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      幾何畫板平臺(tái)上的問題探究設(shè)計(jì)與適時(shí)介入策略研究

      2017-02-28 17:28:36陳敏軍
      啟迪·教育教學(xué) 2017年2期
      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)探究幾何畫板

      陳敏軍

      [摘 要] 本文通過運(yùn)用幾何畫板運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn),闡述幾何畫板平臺(tái)上的數(shù)學(xué)探究問題設(shè)計(jì)、探索過程和反思過程。在探究過程中,教師根據(jù)問題思維的深度,利用幾何畫板適時(shí)介入,根據(jù)幾何畫板的數(shù)與形結(jié)合的特點(diǎn),幫助學(xué)生探究問題,歸納知識(shí),激發(fā)探究的欲望。

      [關(guān)鍵詞] 幾何畫板 數(shù)學(xué)探究 適時(shí)介入 反思提高

      隨著新課改不斷深入,在“輕負(fù)高質(zhì)”的理念指導(dǎo)下,數(shù)學(xué)問題探究教學(xué)設(shè)計(jì)已經(jīng)被廣大數(shù)學(xué)教師所重視,在數(shù)學(xué)課堂上呈現(xiàn)了豐富多彩的探究形式。數(shù)學(xué)問題探究是學(xué)生不斷嘗試、不斷思考的過程。我們?cè)O(shè)計(jì)問題探究時(shí),問題不宜過多,在提問難度和范圍設(shè)計(jì)上要貼切學(xué)生實(shí)際。在教學(xué)中,我們要更新理念,轉(zhuǎn)變問題探究的主體對(duì)象,保障學(xué)生探究問題的時(shí)間,提高學(xué)生的參與率,使學(xué)生的探究過程真實(shí)有效。

      我們?cè)陂L(zhǎng)期教學(xué)研究中,提出了將問題探究建立幾何畫板平臺(tái)上,教師利用幾何畫板適時(shí)介入,將抽象問題數(shù)學(xué)化,通過數(shù)與形幾何處理,由淺入深。在學(xué)生充分思考、探究的過程中,教師利用學(xué)生之間相互交流、合作等學(xué)習(xí)活動(dòng)形式,引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)問題的探究活動(dòng)。

      一、創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)學(xué)生的探究欲望

      充分利用幾何畫板運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn),創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

      探究活動(dòng)是從問題開始的,但問題的設(shè)置需要教師善于把握教材的內(nèi)容,通過設(shè)置問題,讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突,激發(fā)學(xué)生探究的望。

      1.設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為背景,使問題具有發(fā)現(xiàn)性,讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣;

      2.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題答案的多樣性,一題多解,答案不唯一等,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維;

      3.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題串,根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),問題難度由易到難,由淺入深,使問題具有一定的層次;

      4.設(shè)計(jì)學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)的問題,培養(yǎng)學(xué)生合作的能力。

      例如,近幾年,初中數(shù)學(xué)中考屢屢出現(xiàn)利用函數(shù)圖象探索函數(shù)表達(dá)式(含字母系數(shù))中的系數(shù)取值范圍的問題。這類問題往往比較抽象,需要學(xué)生理解函數(shù)表達(dá)式中字母系數(shù)的變化與函數(shù)圖象的變化的規(guī)律,例如二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中a,b,c的變化與函數(shù)圖象的變化規(guī)律。在教學(xué)中,讓學(xué)生理解系數(shù)a,b,c對(duì)函數(shù)圖象的影響,有很大困難。究其原因,主要是學(xué)生缺乏抽象思維的能力,僅僅靠老師的傳授,得到的一些規(guī)律,學(xué)生終究還是不理解,就不能運(yùn)用得到的數(shù)學(xué)規(guī)律來解題。如何讓學(xué)生直觀感受這種數(shù)學(xué)規(guī)律呢?筆者借助幾何畫板的運(yùn)動(dòng)變化功能,適時(shí)介入,比較形象地、直觀地展現(xiàn)了比例系數(shù)的變化引起圖象的變化規(guī)律。

      對(duì)于這個(gè)問題,我們可以設(shè)計(jì)一堂數(shù)學(xué)探究課,讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)、觀察、探究等過程,親身感受變化過程。

      【問題設(shè)計(jì)目的】經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、應(yīng)用等思維過程,讓學(xué)生直觀感受二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中,圖象與系數(shù)a,b,c的關(guān)系。

      【體驗(yàn)】畫出二次函數(shù)y=x2,y=2x2,y=3x2的圖象,試比較他們開口的大小。

      【探索】探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中a,b,c的變化與函數(shù)圖象的變化規(guī)律。

      當(dāng) 增大時(shí),二次函數(shù)的開口是怎樣變化的?b,c的變化對(duì)二次函數(shù)的圖像形狀有什么影響?對(duì)圖像的位置有影響嗎?

