王 甲， 李東喜

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

有界噪聲激勵(lì)下神經(jīng)系統(tǒng)中反隨機(jī)共振現(xiàn)象研究*

王 甲， 李東喜

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

為了考察噪聲對(duì)神經(jīng)元系統(tǒng)中內(nèi)部信息傳遞的作用， 研究了有界噪聲對(duì)神經(jīng)元放電行為的影響， 特別是噪聲對(duì)神經(jīng)元放電的抑制效應(yīng)即反隨機(jī)共振現(xiàn)象. 通過蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法， 系統(tǒng)研究了當(dāng)輸入電流激發(fā)神經(jīng)元持續(xù)放電的情況下， 有界噪聲中各參數(shù)對(duì)神經(jīng)元平均放電率的影響. 研究發(fā)現(xiàn)， 隨機(jī)相位能抑制神經(jīng)元的放電行為， 即產(chǎn)生反隨機(jī)共振現(xiàn)象； 振幅越大， 頻率越小， 抑制效果越明顯； 且在穩(wěn)定的振幅和頻率條件下， 電流強(qiáng)度越小， 平均放電率越小， 抑制效果越明顯. 該抑制效應(yīng)的研究對(duì)生物醫(yī)學(xué)疾病如癲癇具有重要的理論意義.

有界噪聲； Hodgkin-Huxley神經(jīng)元模型； 抑制效應(yīng)； 反隨機(jī)共振

神經(jīng)系統(tǒng)中噪聲能潛在地提高系統(tǒng)的信息處理能力這一特性使得噪聲對(duì)神經(jīng)元放電的影響得到越來(lái)越多的關(guān)注， 并發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)共振的機(jī)制， 即微弱的輸入信息可以被放大， 并在噪聲的激勵(lì)下得到優(yōu)化. 之前的實(shí)驗(yàn)和理論研究表明， 噪聲可以改善檢測(cè)、 集成和傳輸?shù)男盘?hào)， 并且導(dǎo)致許多復(fù)雜的特征， 比如同步性和放電性[1-2]. 與隨機(jī)共振相比， 最近的研究大都集中在隨著噪聲強(qiáng)度的增大產(chǎn)生在節(jié)奏放電過程中的抑制效果， 特別是小幅度的噪聲可降低平均放電率， 甚至完全停止神經(jīng)元的放電活動(dòng). 由于此噪聲神經(jīng)元反應(yīng)的機(jī)理與隨機(jī)共振是相反的,故稱這種新現(xiàn)象為反隨機(jī)共振現(xiàn)象. 在大腦中， 神經(jīng)元放電活動(dòng)涉及極限環(huán)在正常和癲癇狀態(tài)下的活性， 如果這種振蕩附近出現(xiàn)一個(gè)分岔點(diǎn)， 那么靠近分叉點(diǎn)噪聲就可以很容易地使細(xì)胞進(jìn)入靜息狀態(tài)， 隨著噪聲水平的繼續(xù)增強(qiáng)細(xì)胞將再次回到正常放電狀態(tài)， 這便是一個(gè)由噪音引起的反隨機(jī)共振現(xiàn)象[3-7]. 實(shí)際上， 反隨機(jī)共振機(jī)制廣泛存在于各種生物醫(yī)學(xué)和金融經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中， 如何利用其機(jī)制趨利避害是目前許多交叉學(xué)科的研究熱點(diǎn).

反隨機(jī)共振的研究始于噪聲在烏賊軸突效應(yīng)下對(duì)體外的神經(jīng)起搏器的影響， 從中發(fā)現(xiàn)小噪聲可以誘發(fā)重復(fù)放電和靜息之間的切換行為， 這意味著當(dāng)輸入電流強(qiáng)度達(dá)到放電閾值時(shí)， 在一個(gè)適度的噪聲強(qiáng)度范圍內(nèi)存在一個(gè)最小的甚至靜息的放電狀態(tài)[8]. 最近有學(xué)者研究了Hodgkin-Huxley神經(jīng)元模型(簡(jiǎn)稱HH模型)中加性高斯白噪聲和傳導(dǎo)噪聲對(duì)神經(jīng)元重復(fù)放電的影響[3]， 在加性高斯白噪聲激勵(lì)下， 當(dāng)平均輸入電流密度在6.6 μA/cm2這一放電閾值附近時(shí)， 隨著噪聲水平的增大， 150 ms 內(nèi)放電產(chǎn)生的尖峰數(shù)目出現(xiàn)了明顯的最小值[4]； 在傳導(dǎo)噪聲驅(qū)動(dòng)下， 當(dāng)電導(dǎo)系數(shù)不是遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于0.112 mS/cm2這一放電閾值時(shí)， 隨著噪聲水平的增加平均放電率也出現(xiàn)了明顯的最低值[5]. 郭大慶研究了HH模型在高斯色噪聲激勵(lì)下的神經(jīng)元放電現(xiàn)象時(shí)也得到了類似的結(jié)論， 并發(fā)現(xiàn)高斯色噪聲對(duì)神經(jīng)元放電的抑制效果要比高斯白噪聲強(qiáng)[6]. Muhammet Uzuntarla另辟蹊徑， 在Morris-Lecar(ML)神經(jīng)元模型中通過改變突觸電流也發(fā)現(xiàn)了神經(jīng)元放電的抑制效果[7]， 使得反隨機(jī)共振研究得到進(jìn)一步拓展.

