李 晟，袁兆隆

(四川師范大學(xué) a.邏輯與信息研究所,b.政治教育學(xué)院，成都 610066)

關(guān)于廣義量詞many的廣義三段論推理

李 晟a,b，袁兆隆a,b

(四川師范大學(xué) a.邏輯與信息研究所,b.政治教育學(xué)院，成都 610066)

三段論在自然語言信息處理和知識(shí)推理中占據(jù)著突出的地位，它們在自亞里士多德以來的邏輯中也一直扮演著重要作用。我們用廣義量詞many對傳統(tǒng)三段論推理進(jìn)行了擴(kuò)展，利用廣義量詞理論和集合論，從語法上證明了14個(gè)廣義三段論推理的有效性。這一方法為其他廣義量詞的廣義三段論提供了一個(gè)簡單合理的數(shù)學(xué)模式。

傳統(tǒng)三段論；廣義三段論；廣義量詞；推理

一 引言

自亞里士多德以來的古代邏輯對直言三段論(categorical syllogisms)、假言三段論(hypothetical syllogisms)、預(yù)疑三段論(prosleptic syllogisms)[1]、模態(tài)三段論都有所研究。其中，影響最為廣泛的是起源于亞里士多德的直言三段論，在直言三段論的基礎(chǔ)上，經(jīng)過哲學(xué)家和邏輯學(xué)家們的改進(jìn)和發(fā)展，逐漸形成了傳統(tǒng)三段論[2]。經(jīng)過深入研究，一些學(xué)者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)自然語言推理不僅僅與傳統(tǒng)三段論推理有關(guān)，而且還與廣義三段論(generalized syllogisms)推理有關(guān)[3]。

傳統(tǒng)三段論揭示的是一階邏輯中的標(biāo)準(zhǔn)量詞(即全稱量詞和存在量詞)推理性質(zhì)。在256個(gè)傳統(tǒng)三段論中，只有24個(gè)三段論才是有效的。事實(shí)上，在自然語言中，大部分三段論是廣義三段論，傳統(tǒng)三段論僅僅占一小部分。廣義三段論揭示的是廣義量詞的推理性質(zhì)。正如廣義量詞是一階邏輯中的標(biāo)準(zhǔn)量詞的擴(kuò)展一樣，廣義三段論是傳統(tǒng)三段論的擴(kuò)展，因此也叫做擴(kuò)展三段論[4]。正如對傳統(tǒng)三段論的有效性加以判斷是經(jīng)典邏輯的重要內(nèi)容一樣，對廣義三段論的有效性加以判斷則是現(xiàn)代邏輯(尤其是自然語言邏輯，更具體地說是廣義量詞理論)的重要內(nèi)容。

對于廣義三段論及其有效性的研究，國外學(xué)者取得了可喜的成果。比如：Moss(2010)[5]使用動(dòng)詞see或love對傳統(tǒng)三段論邏輯進(jìn)行了擴(kuò)展，在此基礎(chǔ)上，給出了關(guān)于{all,some,see}這一英語語言片段的完全性和可靠性證明；Murinová 和Novák(2012)[6]在Peterson(2000)[7]的廣義三段論研究的基礎(chǔ)上，利用模糊類型論(fuzzy type theory)這一高階模糊邏輯的知識(shí)，從語法上形式化地證明了包括24個(gè)有效的傳統(tǒng)三段論在內(nèi)的105個(gè)廣義三段論的有效性。Endrullis和Moss(2015)[8]124-139研究了關(guān)于most這一居間量詞(intermediate quantifier)的廣義三段論的有效性，并給出了關(guān)于{all,some,most}這一英語語言片段的完全性和可靠性證明。

雖然國外學(xué)者對廣義三段論及其有效性的研究取得了這些成果，但是這些研究都存在著一定的缺憾。比如Murinová 和Novák(2012)[6]利用模糊類型論這一高階模糊邏輯知識(shí)，對廣義三段論的證明過程顯得繁瑣復(fù)雜。我們發(fā)現(xiàn)利用廣義量詞理論[9]和集合論的知識(shí)，就可以簡潔明了地對廣義三段論進(jìn)行形式化及其有效性的證明。這正是本文主旨之所在。

