一類(lèi)隨機(jī)HIV病毒模型中正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性研究*

李 潔， 董玲珍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

一類(lèi)隨機(jī)HIV病毒模型中正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性研究*

李 潔， 董玲珍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

建立了一類(lèi)帶有隨機(jī)擾動(dòng)的隨機(jī)HIV病毒模型. 通過(guò)研究該模型， 運(yùn)用構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法， 分析了地方病平衡點(diǎn)的隨機(jī)穩(wěn)定性， 給出了地方病平衡點(diǎn)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件. 最后， 利用數(shù)值模擬的方法驗(yàn)證了所得結(jié)論.

隨機(jī)因素； HIV模型； It公式；Lyapunov函數(shù)； 隨機(jī)穩(wěn)定性

0 引 言

近年來(lái)， 越來(lái)越多的傳染病影響著人類(lèi)的生產(chǎn)和生活. 眾所周知， 艾滋病是嚴(yán)重危害人類(lèi)健康的疾病之一. 艾滋病是由人類(lèi)免疫缺陷病毒(HIV)引起的， HIV把人體中的T淋巴細(xì)胞作為攻擊目標(biāo)， 大量破壞并吞噬該細(xì)胞， 從而破壞人的免疫系統(tǒng)， 最終導(dǎo)致免疫力下降， 免疫系統(tǒng)崩潰， 使人類(lèi)喪失對(duì)疾病的抵抗力， 最終引發(fā)死亡. 鑒于其對(duì)人類(lèi)健康的嚴(yán)重威脅性， 近年來(lái)， HIV已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注. 許多學(xué)者通過(guò)建立相應(yīng)的HIV病毒傳染的數(shù)學(xué)模型， 利用各種數(shù)學(xué)理論來(lái)研究模型的動(dòng)力學(xué)行為， 進(jìn)而為控制和治療該疾病提供理論依據(jù).

文獻(xiàn)[1]中， 研究了一類(lèi)HIV病毒模型的動(dòng)力學(xué)行為， 討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題以及分支現(xiàn)象. 文獻(xiàn)[2]中， 建立了一類(lèi)帶時(shí)滯的HIV-1模型， 研究了模型中平衡點(diǎn)的全局漸近行為. 同樣， 在文獻(xiàn)[3-4]中， 研究了各種HIV病毒模型， 并給出了病毒存在與絕滅的臨界值-基本再生數(shù). 文獻(xiàn)[3]中建立了如下確定性HIV模型

(1)

本文類(lèi)似于文獻(xiàn)[9]中添加白噪聲干擾的方法， 對(duì)確定模型(1)添加相應(yīng)的白噪聲， 得到的隨機(jī)模型為

(2)

式中：Bi(t)是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)；σi(i=1,2,3)為布朗運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度.

1 模型(2)的地方病平衡點(diǎn)的隨機(jī)穩(wěn)定性

顯然， 當(dāng)R0>1時(shí)， 系統(tǒng)(2)具有與系統(tǒng)(1)相同的地方病平衡點(diǎn)P*. 一個(gè)很自然的問(wèn)題是: 系統(tǒng)中所引進(jìn)的隨機(jī)擾動(dòng)如何影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為. 特別是， 這一隨機(jī)擾動(dòng)是否會(huì)影響地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性. 此即為本節(jié)將要討論的主要內(nèi)容. 首先介紹一些基本的定義與一些相關(guān)的引理.

在下文中， {Ω,F,{Ft}t≥0,P}是一個(gè)完備的概率空間， {Ft}t≥0滿(mǎn)足一般的條件(它是線(xiàn)性增長(zhǎng)和右連續(xù)的， 其中F0包括所有的P-null集).

考慮d維的隨機(jī)微分方程如下[10]

(3)

式中： B(t)是定義在上述概率空間上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng). 初值x(t0)=x0, x(t;t0,x0)表示t時(shí)刻隨機(jī)微分方程(3)的平凡解或平衡位置.

定義 1[10]1) 若任意的ε∈(0,1)和r>0， 存在δ=δ(ε,r,t0)>0， |x0|<δ， 使得下面的條件滿(mǎn)足

則系統(tǒng)(3)的平凡解是隨機(jī)穩(wěn)定的或者依概率穩(wěn)定， 否則， 稱(chēng)隨機(jī)不穩(wěn)定.

2) 若平凡解是隨機(jī)穩(wěn)定的， 對(duì)于任意的ε∈(0,1)， 存在δ0=δ0(ε,t0)>0， |x0|<δ， 使得下面的條件滿(mǎn)足

則稱(chēng)系統(tǒng)(3)的平凡解是隨機(jī)漸近穩(wěn)定的.

3) 若平凡解是隨機(jī)漸近穩(wěn)定的， 對(duì)于任意的x0∈ Rd， 使得下面的條件滿(mǎn)足

則稱(chēng)系統(tǒng)(3)的平凡解是全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定的.

引理 1[11]假設(shè)存在V函數(shù): V(z,t)∈ C2(Ω)滿(mǎn)足下面的條件

其中， ω>0， Ki(i=1,2,3)是正常數(shù)， 則對(duì)于t≥0， 系統(tǒng)(3)的平凡解是ω次指數(shù)穩(wěn)定的， 當(dāng)ω=2時(shí)， 平凡解是均方指數(shù)穩(wěn)定的. 也就是說(shuō)， 系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)是隨機(jī)穩(wěn)定的.