由于白噪聲在現(xiàn)實(shí)世界中不存在， 且又是無(wú)界的， 故假設(shè)隨機(jī)因素為白噪聲情形有其一定的缺陷和局限性. 本文假設(shè)隨機(jī)因素為一種有界噪聲， 相對(duì)于白噪聲而言， 有界噪聲既考慮了噪聲振幅和頻率， 又考慮了隨機(jī)相位， 更符合噪聲的實(shí)際形態(tài). 為此， 本文研究了有界噪聲對(duì)神經(jīng)元放電的抑制效應(yīng)即反隨機(jī)共振現(xiàn)象. 通過引入平均放電率， 系統(tǒng)研究了輸入電流和有界噪聲共同作用對(duì)神經(jīng)元放電行為的影響.

1 模型和噪聲

1.1 Hodgkin-Huxley神經(jīng)元模型

1952 年， Hodgkin和Huxley利用電壓鉗在實(shí)驗(yàn)室中發(fā)現(xiàn)了魷魚(烏賊)巨軸突上的細(xì)胞膜與形成動(dòng)作電位的離子電導(dǎo)的時(shí)間特征， 同時(shí)測(cè)定出電流與電壓的關(guān)系， 建立了一套神經(jīng)元模型， 即Hodgkin-Huxley神經(jīng)元模型[9]， 其精確描述了動(dòng)作電位的生理特征， 如動(dòng)作電位沿軸突的傳播、 興奮性、 適應(yīng)性等[10]. HH神經(jīng)元模型由4個(gè)非線性微分方程組成， 表示為

(1)

方程組中n表示某種粒子處于正確位置時(shí)才能打開鉀例子通道的概率；αn為鉀離子通道從關(guān)閉狀態(tài)到開啟狀態(tài)的速度常數(shù)；βn為鉀離子通道從開啟狀態(tài)到關(guān)閉狀態(tài)的速度常數(shù)；m為鈉離子通道活化過程參數(shù)， 表示某一特性粒子處于正確位置時(shí)鈉離子通道激活過程中的概率；h為鈉通道失活化過程參數(shù)， 表示某一特性粒子處于正確位置時(shí)鈉離子通道失活過程中的概率；αm，βm，αh和βh均為描述鈉離子通道狀態(tài)變化的. 為了研究噪聲對(duì)HH模型中神經(jīng)元放電的影響， 采用最常用的Fox算法[11]， 控制變量αn,βn,αm,βm,αh和βh遵循以下方程

(2)

1.2 有界噪聲

高斯白噪聲， 高斯色噪聲以及非高斯色噪聲等噪聲都是無(wú)界的， 噪聲路徑并沒有一個(gè)嚴(yán)格的范圍. 本文采用有界噪聲， 其形式為[12]

(3)

式中：A和ω分別是表示有界噪聲的振幅以及頻率；W(t)是標(biāo)準(zhǔn)維納過程；γ是添加到維納過程W(t)上的噪聲強(qiáng)度. 有界噪聲ξ(t)可以改寫成如下微分形式

(4)

或者可以將其理解成如下的積分形式

(5)

式中：ζ(t)是高斯白噪聲.

由方程(5)以及高斯白噪聲的性質(zhì)可以知道，θ(t)的均值〈θ(t)〉=ωt， 自相關(guān)函數(shù)〈θ(t)θ(t+τ)〉=ω2t(t+τ)+γ2min(t,t+τ)，τ>0. 這說明ξ(t) 的均值和自相關(guān)函數(shù)如下

(6)

當(dāng)t→∞時(shí)，ξ(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)變?yōu)?/p>

(7)

在極限條件下， 功率譜密度為

(8)

2 有界噪聲激勵(lì)下反隨機(jī)共振現(xiàn)象

在生物細(xì)胞中， 神經(jīng)元的放電現(xiàn)象被認(rèn)為是一個(gè)由于存在多種噪聲來(lái)源引起的隨機(jī)過程. 隨機(jī)性顯然是通過產(chǎn)生高度變量脈沖序列的神經(jīng)元來(lái)體現(xiàn)的， 并在神經(jīng)元周圍環(huán)境的各種刺激下自發(fā)地進(jìn)行神經(jīng)活動(dòng).

