吳立堯，袁長清，施強

(空軍航空大學(xué) 飛行器與動力系，吉林 長春 130022)

二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星編隊反饋線性化滑?？刂?/p>

吳立堯，袁長清，施強

(空軍航空大學(xué) 飛行器與動力系，吉林 長春 130022)

為了減少在庫侖衛(wèi)星編隊運動過程中不確定因素的影響，避免控制過程中發(fā)生抖振現(xiàn)象，提高控制器的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性，設(shè)計了適用于二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星編隊的反饋線性化滑?？刂品椒?。首先在地月系平動點L2點處附近建立二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星編隊的動力學(xué)模型并進行簡化，針對庫侖編隊動力學(xué)特性，在滑?？刂浦屑尤肓司€性化反饋項，保證了編隊整體的魯棒性；仿真結(jié)果證明，該方法能夠使編隊達到預(yù)期構(gòu)型，具有良好的控制性能。

庫侖衛(wèi)星編隊；平動點；反饋線性化；滑模控制；仿真；魯棒性

0 引言

近年來，關(guān)于近距離(10～100 m)衛(wèi)星編隊飛行的研究和應(yīng)用成為了航天領(lǐng)域的研究熱點之一，King等[1]在2002年首次提出衛(wèi)星庫侖力編隊的概念以來，庫侖力編隊衛(wèi)星技術(shù)受到了廣泛關(guān)注。所謂庫侖力衛(wèi)星編隊技術(shù)，即控制衛(wèi)星的靜電荷量，通過設(shè)計適當(dāng)?shù)目刂坡筛淖兒教炱鏖g相互作用靜電力來控制衛(wèi)星編隊的構(gòu)型、姿態(tài)、距離等以完成預(yù)期任務(wù)。目前庫侖衛(wèi)星編隊飛行已成功應(yīng)用到了SCATHA，ATS，CLUSTER任務(wù)中。

King和Parker[2]系統(tǒng)地研究了靜態(tài)庫侖編隊平衡電量和平衡位置的求解問題?；贖ill方程，利用編隊構(gòu)形對稱性及圓形參考軌道條件，討論了靜態(tài)庫侖編隊平衡電量的存在性。Berryman和Schaub[3]提出一種求解靜態(tài)庫侖虛擬結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)平衡電量的數(shù)值方法。之后兩人又利用非經(jīng)典哈密爾頓庫侖衛(wèi)星動力學(xué)方程，通過將軌道運動和姿態(tài)運動解耦，提出了應(yīng)用恒定電荷量實現(xiàn)靜態(tài)編隊的必要條件[4]。

對于庫侖編隊系統(tǒng)反饋控制問題，Hussein等[5]于2007年首次研究庫侖虛擬結(jié)構(gòu)的反饋控制問題。考慮三結(jié)點共線虛擬結(jié)構(gòu)，應(yīng)用線性化相對動力學(xué)方程設(shè)計了電荷反饋控制律。Natarajan等[6-8]針對地球同步軌道的二體庫侖虛擬繩系編隊推導(dǎo)出衛(wèi)星的相對距離動力學(xué)方程和姿態(tài)動力學(xué)方程，并設(shè)計了電荷反饋控制器：文獻[6]在軌道徑向方向?qū)⒎蔷€性動力學(xué)方程線性化，設(shè)計了電荷PD反饋控制律來穩(wěn)定二體庫侖編隊構(gòu)型；文獻[7]在軌道跡向方向和法線方向采用了推力器和庫侖力相結(jié)合的方式，設(shè)計了一個混合反饋控制律，并且沒有引起羽流問題；文獻[8]基于線性化平面外解耦模型，提出了一個只用庫侖力進行控制的控制律。Inampudi和Schaub等[9-10]針對于二體庫侖編隊在地月平動點處推導(dǎo)編隊動力學(xué)模型并設(shè)計了反饋控制律：文獻[9]利用拉格朗日方程推導(dǎo)出衛(wèi)星相對距離動力學(xué)方程和姿態(tài)動力學(xué)方程的一般式，設(shè)計電荷PD反饋控制律穩(wěn)定構(gòu)型；文獻[10]考慮了環(huán)境力矩包括重力梯度力矩和太陽光壓攝動。Wang和Schaub[11]研究了地球同步軌道處兩衛(wèi)星自旋庫侖虛擬結(jié)構(gòu)控制問題，設(shè)計全狀態(tài)反饋電荷控制器，并應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

