用絕對值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式解決一類含參函數(shù)的最值問題

☉浙江省蒼南縣嘉禾中學(xué) 董呂修

綜觀近幾年全國各省市的高考數(shù)學(xué)試題，一類形如“f（x）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+b0）|x-a|（其中g(shù)（x）是次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)，b3，b2，b1，b0不全為零）”的三次型含參絕對值函數(shù)的最值問題正悄然興起.由于這類函數(shù)帶有絕對值，且有參數(shù)在內(nèi)“搗亂”，主要考查數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，因此極具綜合性和挑戰(zhàn)性，學(xué)生常常感到迷霧重重，找不到突破口，以致于考試時(shí)往往棄而不答，令人惋惜！本文筆者借助導(dǎo)數(shù)公式（|x|）′=，結(jié)合高考題來化解討論此類函數(shù)最值問題的一般策略，以期對大家有所啟示.

一、導(dǎo)數(shù)公式

二、破解策略

眾所周知，函數(shù)y=f（x）（x∈I）的最值點(diǎn)只可能在其極值可疑點(diǎn)（所謂極值可疑點(diǎn)是指導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）或區(qū)間I的端點(diǎn)處取到.因此，只需討論此類含參絕對值函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，其最值情況就會(huì)一目了然.由于極值可疑點(diǎn)可能與參數(shù)有關(guān)，因此這里的關(guān)鍵是：如何判斷極值可疑點(diǎn)是否在定義域內(nèi)？為解決此問題，就需要將極值可疑點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)按從小到大的順序進(jìn)行排列，分類討論思想正是在這一背景下應(yīng)運(yùn)而生的.具體操作步驟可按如下步驟進(jìn)行：求導(dǎo)→求出極值可疑點(diǎn)→確定分類討論的界點(diǎn)→劃分討論范圍→排序極值可疑點(diǎn)→根據(jù)圖像大致變化趨勢求出函數(shù)最值.

1.求導(dǎo)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出函數(shù)f（x）=g（x）+（b3x3+ b2x2+b1x+b0）|x-a|在x≠a時(shí)的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式.

2.求出極值可疑點(diǎn)

將導(dǎo)函數(shù)f′（x）因式分解，求出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，由于f′（x）的分子在x≠a時(shí)的次數(shù)不超過三次，因此函數(shù)f（x）的極值可疑點(diǎn)最多會(huì)有三個(gè)（可以參考文獻(xiàn)［2］證明其中必有一個(gè)是a），不妨設(shè)為x1，x2，a.

3.確定分類討論的界點(diǎn)

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閰^(qū)間［c，d］，接下來我們考慮三個(gè)極值可疑點(diǎn)是否在定義域［c，d］內(nèi).通常有兩種方法：其一，考慮將x1，x2，a，c，d這五個(gè)量進(jìn)行整體排序，此時(shí)分類討論的界點(diǎn)為由這五個(gè)量兩兩相等而組成的方程（如x1=x2，x1=a，x1=c，x1=d…）的根（最多有-1=9個(gè)）；其二，先將三個(gè)極值可疑點(diǎn)x1，x2，a進(jìn)行排序（分類界點(diǎn)為方程x1=x2，x1=a，x2=a的根，最多有3個(gè)），然后將區(qū)間端點(diǎn)c，d插入既有排序之中（可能引發(fā)二次討論，每種排序下最多有+=10種）.以上都是理論意義上的，實(shí)際做題時(shí)該采用哪種方法，應(yīng)視具體函數(shù)而言.而筆者更傾向于后者，本文后面的例題也都采用方法二.

4.劃分討論范圍

設(shè)方程x1=x2，x1=a，x2=a的根分別為a1，a2，a3（設(shè)a1≤a2≤a3），將其插入?yún)?shù)a的允許范圍（不妨設(shè)a∈R）之中，即可獲得參數(shù)a的不同討論范圍，它們即為參數(shù)a的分類討論范圍.

5.排序極值可疑點(diǎn)

在上一步中的不同討論范圍中可以對x1，x2，a的大小進(jìn)行排序.顯然，不同討論范圍中的排列順序是不同的.