在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中， 神經(jīng)元在同一頻率能夠節(jié)奏性放電[14]， 這樣產(chǎn)生的穩(wěn)定極限環(huán)經(jīng)常出現(xiàn)一個(gè)分岔機(jī)理[15]， 當(dāng)一個(gè)參數(shù)， 如電流強(qiáng)度在HH模型中不斷變化時(shí)， 可能會(huì)產(chǎn)生某一臨界閾值. 從圖1電流閾值圖中發(fā)現(xiàn)，HH模型中引起神經(jīng)元產(chǎn)生尖峰放電的電流臨界閾值為μ=4.156 6mA， 即電流強(qiáng)度達(dá)到μ=4.156 6mA時(shí)神經(jīng)元才能由穩(wěn)定的靜息狀態(tài)進(jìn)入放電狀態(tài)： 低于臨界值時(shí)， 神經(jīng)元基本處于靜息態(tài)， 不能產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)， 膜電位穩(wěn)定在0mV左右， 如圖 1 相圖中無(wú)噪聲且電流強(qiáng)度μ=4mA時(shí)； 高于臨界值時(shí)， 神經(jīng)元會(huì)放電并產(chǎn)生尖峰， 形成一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)， 如圖 2 相圖中無(wú)噪聲且電流強(qiáng)度μ=6.6mA時(shí). 一旦有噪聲干擾， 極限環(huán)的吸引域就會(huì)變得比較狹窄， 如圖2有噪聲的情況時(shí)， 一定強(qiáng)度的噪聲甚至可以讓神經(jīng)元達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)， 使放電行為終止： 當(dāng)噪聲小時(shí)， 通常靜息態(tài)會(huì)維持很長(zhǎng)的時(shí)間， 但對(duì)于較大的噪聲， 放電行為恢復(fù)并隨后出現(xiàn)一段靜息狀態(tài).

圖 1 電流閾值圖Fig.1 Figure of current threshold

圖 2 相圖Fig.2 Phase diagram

計(jì)算模型的平均放電率以求得等概率隨機(jī)均勻選擇的固定在四維狀態(tài)空間(V,m,n,h)的區(qū)域A神經(jīng)元的膜面積固定值率， 并輸入電流I0. 然后計(jì)算發(fā)生時(shí)間間隔τ的尖峰的數(shù)目. 每個(gè)尖峰事件限定向上交叉的膜電位閾值為50 mV. 這整個(gè)過程被重復(fù)N次， 平均放電速率[16]

(9)

利用數(shù)值模擬方法， 固定頻率ω=0.5 Hz， 電流μ=6.6 mA， 得到圖 3(a)， 研究振幅不同的情況下神經(jīng)元平均放電率關(guān)于噪聲強(qiáng)度的變化情況. 可以看出， 達(dá)到神經(jīng)元放電的電流閾值后， 隨著噪聲強(qiáng)度的增大， 神經(jīng)元平均放電率都呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)， 即出現(xiàn)了反隨機(jī)共振現(xiàn)象. 當(dāng)噪聲強(qiáng)度不足以抑制尖峰放電時(shí)(小于101量級(jí))， 平均放電率隨著噪聲強(qiáng)度的增大呈現(xiàn)快速遞減的趨勢(shì)， 當(dāng)不再受到抑制時(shí)(大于101量級(jí))， 平均放電率隨噪聲強(qiáng)度增大單調(diào)遞增. 因此神經(jīng)元放電受有界噪聲振幅的影響， 在一定范圍內(nèi)， 振幅越大， 抑制效果越明顯. 有界噪聲的振幅A在一定條件下能抑制神經(jīng)元放電， 這與以往白噪聲強(qiáng)度在一定條件下能抑制神經(jīng)元放電具有類似的結(jié)論[5].