目前國內(nèi)在靜態(tài)編隊以及動態(tài)編隊研究還比較少。王婷[12]分析了五星庫侖編隊飛行的靜態(tài)構(gòu)型，并設(shè)計了線性二次型最優(yōu)控制律保持編隊穩(wěn)定。張皓和師鵬[13]在兩星問題結(jié)論的基礎(chǔ)上，通過對開環(huán)控制和閉環(huán)控制的仿真分析，給出了利用庫侖力技術(shù)實現(xiàn)懸停軌道的實施方案。黃靜[14]在Wang和Schaub[11]的基礎(chǔ)上解決了二星編隊在地月L2點附近的旋轉(zhuǎn)二體庫侖衛(wèi)星的相對運動控制問題。首先推導(dǎo)了限制性三體模型下二體衛(wèi)星在地-月系L2點附近的相對運動方程，進一步在抗飽和方法與反步法相結(jié)合的基礎(chǔ)上，設(shè)計了狀態(tài)限制輔助函數(shù)，解決了存在控制和狀態(tài)受限的衛(wèi)星相對運動變化并保持的虛擬結(jié)構(gòu)控制問題。另外黃靜[15]針對于平動點附近處二體繩系系統(tǒng)姿軌耦合控制問題，首先采用歐拉-拉格朗日方程對二體衛(wèi)星建模，設(shè)計了非線性二次型最優(yōu)控制器實現(xiàn)了對二體繩系系統(tǒng)的長周期穩(wěn)定控制。

本文在Wang[11]的基礎(chǔ)上，考慮在深空環(huán)境下地月系平動點L2點附近情況下，兩衛(wèi)星自旋虛擬結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的相對運動控制問題。首先推導(dǎo)出限制性三體模型下二體庫侖衛(wèi)星在地月系平動點處附近處的相對運動方程，采用反饋線性化滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計系統(tǒng)控制器，為系統(tǒng)提供了更好的動態(tài)特性，通過仿真驗證了該方法的可行性與優(yōu)點。

1 問題描述

1 .1 二體庫侖衛(wèi)星編隊動力學(xué)建模

如圖1為限制性三體問題下的二體庫侖衛(wèi)星系統(tǒng)，O為地月系的公共質(zhì)心，Oxyz為以O(shè)為中心的慣性坐標(biāo)系，地球與月球連線繞軸Oz以角速度ω轉(zhuǎn)動。令地球和月球的質(zhì)量分別為M1和M2，2顆衛(wèi)星質(zhì)量分別為m1和m2。

圖1 限制性三體問題下的二體庫侖衛(wèi)星系統(tǒng)Fig.1 Two-body coulomb satellite system

假設(shè)衛(wèi)星電勢小于自身等離子體動能，那么兩衛(wèi)星之間庫侖力作用在第1顆衛(wèi)星上可表示為

(1)

式中:kc為庫侖常數(shù)，大小為8.99×109C-2·N·m2；Q為兩帶電衛(wèi)星電荷乘積Q=q1q2，其中q1和q2分別為兩衛(wèi)星所帶電荷量；L為兩衛(wèi)星之間相對距離；λd為德拜長度(研究表明，在地球低軌道上，德拜長度僅為毫米至厘米量級；在地球同步軌道上，德拜長度為100～1 000 m；在深空環(huán)境中，德拜長度為20～50 m);r為第1顆衛(wèi)星指向第2顆衛(wèi)星的向量。

兩顆衛(wèi)星的慣性運動方程分別表示為

(2)

(3)