正如廣義量詞可以包括一階邏輯中的標(biāo)準(zhǔn)量詞一樣，廣義三段論可以包括傳統(tǒng)三段論。在下文中，如果沒有特別說明，廣義量詞都是指包含一階邏輯中的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量詞的廣義量詞，廣義三段論都是指包含傳統(tǒng)三段論在內(nèi)的廣義三段論。限于篇幅原因，本文把重點(diǎn)放在自然語言中常見的廣義量詞many的廣義三段論的有效性的探討上。

二 相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)

廣義量詞包括：全稱量詞和存在量詞、限定詞、以及由a/an、the或其他量化關(guān)系指稱所形成的所有名詞短語。比如，正好三個(gè)小孩、你的手、所有的商品、幾乎不、沒有、兩者都不、一打的、不超過五分之三的等，都是廣義量詞。在自然語言中，最常見的廣義量詞是〈1〉類型量詞和〈1,1〉類型量詞，而且“對〈1〉類型量詞的研究常?？梢赞D(zhuǎn)化成對〈1,1〉類型量詞的研究”[10]16，因此，〈1,1〉類型量詞是廣義量詞理論研究的重點(diǎn)。在自然語言中，大多數(shù)限定詞對應(yīng)的都是〈1,1〉類型廣義量詞。

下面我們給出本文將用到的廣義量詞的真值定義。

定義1：常見廣義量詞的真值定義

(1)all(S,P)?S?P；

(2)no(S,P)?S∩P=?；

(3)some(S,P)?S∩P≠?；

(5)most(S,P)?|S∩P|≥0.5|S|；

(7)many(S,P)?|S∩P|≥0.6|S|；

(9)almost all(S,P)?|S∩P|≥0.9|S|；

根據(jù)定義1，直觀上，在相同的論域下，我們很容易得到以下事實(shí)。

事實(shí)0：

(1)的意思是，由“所有的S都是P”，可以推出“大多數(shù)S都是P”；(4)的意思是，由“大多數(shù)S都不是P”，可以推出“有些S不是P”；其他的意思類似。

證明：(1)假設(shè)all(S,P)成立，根據(jù)定義1的(1)可知：all(S,P)?S?P，而|S∩P|=|S|≥0.5|S|，即|S∩P|≥0.5|S|，再根據(jù)定義1的(5)“most(S,P)?|S∩P|≥0.5|S|”可知：most(S,P)成立。證畢。

(8)的證明與(4)的證明類似，而其他的證明則與(1)的證明類似。

三 關(guān)于many的有效的廣義三段論推理模式及其證明

在Murinová與Novák(2012)[6]、林勝強(qiáng)和張曉君(2014)[11]、張曉君(2014)[12]等人工作的基礎(chǔ)上，我們可給出如下14個(gè)關(guān)于many的有效的廣義三段論推理模式及其證明。

事實(shí)1：廣義三段論all(M,P) &many(S,M) ?many(S,P)是有效的。

證明：假設(shè)all(M,P) &many(S,M)這兩個(gè)前提都成立，那么根據(jù)定義1對all和many的真值定義可知：all(M,P)?M?P，many(S,M)?|S∩M|≥0.6|S|。即：M?P且|S∩M|≥0.6|S|，因此，|S∩P|≥0.6|S|。再根據(jù)many的真值定義可知：many(S,P)成立。證畢。

例如：(1)大前提：所有的蘋果都賣完了。

小前提：很多上周進(jìn)的水果都是蘋果。

結(jié)論：很多上周進(jìn)的水果都賣完了。

這一廣義三段論實(shí)例例證了事實(shí)1是有效的。

事實(shí)2：廣義三段論all(M,P) &many(S,M)?most(S,P)是有效的。

證明：根據(jù)事實(shí)1可知：all(M,P) &many(S,M)?many(S,P)，再根據(jù)事實(shí)0的(11)可知：many(S,P)?most(S,P)，因此，all(M,P) &many(S,M)?most(S,P)。事實(shí)2得證。