圖 3 有界噪聲激勵(lì)下振幅A， 頻率ω和電流μ變化 對(duì)平均放電率的影響Fig.3 Influence of amplitude, frequency and current intensity on average spiking rate driven by bounded noise

其次， 固定振幅A=2， 電流μ=6.6 mA得到圖 3(b)， 研究頻率不同的情況下神經(jīng)元平均放電率關(guān)于噪聲噪聲強(qiáng)度的變化情況. 可以看到， 振幅ω取不同值時(shí)隨著噪聲強(qiáng)度的增大， 均出現(xiàn)了神經(jīng)元放電的抑制效果， 并且隨著頻率的增加， 神經(jīng)元出現(xiàn)最弱的放電現(xiàn)象時(shí)所對(duì)應(yīng)的噪聲強(qiáng)度越來(lái)越大， 不再有抑制效果時(shí)， 原來(lái)抑制效應(yīng)最好的恢復(fù)到促進(jìn)狀態(tài)時(shí)的效果最佳. 可以總結(jié)出神經(jīng)元平均放電率受到有界噪聲頻率ω的影響， 在抑制效果值域范圍內(nèi)， 頻率越小， 反隨機(jī)共振效果越佳， 恢復(fù)到促進(jìn)放電狀態(tài)時(shí)反倒是頻率越大， 促進(jìn)效果越佳. 此外， 與以往研究高斯白噪聲[3-5]和色噪聲[6]相比， 有界噪聲可以明確地研究噪聲的頻率對(duì)神經(jīng)元放電行為的影響， 而不僅僅考慮噪聲強(qiáng)度和相關(guān)時(shí)間等隨機(jī)因素對(duì)其影響.

最后， 固定振幅A=0.5， 頻率ω=7 Hz， 得到圖 3(c)， 研究電流強(qiáng)度對(duì)神經(jīng)元平均放電率的影響. 能夠發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)電流強(qiáng)度達(dá)到放電閾值以后， 神經(jīng)元平均放電率隨著噪聲強(qiáng)度的增大呈現(xiàn)先減小后增大的情況， 抑制效果很好， 并且平均放電率對(duì)電流強(qiáng)度敏感度很高， 電流強(qiáng)度很小的變化足以引起放電抑制效果的很大差異， 從而得出達(dá)到放電閾值后的電流強(qiáng)度的大小對(duì)神經(jīng)元放電抑制效果敏感性很大， 在適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)， 電流值越小放電抑制效果越好.

3 結(jié) 論

本文系統(tǒng)研究了有界噪聲對(duì)神經(jīng)元放電行為的影響， 結(jié)果顯示噪聲能使神經(jīng)元原來(lái)的放電行為受到抑制. 同時(shí)研究發(fā)現(xiàn)， 隨機(jī)相位能抑制神經(jīng)元的放電行為， 即產(chǎn)生反隨機(jī)共振現(xiàn)象； 振幅越大， 頻率越小， 抑制效果越明顯； 且在穩(wěn)定的振幅和頻率條件下， 電流強(qiáng)度越小， 平均放電率越小， 抑制效果越明顯.

此外， 由于隨機(jī)噪聲的存在使得神經(jīng)元放電行為受到抑制的現(xiàn)象出現(xiàn)在多種神經(jīng)元模型中， 由此可以斷言反隨機(jī)共振現(xiàn)象在神經(jīng)及生物系統(tǒng)中是普遍存在的. 此外， 由于時(shí)滯的普遍存在性， 時(shí)滯系統(tǒng)中噪聲的抑制效應(yīng)亦值得關(guān)注. 為此， 研究多種神經(jīng)及生物系統(tǒng)、 時(shí)滯系統(tǒng)中反隨機(jī)共振現(xiàn)象是下一步需研究的課題， 尤其是在常見生物醫(yī)學(xué)疾病比如情感性精神障礙的應(yīng)用研究亦有待進(jìn)一步挖掘.

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Inverse Stochastic Resonance in Neural System Induced by Bounded Noise

WANG Jia, LI Dong-xi

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

In order to study the effect of noise on the information transmission in neural system, firing of neural system driven by the bounded noise was discussed, especially the inhibitory effect of neuron firing, which was called the phenomenon of inverse stochastic resonance. Through the stochastic simulation method of Monte Carlo, the influence of parameters of bounded noise on the average spiking rate was systemic studied when the neurons were in the continuous firing state under the input current. Investigation results indicate that random phase can restrain neural spiking and induce the phenomenon of inverse stochastic resonance. Meantime, the bigger the amplitude is, and the smaller the frequency is, the better of the inhibition on the neural spiking is. In addition, the smaller the current intensity is, the smaller the average spiking rate is and it is means that the inhibition effect is more distinct. The research of inhibitory effect gives an important theoretical significance on the treatment of medical diseases such as epilepsy.

bounded noise; Hodgkin-Huxley neuron model; inhibitory effect; inverse stochastic resonance

1673-3193(2017)01-0031-05

2016-03-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402157)； 山西省回國(guó)留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(2015-032)

王 甲(1991-)， 女， 碩士生， 主要從事生物系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究.

O211.6

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.01.007