式中：R01和R02分別為兩顆衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系中的位置向量；G是萬有引力常數(shù)，大小為G=6.674 28×10-11m3kg-1s-2；Rij分別為兩顆衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系系下的相對于地球和月球的位置向量，如圖1所示。

由動力學(xué)方程(2)和(3)可得兩顆衛(wèi)星相對運動方程為

(4)

(5)

將式(4)代入式(5)可得到

(6)

式中：與系統(tǒng)慣性位置向量相關(guān)的函數(shù)f1和與相對位置向量相關(guān)的函數(shù)f2分別為

(7)

(8)

1.2 模型簡化

對于f1函數(shù)，在深空環(huán)境內(nèi)(本文選取地月系平動點L2點處附近)，由于德拜效應(yīng)的存在衛(wèi)星之間的距離不宜過大，為防止兩衛(wèi)星之間發(fā)生碰撞，衛(wèi)星之間距離也不宜過小，在本文中選取衛(wèi)星之間距離為10～40 m。在文獻[14]中，Wang證明了在地球同步軌道處，f1函數(shù)具有邊界值，且數(shù)量級遠小于f2。另外與庫侖力相比，數(shù)量級仍小于庫侖力。由于簡化f1函數(shù)過于繁瑣，此處在短期時間內(nèi)可近似將f1視為干擾項。

對于f2函數(shù)，簡化過程如下：如圖2所示，Bereθeh為二體庫侖衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的本體坐標(biāo)系，其中er為方向為第1顆衛(wèi)星指向第2顆衛(wèi)星的單位向量，ωθ為兩星在本體坐標(biāo)系內(nèi)的旋轉(zhuǎn)角速度，eθ為ωθ角速度切線方向。利用如下式子：

(9)

式(5)中，根據(jù)余弦公式可得到

(10)

圖2 二體庫侖衛(wèi)星編隊系統(tǒng)的本體坐標(biāo)系Fig.2 Body frame Bereθeh

在二體庫侖衛(wèi)星編隊高速自旋系統(tǒng)中，在短時間內(nèi)，可忽略衛(wèi)星重力梯度力矩作用力，所以可近似看作系統(tǒng)角動量守恒，即

(11)

(12)

綜合式(8)，(10)和(12)可得

(13)

綜上所述，動力學(xué)方程(6)可近似為

(14)

式中：d為包括f1函數(shù)與外界環(huán)境干擾(如太陽光壓所產(chǎn)生的干擾)。

(15)

(16)

(17)

2 控制器設(shè)計

2.1 線性化反饋滑?？刂?/p>

理想衛(wèi)星間距為xd，則間距誤差可表達為

e=x-xd.

(18)

設(shè)計滑模面函數(shù)為

(19)

式中：c>0。

對滑模面函數(shù)求導(dǎo)可得

(20)

根據(jù)反饋線性化理論，設(shè)計滑模控制器為

(21)

(22)

為防止在滑?？刂七^程中出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，利用連續(xù)函數(shù)θ(s)取代符號函數(shù)sgns，則控制律式(21)可表達為

(23)

其中連續(xù)函數(shù)θ(s)為

(24)

式中:δ表示邊界層厚度，為很小的正常數(shù)。

2.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(25)

對式(25)進行求導(dǎo)可得到

(26)

將控制律式(23)代入式(26)，可得到

(27)

此時，控制器滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件，系統(tǒng)可以在有限時間內(nèi)到達滑模面。

3 仿真校驗

本節(jié)利用Matlab/Simulink對進行數(shù)值仿真，驗證在深空環(huán)境中兩星自旋庫侖編隊線性化反饋滑?？刂坡傻挠行?。

(28)

式中：r(t0)為慣性坐標(biāo)系下相對位置向量。兩顆衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系內(nèi)初始速度為

(29)

由于在地月系平動點處L2點處附近環(huán)境干擾非常小，主要由太陽光壓產(chǎn)生，數(shù)量級約為10-7N。在本文中假設(shè)干擾力約為[15]

d=5×10-7sin(ωst-γ)，

(30)