事實(shí)3：廣義三段論all(M,P) &many(S,M)?some(S,P)是有效的。

根據(jù)事實(shí)1和事實(shí)0的(7)可以直接證得事實(shí)3。

事實(shí)4：廣義三段論all(M,P) &almost all(S,M)?many(S,P)是有效的。

證明：假設(shè)all(M,P) &almost all(S,M)這兩個(gè)前提都成立，那么根據(jù)定義1對all和almost all的真值定義可知：all(M,P)?M?P，almost all (S,M)?|S∩M|≥0.9|S|。即：M?P且|S∩M|≥0.9|S|，因此，|S∩P|≥0.9|S|。再根據(jù)almost all的真值定義可知：almost all (S,P)成立。再根據(jù)事實(shí)0的(9)“almost all(S,P)?many(S,P)”可知：many(S,P)成立。證畢。

事實(shí)6的證明與事實(shí)5的證明類似。

例如：(2)大前提：所有的山西人都習(xí)慣把多年積攢的錢財(cái)留給兒女。

小前提：在成都打工的人中沒有人習(xí)慣把多年積攢的錢財(cái)留給兒女。

結(jié)論：在成都打工的人中很多人都不是山西人。

這一廣義三段論實(shí)例例證了事實(shí)7是有效的。

事實(shí)8的證明與事實(shí)7的證明類似。

例如：(3)大前提：所有在市中心買寫字樓的人都是本地人。

小前提：很多做藥材生意的人都不是本地人。

結(jié)論：很多做藥材生意的人都沒有在市中心買寫字樓。

這一廣義三段論實(shí)例例證了事實(shí)9是有效的。

根據(jù)事實(shí)9和事實(shí)0的(12)可以證明事實(shí)10。

事實(shí)11的證明與事實(shí)5的類似。

根據(jù)事實(shí)11和事實(shí)0的(12)可以直接證得事實(shí)12。

事實(shí)13的證明與事實(shí)5的類似。

四 結(jié)論

通過仔細(xì)觀察上述14個(gè)關(guān)于many的有效的廣義三段論推理模式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：這些有效的三段論在前提中要么包含all這樣的全稱肯定命題(事實(shí)1-4、事實(shí)7-10、事實(shí)14這9個(gè)事實(shí)就是如此)，要么包含no這樣的全稱否定命題(事實(shí)5-8、事實(shí)10-13、事實(shí)14這9個(gè)事實(shí)就是如此)，要么二者兼之(事實(shí)7、事實(shí)8和事實(shí)14這3個(gè)事實(shí)就是如此)。這一規(guī)律與傳統(tǒng)三段論的規(guī)律是吻合的，即：當(dāng)肯定或否定一類對象的全部時(shí)，也就肯定或否定了這類對象中的部分。這一規(guī)律對于其他廣義量詞(比如most、few、at lest half of the、almost all等)是否也成立呢？雖然我們還不能夠?qū)Υ藬嗳幌陆Y(jié)論，但是這一規(guī)律將為我們尋找關(guān)于其他廣義量詞的有效的廣義三段論，還是有很大的啟迪作用的。

事實(shí)上，利用本文的研究方法，還可以研究由兩個(gè)及其以上的廣義三段論嵌套而成的語篇推理的有效性。例如：“所有的蘋果都賣完了，很多上周進(jìn)的水果都是蘋果，所以很多上周進(jìn)的水果都賣完了。上周進(jìn)的所有水果都是從城北批發(fā)市場進(jìn)的，所以很多上周從城北批發(fā)市場進(jìn)的水果都賣完了。”這一語篇推理其實(shí)是有兩個(gè)廣義三段論組成，而且第一個(gè)三段論的結(jié)論是第二個(gè)三段論的大前提。