對(duì)于隨機(jī)模型(2)有如下定理:

定理 1 若R0>1， 且滿(mǎn)足

那么該系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)P*是隨機(jī)穩(wěn)定的. 其中R0仍為文獻(xiàn)[1]中所定義的基本再生數(shù).

證明 對(duì)模型(2)作變換， 令X=x-x*， Y=y-y*， Z=v-v*， 可得到

(kY+ky*-uZ-uv*)dt+σ3ZdB3(t)=

(kY-uZ)dt+σ3ZdB3(t).

不妨仍用x， y， z 分別表示X， Y， Z， 那么可以得到如下模型

(4)

其中， a>0， b>0， c>0待定. 令

由It公式， 可得

從而

LV1+LV2+LV3=

選取a(d+p)=bβv*， 則有

又因

故

由已知， 得

又由于

從而

可以選取合適的a>0， c>0， 使之滿(mǎn)足:

即

(5)

且

(6)

由式(5)和式(6)， 可以得到

(7)

(8)

(9)

(10)

即

又因bβxyz=o(x2+y2+z2)， 故

LV=LV1+LV2+LV3=

其中

這樣，由引理1知，模型(4)的零解是隨機(jī)穩(wěn)定的，即隨機(jī)模型(2)的地方病平衡點(diǎn)是隨機(jī)穩(wěn)定的.

2 數(shù)值模擬

本文采用文獻(xiàn)[12]中的離散方法對(duì)模型(2)進(jìn)行離散， 從而對(duì)確定性模型和相應(yīng)的隨機(jī)模型進(jìn)行數(shù)值模擬， 分析隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響.

選取初值x1=50， y1=50， v1=5， 選取參數(shù)λ=10， β=0.01， d=0.1， k=0.1， p=0.1， u=0.8， 易求得R0=1.25>1， 此時(shí)確定性系統(tǒng)(1)存在全局穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)(80,20,2.5). 在該系統(tǒng)中引進(jìn)隨機(jī)擾動(dòng):

1) 取白噪聲強(qiáng)度系數(shù)為σ1=σ2=σ3=0.05， 利用Matlab軟件， 可以分別得到隨機(jī)模型和確定模型中x(t)， y(t)， v(t)隨時(shí)間t變化的對(duì)比圖像， 如圖 1 所示.

圖 1 σ1=σ2=σ3=0.05時(shí)系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)中 x(t)，y(t)，v(t)隨時(shí)間t的變化對(duì)比圖Fig.1 Change of x(t), y(t) and v(t) with time in σ1=σ2=σ3=0.05

2) 取白噪聲強(qiáng)度系數(shù)為σ1=σ2=σ3=0.1， 利用Matlab軟件， 可以分別得到隨機(jī)模型和確定模型中x(t)， y(t)， v(t)隨時(shí)間t變化的對(duì)比圖像， 如圖 2 所示.

圖 2 σ1=σ2=σ3=0.1時(shí)系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)中 x(t)，y(t)，v(t)隨時(shí)間t的變化對(duì)比圖Fig.2 Change of x(t), y(t) and v(t) with time in σ1=σ2=σ3=0.1

圖 1 和圖 2 的標(biāo)注中， x1(t)，y1(t)，v1(t)分別表示隨機(jī)模型中健康T細(xì)胞， 被感染T細(xì)胞和HIV病毒粒子的濃度隨時(shí)間t的變化圖像； x2(t)， y2(t)， v2(t)分別表示確定模型中健康T細(xì)胞， 被感染T細(xì)胞和HIV病毒粒子的濃度隨時(shí)間t的變化圖像. 圖 1 和圖 2 表明：1) 確定模型(1)的正平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的， 隨機(jī)模型(2)的解在確定模型(1)的解附近做隨機(jī)振動(dòng)， 且當(dāng)t→+∞時(shí)， 隨機(jī)系統(tǒng)(2)的解趨于正平衡點(diǎn)；

2) 在滿(mǎn)足定理1的條件下的白噪聲強(qiáng)度中， 噪聲強(qiáng)度越小， 解的振動(dòng)幅度越?。?相反， 噪聲強(qiáng)度越大， 解的振動(dòng)幅度越大. 說(shuō)明噪聲強(qiáng)度的大小影響著隨機(jī)系統(tǒng)解的振動(dòng)幅度.

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Stability of the Endemic Equilibrium in a HIV Model with Random Perturbation

LI Jie， DONG Ling-zhen

(College of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China)

A class of HIV model with random perturbation is established, and by using Lyapunov function, the stochastic stability of endemic equilibrium is analyzed, then the sufficient condition of the stochastic stability of endemic equilibrium is given. Finally, numerical simulations are carried out to support the theoretical analysis.

random perturbation； HIV model； Itformula； Lyapunov function； stochastic stability

1673-3193(2017)01-0019-05

2016-03-04

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(210030)； 山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013011002-3)

李 潔(1990-)， 女， 碩士生， 主要從事微分方程理論及其應(yīng)用研究.

O175

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.004