式中：ωs=2.462 9×10-6rad/s；γ為初始相位角，假設(shè)為15°。

仿真結(jié)果如圖3～7所示。

圖3 兩星在平動點L2處運行軌跡Fig.3 Trajectory of two satellites at libration point L2

圖4 兩衛(wèi)星間隔距離隨時間變化曲線Fig.4 Satellite spacing distance change curve with time variation

圖5 衛(wèi)星間庫侖力隨時間變化曲線Fig.5 Coulomb force curve with time variation

圖6 電荷乘積隨時間變化曲線Fig.6 Charge product change curve with time variation

圖7 衛(wèi)星所帶電荷變化曲線Fig.7 Satellite charge change curve with time variation

圖3表示庫侖編隊系統(tǒng)在2 h內(nèi)以地月系平動點L2點為質(zhì)心的坐標(biāo)系中的運動軌跡。由圖可以看出，兩顆衛(wèi)星通過改變所帶電量，從初始位置運動到間距不變的圓周運動。另外由圖4可知，在設(shè)計的線性化反饋滑?？刂破鞯淖饔孟?，庫侖編隊系統(tǒng)能夠以較高的精度達到期望構(gòu)型，在0.5 h左右，編隊達到期望間距并穩(wěn)定保持。說明本文在深空環(huán)境下，針對庫侖編隊特性所設(shè)計的線性化反饋滑模控制器能夠使編隊達到期望構(gòu)型并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，充分校驗了本文所提出的控制器的有效性，魯棒性和穩(wěn)定性。圖5表示兩顆衛(wèi)星之間庫侖作用力的大小，在兩衛(wèi)星運行初期衛(wèi)星所帶電荷和之間庫侖力變化比較大，隨著時間逐漸穩(wěn)定在定值-0.07 mN以消除外界環(huán)境以及重力勢能干擾。圖6，7分別表示衛(wèi)星所帶電荷乘積和單顆衛(wèi)星所帶電荷量大小，由于兩衛(wèi)星之間作用力為引力，所以兩顆衛(wèi)星電荷乘積為負值，所以兩衛(wèi)星帶異種電荷，大小相等，最后保持在2.81 μC左右。

4 結(jié)束語

本文針對于在深空環(huán)境中二體庫侖衛(wèi)星編隊控制問題，首先推導(dǎo)了在地月系L2點處二體庫侖衛(wèi)星編隊的動力學(xué)方程，根據(jù)動力學(xué)方程特點設(shè)計了線性化反饋滑模變結(jié)構(gòu)控制器，滑?？刂品椒ㄔ诳刂七^程中可以減少不確定因素的影響，并可以避免發(fā)生抖振現(xiàn)象，使二體庫侖衛(wèi)星編隊模型以較高的精確度達到期望構(gòu)型。仿真驗證表明，設(shè)計的控制律有效，穩(wěn)定，具有良好的魯棒性。

[ 1] KING L B, PARKER G G， DESHMUKH S, et al. Spacecraft Formation Flying Using Inter-Vehicle Coulomb Force[R]. Tech. Rep. , NASA/NIAC, 2002.

[ 2] KING L B, PARKER G G, DESHMUKH S，et al. Study of Inter-Spacecraft Coulomb Forces and Implications for Formation Flying [J]. Journal of Propulsion and Power, 2003, 19(3):497-505.

[ 3] BERRYMAN J， SCHAUB H. Analytical Charge Analysis for Two-and Three-Craft Coulomb Formations [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2007, 30(6):1701-1710.

[ 4] SCHAUB H, HALL C D, BERRYMAN J. Necessary Conditions for Circularly-Restricted Static Coulomb Formations [J]. Journal of the Astronautical Sciences, 2006, 54(3/4): 525-541.

[ 5] HUSSEIN I, SCHAUB H. Stability and Control of Relative Equilibria for the Three-Spacecraft Coulomb Tether Problem [J]. Journal of the Astronautical Sciences, 2008, 56(4):573-592.