總之，本文充分利用了包含〈1,1〉類型廣義量詞的語句可表示成Q(S,P)這樣的三分結(jié)構(gòu)，以及這類量詞的真值定義和簡單的集合論知識(shí)，對廣義三段論進(jìn)行了簡潔明了的形式化表示和證明。自然語言中〈1,1〉類型廣義量詞非常多，而利用本文的研究方法，就可以對其他廣義量詞的廣義三段論進(jìn)行形式化，以及對它們有效性進(jìn)行證明。因此，本文的研究方法具有很大的普適性和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，尤其是對自然語言信息處理和計(jì)算機(jī)科學(xué)中的知識(shí)表示和知識(shí)推理而言更是如此，而且這些研究也將推動(dòng)廣義量詞理論向縱深方向發(fā)展。

[1]BOBZIEN S.Ancient Logic[EB/OL].[2016-01-26].http://plato.stanford.edu/entries /logic-ancient,2015.

[2]余維發(fā).亞里士多德三段論與其他傳統(tǒng)三段論之區(qū)別[J].哈爾濱學(xué)院學(xué)報(bào),2006，(9):23-26.

[3]郝一江.自然語言語篇推理的形式化探究[J].湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2016，(1):33-37.

[4]張曉君,林勝強(qiáng).如何利用廣義量詞的語義性質(zhì)判斷擴(kuò)展三段論的有效性[J].邏輯學(xué)研究，2013，(2):42-56.

[5]MOSS L.S.Syllogistic logics with verbs[J].Journal of Logic and Computation,2010,20(4):947-967.

[7]PETERSON P.Intermediate Quantifiers: Logic,Linguistics,and Aristotlian Semantics[M].Aldershot：Ashgate,2010.

[8]ENDRULLIS J,MOSSL S.Syllogistic logic with “Most”[C]//V.de Paiva et al.(eds.).Logic,Language,Information,and Computation,Volume 9160 of the series Lecture Notes in Computer Science.2015.

[9]PETERS S,WESTERSTHL D.Quantifiers in Language and Logic[M].Oxford: Claredon Press,2006.

[10]林勝強(qiáng).廣義量詞的現(xiàn)代對當(dāng)方陣研究[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2015,(1):15-20.

[11]林勝強(qiáng),張曉君.廣義量詞的推理模式研究[J].湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2014,(6):29-33。

[12]張曉君.廣義量詞理論研究[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2014.

[責(zé)任編輯：帥 巍]

Generalized Syllogistic Reasoning Including the Generalized Quantifier “many”

LI Shenga,b,YUAN Zhao-longa,b

(a.Institute of Logic and Information,b.College of Political Education,Sichuan Normal University,Chengdu,Sichuan 610066,China)

Syllogistic arguments are prominent in natural language information processing and knowledge reasoning,and they have played important role in logic since Aristotle .The generalized quantifier “many” is applied in this paper to expand the traditional reasoning of generalized syllogisms,and the validity of 14 generalized syllogisms is syntactically proved by means of generalized quantifier theory and set theory.This method provides a simple and reasonable mathematical model of generalized syllogisms for other generalized quantifiers.

classical syllogisms;generalized syllogisms;generalized quantifiers;reasoning

2016-03-06

國家社科基金西部項(xiàng)目“面向中文信息處理的漢語主謂句的邏輯語義及其推理模式研究”(15XYY012)。

李晟(1986—)，男，四川德陽人，邏輯學(xué)博士，四川師范大學(xué)邏輯與信息研究所研究員，主要研究現(xiàn)代邏輯、自然語言邏輯等；

袁兆隆(1992—)，男，廣東中山人，四川師范大學(xué)政治教育學(xué)院碩士研究生，主要研究現(xiàn)代邏輯和自然語言邏輯。

B812.23

A

1000-5315(2017)01-0015-05