      二、根據(jù)學(xué)情,適時(shí)介入幾何畫板輔助

      教師根據(jù)學(xué)生的探究情況,適時(shí)、合理利用幾何畫板輔助介入。

      教師是學(xué)生探究問題的引導(dǎo)者,只有在學(xué)生探索問題有困難的情況下,教師才適時(shí)介入學(xué)生的探究活動(dòng)。

      1.當(dāng)學(xué)生能探究結(jié)果的數(shù)學(xué)問題,教師不需利用幾何畫板輔助介入;

      2.當(dāng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題具有一定困難時(shí),并且在充分的獨(dú)立思考的情況下,教師組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí),利用小組智慧幫助;

      3.當(dāng)小組合作探究仍然存在理解困難時(shí),教師可利用幾何畫板輔助適時(shí)、合理介入,充分利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)過程顯示,幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)量與量之間的關(guān)系。

      根據(jù)前面設(shè)計(jì)的探究二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系的幾個(gè)問題,我們需要做以下輔助。

      【體驗(yàn)】學(xué)生獨(dú)立完成,在動(dòng)手操作中,直觀感受圖象的開口大小與a的關(guān)系:a的值越大,圖象的開口就越大。此問題不需要幾何畫板輔助介入。

      【探索】有了上面的經(jīng)歷,學(xué)生可能歸納出:a的值越大,圖象的開口就越大。這只是學(xué)生初步的感受,而且是在二次項(xiàng)系數(shù)a是正數(shù)的情況下,得出的一個(gè)片面的結(jié)論。我們不需要急于糾正學(xué)生的這種想法。而且,b和c的值的變化對(duì)圖像有何影響,學(xué)生還沒有直觀感受。因此,需要幾何畫板的輔助介入。

      (一)幾何畫板輔助介入過程

      1、打開幾何畫板,建立直角坐標(biāo)系,在x軸上取一點(diǎn)計(jì)算該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a;同樣的方法,計(jì)算b和 c。繪制二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像;

      2、改變a的大小,a的值與二次函數(shù)的圖像也發(fā)生變化。如圖1、圖2、圖3和圖4;

      3、改變b和c的大小,b的值與二次函數(shù)的圖像也發(fā)生變化。如圖5和圖6;

      (二)觀察與歸納

      當(dāng)改變a的大小時(shí),二次函數(shù)圖像的開口大小也隨之改變。當(dāng) 越大時(shí),二次函數(shù)的開口就越?。欢鴅和c的大小變化不影響二次函數(shù)的形狀,影響函數(shù)圖像的位置。

      三、倡導(dǎo)動(dòng)手,讓學(xué)生在體驗(yàn)中思考探究

      設(shè)計(jì)動(dòng)手操作問題,讓學(xué)生體驗(yàn)問題探究的思想與方法。幾何畫板適時(shí)介入,解決學(xué)生動(dòng)手操作、思維困難的問題。

      新課標(biāo)明確提出,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力。讓學(xué)生在動(dòng)手操作中,體驗(yàn)、感受數(shù)學(xué)的過程。設(shè)計(jì)一些讓學(xué)生動(dòng)手操作的探索問題,有利于提高學(xué)生的動(dòng)手能力與思維能力。當(dāng)學(xué)生在動(dòng)手操作解決問題存在困難時(shí),我們利用幾何畫板適時(shí)介入,幫助、引導(dǎo)學(xué)生解決困難。例如,當(dāng)我們完成探索二次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系時(shí),為了進(jìn)一步鞏固二次項(xiàng)系數(shù)的變化與圖象的關(guān)系,我們可以作以下設(shè)計(jì),既可以鞏固知識(shí),又能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力,還能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

      【合作交流】

      (1)動(dòng)手畫一畫:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像的頂點(diǎn)在第一象限,且經(jīng)過(0,1),(-1,0),試探究a的范圍。

      (2)動(dòng)手試一試:當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的二次項(xiàng)系數(shù)a趨近于零時(shí),函數(shù)圖象的開口大小變化是怎樣的?

      (3)嘗試與鞏固:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像的頂點(diǎn)在第二象限,且經(jīng)過(0,2),(2,0)則S=4a-2b+c的范圍是______________

      【分析】

      (1)學(xué)生可以通過畫圖,發(fā)現(xiàn)a的取值范圍。

      (2)教師利用幾何畫板適時(shí)介入,讓學(xué)生觀察:當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的二次項(xiàng)系數(shù)a趨近于零時(shí),函數(shù)圖象的開口大小變化是怎樣的?