[ 6] NATARAJAN A, SCHAUB H. Linear Dynamics and Stability Analysis of a Coulomb Tether Formation [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2006, 29(4): 831-839.

[ 7] NATARAJAN A, SCHAUB H. Hybrid Control of Orbit Normal and Along-Track Two-Craft Coulomb Tethers [J]. Aerospace Science and Technology,2009,13(4):183-191.

[ 8] NATARAJAN A, SCHAUB H. Orbit-Nadir Aligned Coulomb Tether Reconfiguration Analysis[C]∥Spaceflight Mechanics Meeting, Galveston, TX, Jan 27-31, 2008.

[ 9] INAMPUDI R, SCHAUB H. Orbit Radial Dynamic Analysis of Two-Craft Coulomb Formation at Libration Points[C]∥ Astrodynamics Specialist Conference, Toronto, Canada, Aug 25, 2010.

[10] INAMPUDI R, SCHAUB H. Orbit-Radial Control of Two-Craft Coulomb Formation about Circular Orbits and Libration Points [C]∥The 4th International Conference on Spacecraft Formation Flying Missions and Technologies, May 18-20, 2011.

[11] WANG S, SCHAUB H. Nonlinear Coulomb Feedback Control of a Spinning Two Spacecraft Virtual Structure [C]∥American Control Conference, Minneapolis, USA, June 14-16, 2006.

[12] 王婷，張羽飛. 等質(zhì)量立體五星庫侖編隊飛行的分析與控制[J].宇航學(xué)報，2015,36(11):1279-1288. WANG Ting, ZHANG Yu-fei，Analysis and Control for Three Dimensional Five-Satellite Coulomb Formation Flight in Geostationary Earth Orbit [J]. Journal of Astronautics，2015, 36(11):1279-1288.

[13] 張皓，師鵬，李保軍，等.利用庫侖力實現(xiàn)懸停軌道的新方法研究[J].宇航學(xué)報，2011, 33(1):68-75. ZHANG Hao, SHI Peng,LI Bao-jun, et al. Hover Orbit Using Inter-Spacecraft Coulomb Forces [J]. Journal of Astronautics，2011,33(1)：68-75.

[14] 黃靜,李傳江，馬廣富，等.考慮狀態(tài)約束的二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星系統(tǒng)重構(gòu)控制[J].宇航學(xué)報，2015,36(5):557-565. HUANG Jing, LI Chuan-jiang,MA Guang-fu, et al. Control for Reconfiguration of a Spinning Two-Body Coulomb Satellite System with State Constrains [J].Journal of Astronautics，2015,36(5):557-565.

[15] HUANG Jing, MA Guang-fu, LIU Gang. Nonlinear Dynamics and Reconfiguration Control of Two-Satellite Coulomb Tether Formation at Libration Points [J].Aerospace Science and Technology, 2014, 39(5): 501-512.

Feedback Linearization Sliding Mode Control of a Spinning Two-Body Coulomb Satellite Formation

WU Li-yao, YUAN Chang-qing, SHI Qiang

(Aviation University of Air Force, Aircraft and Power Department, Jilin Changchun 130022, China)

In order to reduce the uncertain factors of coulomb aircrafts formation movement process, avoid chattering of controlling process and increase the stability and veracity of controller, a feedback linearization sliding mode control method applied to the two-satellite formation flying at libration is designed. First the dynamics model two-satellite coulomb formation at earth-moon libration points are established and simplified, the feedback linearization is added with sliding mode control because of the characteristics of dynamics model to ensure robustness of formation. Simulation shows the method can make formation meet desired configuration with favorable control performance.

Coulomb satellite formation; libration points; feedback linearization; sliding mode control；simulation；robustness

2016-03-09；

2016-06-20 基金項目：國家自然科學(xué)基金(11372353) 作者簡介：吳立堯(1992-)，男，吉林遼源人。碩士生，主要從事庫侖航天器編隊動力學(xué)與控制。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.015

V448.2

A

1009-086X(2017)-01-0082-06

通信地址：130022 吉林省長春市東南湖大路2222號學(xué)員11隊