6.根據(jù)圖像大致變化趨勢求出函數(shù)最值

根據(jù)x1，x2，a的每一排序，從函數(shù)的單調(diào)性、極值、無窮遠(yuǎn)處的變化趨勢入手來畫草圖，然后截取圖像在區(qū)間［c，d］上的部分，最后根據(jù)所截圖像求出函數(shù)的最值.

三、導(dǎo)數(shù)公式（|x|）′=（x≠0）的應(yīng)用

例1（2009年高考江蘇卷·理20第2問）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求f（x）的最小值.

綜上可知

點(diǎn)評(píng)：由于極值可疑點(diǎn)的大小關(guān)系未定，因此需要分類討論.從例1可以看出，用導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的最值，盡管步驟比較機(jī)械化，但卻能大大降低思維量.

例2（2005年高考江蘇卷·理22第2問）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2|x-a|，求函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，2］上的最小值.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1≤x≤2），f（x）min=（f1）=|1-a|.

（1）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1＜x≤2），（fx）min=（f1）=1-a.

（5）當(dāng)a＞3時(shí)，（fx）在［1，2］上為增函數(shù)，（fx）min=（f1）= a-1.

綜上所述，f（x）min=

點(diǎn)評(píng)：本題參考答案是用零點(diǎn)分段法去絕對值化為分段函數(shù)然后求導(dǎo)數(shù)，比較煩瑣，而現(xiàn)在用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)時(shí)不用討論，相較而言更方便實(shí)用.

例3（2014年高考浙江卷·文21第1問）已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在［-1，1］上的最小值記為g（a），求g（a）.

（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若-1＜x＜a，則f′（x）=3（x2-1）＜0；若a＜x＜1，則f′（x）=3（x2+1）＞0.所以f（x）在［-1，a］上為減函數(shù)，在［a，1］上為增函數(shù)，g（a）=f（a）=a3.

（2）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）=3（x2-1）＜0（-1＜x＜1），因此g（a）=f（1）=3a-2.

例4（2015年高考湖北卷·文17改編）a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=|x2-ax|（a＞0）在區(qū)間［0，1］上的最大值記為g（a）.當(dāng)a=______________時(shí)，g（a）的值最小.

解析：當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，f（x）=x|x-a|.f′（x）=|x-a|+x（x≠a）.令f′（x）=0，得x=，而導(dǎo)數(shù)不存1在的可疑點(diǎn)為x2=a，因此，f（x）的所有極值可疑點(diǎn)為x1=，x=a.因?yàn)閍＞0，所以排序極值可疑點(diǎn)，得＜a.由于區(qū)2間端點(diǎn)為0與1，因此可得二次討論的界點(diǎn)為1，2.

（1）當(dāng)a＞2時(shí)，f′（x）=-（2x-a）＞-（2x-2）≥0（0≤x≤1），f（x）在［0，1］上為增函數(shù)，所以g（a）=f（1）=|1-a|.

（2）當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f（′x）=-（2x-a）＞0（ 0≤x＜），f（′x）=

（3）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）=-（2x-a）＞0（ 0≤x＜），得a=2-2或a=2（舍去）.當(dāng)0＜a≤2-2時(shí)，f）≤（f1），g（a）=（f1）=|1-a|.當(dāng)2-2＜a≤1時(shí)，f（）＞

點(diǎn)評(píng)：與例1不同的是，例2、例3、例4中的函數(shù)的定義域不再是實(shí)數(shù)集R，由于還得考慮區(qū)間的端點(diǎn)與極值可疑點(diǎn)的大小關(guān)系，因此往往還需要確定二次討論的分界點(diǎn)，最后得出函數(shù)在各個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最值.

總而言之，本文通過一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，詳細(xì)討論了函數(shù)（fx）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+ b）0|x-a|最值問題的解題策略和操作步驟（可為其他含參函數(shù)的最值問題提供借鑒），透射數(shù)學(xué)化歸的力量！

1.丁美琴.對“同類”高考試題的解析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（10）.

2.宋洪雪.關(guān)于一類含絕對值函數(shù)的求導(dǎo)問題［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2008（05）.