      學(xué)生小組合作,感受二次函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a趨近于零時(shí),拋物線趨近于直線。如圖7、圖8、圖9。

      (3)分析:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與直線x=-2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是S的值。因此,只需要根據(jù)圖像觀察,交點(diǎn)的最低處和最高處即可。根據(jù)圖像可以看出,當(dāng)拋物線的開口最小時(shí),頂點(diǎn)在y軸上,交點(diǎn)最低;當(dāng)拋物線接近一條直線時(shí),開口最大,交點(diǎn)最高(如下圖10、11所示)。

      由上圖可以看出,S的范圍是0

      四、引導(dǎo)反思,讓學(xué)生自主歸納方法與成果

      探究活動(dòng)后,引導(dǎo)學(xué)生反思、歸納探究的方法和成果,利用幾何畫板變式訓(xùn)練,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的成活率。

      探究活動(dòng)結(jié)束后,教師應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)重要的環(huán)節(jié),就是要引導(dǎo)學(xué)生反思?xì)w納探究的結(jié)果和探究的思想方法。通過引導(dǎo)學(xué)生反思整理探究的思維過程,回顧探究的思維策略,分析解決問題的本質(zhì)和解決問題的方法,還有出錯(cuò)原因的分析等,引導(dǎo)學(xué)生分析反思是怎樣發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的,應(yīng)用了哪些基本的思考方法、技能和技巧,走過哪些彎路,從中獲得哪些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),進(jìn)行認(rèn)真的剖析,逐漸培養(yǎng)隨時(shí)監(jiān)控自己的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的習(xí)慣。引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,產(chǎn)生“質(zhì)疑”,在學(xué)生自我糾正錯(cuò)誤的過程中透過表面現(xiàn)象,而抓住問題本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生全方位、多角度、多層次地分析、研究、解決問題,從而激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望,幫助學(xué)生理解認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和反思能力。通過設(shè)計(jì)一些變式訓(xùn)練,加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的訓(xùn)練,提高學(xué)生知識(shí)的成活率,將知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生自己的知識(shí)。促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

      例如,前面在探究二次函數(shù)的系數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)系的時(shí)候,我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)環(huán)節(jié)。

      【反思與變式】1、我們探索二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c的變化引起函數(shù)圖象的變化時(shí),我們采用了哪些方法?或者受到什么啟發(fā)?

      2、我們通過觀察探究,我們得到的那些結(jié)論?這些結(jié)論往往用于解決什么類型的問題?

      3、變式與鞏固:用探究的結(jié)論解決以下問題?

      (1)已知二次函數(shù)y1=a1x2、y2=a2x2、y3=a3x2的圖象如圖所示,請(qǐng)你判斷二次項(xiàng)系數(shù)a1、a2和a3的大小。

      (2)在直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,4),(1,2),(5,2),(5,4),x軸上有一點(diǎn)E(-1,0)。若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界),且經(jīng)過點(diǎn)E,試求拋物線y=ax2+bx+c中a的取值范圍。

      【分析】本過程可以采用學(xué)生合作交流的學(xué)習(xí)方式,并交流學(xué)習(xí)情況。以下是我們學(xué)生的交流成果概要。

      1、探索系數(shù)a的變化引起圖象的變化時(shí),我們保持系數(shù)b和c不變,觀察圖象的變化情況(其它同上);數(shù)形結(jié)合、對(duì)比、歸納等數(shù)學(xué)思想和方法;通過幾何畫板做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),研究數(shù)學(xué)問題;等等。

      2、當(dāng)改變a的大小時(shí),二次函數(shù)圖像的開口大小也隨之改變。當(dāng) 越大時(shí),二次函數(shù)的開口就越小;而b和c的大小變化不影響二次函數(shù)的形狀,影響函數(shù)圖像的位置。這個(gè)結(jié)論可以幫助我們解決有關(guān)因開口大小變化引起某些數(shù)量關(guān)系變化的問題。

      3、(1)根據(jù)結(jié)論“當(dāng) 越大時(shí),二次函數(shù)的開口就越小”,即可得到0

      (2)如圖13,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口最小時(shí),頂點(diǎn)在A處,此時(shí)可求出a=-1;開口最大時(shí),頂點(diǎn)在C處,此時(shí)可求得a=- ,因此a的范圍是-1

      基于幾何畫板平臺(tái)的數(shù)學(xué)探究,能動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)出數(shù)量之間的關(guān)系,也能借助于幾何畫板“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn),讓學(xué)生經(jīng)歷以“數(shù)”解“形”、以“形”助“數(shù)”的過程,幫助學(xué)生理解問題,解決問題。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中,多設(shè)計(jì)一些基于幾何畫板平臺(tái)的探究型問題,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納等能力,也提高了學(xué)生解決問題的能力。

      參考資料:

      [1] 俞界岳. 《幾何畫板》背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教育,2005(12).

      [2] 張杏林. 幾何畫板多媒體課件制作實(shí)例教程[M]. 清華大學(xué)出版社出版,2004.

      [3] 何林. 勵(lì)耘新中考·數(shù)學(xué)[M]. 延邊人民出版社出版,2013.

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