算過程且計(jì)算結(jié)果確保了一定的計(jì)算精度,具有極高的應(yīng)用價(jià)值.
1.用泰勒公式求等價(jià)無窮小量
在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí),我們了解了無窮小量的概念,同時(shí)還會(huì)接觸等價(jià)無窮小量,同時(shí)還會(huì)了解等價(jià)無窮小量的運(yùn)算公式,即當(dāng)(x)~1(x),β(x)~β1(x),lim1(x)β1(x)存在時(shí),則lim(x)β(x),同時(shí)lim(x)β(x)=lim1(x)β1(x)在實(shí)際習(xí)題演算過程中我們只能套用公式,沒法通過公式的使用來尋求無窮小量的等價(jià)無窮小量,等價(jià)無窮小量在實(shí)際的高等數(shù)學(xué)函數(shù)化簡過程中可以發(fā)揮著極大的作用,簡化我們的化簡任務(wù).在下面的定理探討中我們就可以有所了解.
定理:當(dāng)x=a時(shí),f(x)存在無窮小量,此時(shí)f(x)的泰勒展開式如下所示:
尋求等價(jià)無窮小量,用泰勒展開式比較容易,通過舉例我們就可以發(fā)現(xiàn).如:ex=1+x1!+x2!+o(x2),所以當(dāng)x趨近于0時(shí),ex-1等價(jià)于x.
如:sin(sinx)=sinx-sin3x3!+o(x4)=x-x33!+o(x4)-13!x-x3[]3!+o(x4)3+o(x4)=x-x33!+o(x4),所以sin(sinx)等價(jià)于x.
在上述的運(yùn)算中極大地減少了函數(shù)代換次數(shù),減少了函數(shù)復(fù)雜度.
2.用泰勒公式求極限
例如求極限lim6e-x2sinx-x(6-7x2)3ln1+x1-x-2x(3+x2),其中x→0.
在對此函數(shù)展開化簡時(shí),我們需要先分析該函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與傳統(tǒng)的化簡方法,如果使用洛必達(dá)法則,不僅使用次數(shù)增加,函數(shù)形式可能更加復(fù)雜,函數(shù)基點(diǎn)是x→0,這時(shí)就需要使用泰勒公式展開式.基點(diǎn)x→0,函數(shù)的余項(xiàng)是皮亞諾余項(xiàng),
使用帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式,函數(shù)階數(shù)展開原則是一階一階展開,逐階消去達(dá)到最簡.針對分子6e-x2sinx-x(6-7x2)展開分析,e-x2的泰勒展開式第一項(xiàng)是1,sinx的泰勒展開式第一項(xiàng)是x,所以6e-x2sinx泰勒展開式第一項(xiàng)是6x,與其后的-6x相消除,第二項(xiàng)展開式是-76x3,還需展開第三項(xiàng)方便計(jì)算.分母的展開過程相似,具體的解答過程如下:
3.用泰勒公式證明不等式
針對泰勒公式的第二大高數(shù)解題應(yīng)用,以下面的習(xí)題展開實(shí)際演算過程,從其證明過程我們體會(huì)出泰勒公式在證明不等式的高效性與簡易性.
例如:證明x>0,x-x22 證明:當(dāng)x>0時(shí),根據(jù)泰勒公式,可以將ln(x+1)展開如下形式: 綜上得出結(jié)論: 結(jié)語 最符合實(shí)際生活的應(yīng)用是用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算,它不僅計(jì)算簡單還保證了計(jì)算結(jié)果具有極高的精確度,但在實(shí)際應(yīng)用中需要做好區(qū)分,并不是所有的近似計(jì)算函數(shù)估值都適用泰勒公式,泰勒公式的選擇需要控制好使用條件,限制條件中需要滿足函數(shù)需要具備n 階連續(xù)可微函數(shù),并且階數(shù)越大函數(shù)的精確度越高,需要根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇.