郭利明　周新建　張慶敏

摘要：目前，有限元方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各類科學(xué)和工程計(jì)算。本文探討了開設(shè)有限元方法課程的必要性，探索了該課程內(nèi)容安排，提出了多媒體為輔助的教學(xué)模式，建立了合理的評價(jià)體系。

關(guān)鍵詞：有限元方法；教學(xué)改革；本科生

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）05-0118-02

引言

自然科學(xué)和工程技術(shù)中的各種基本規(guī)律通常是以微分方程的形式給出，一般情況下，要得到這些方程的解析解是不可能的，因此數(shù)值求解微分方程是非常必要的。有限元方法[1，2]是數(shù)值求解偏微分方程的一種有效的方法。有限元方法的雛形可以追溯到1943年，Courant首次提出了三角形上的分片線性函數(shù)逼近的思想。20世紀(jì)50年代初，工程師們提出了有限元方法，并利用該方法來求解簡單的結(jié)構(gòu)問題。20世紀(jì)60年代，以馮康先生[3]為代表的中國學(xué)者和西方學(xué)者獨(dú)立并行地建立和完善了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。自此之后，有限元方法成為應(yīng)用數(shù)學(xué)、工程力學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)等不可或缺的工具。

有限元方法不同于求解偏微分方程的差分方法，其主要有下述三大特點(diǎn)：[4]（1）從數(shù)學(xué)物理問題的變分原理出發(fā)，而不是從方程出發(fā)；（2）若考慮的數(shù)學(xué)物理問題區(qū)域是二維的，需要作三角形剖分，而不是僅僅作矩形剖分；（3）用剖分區(qū)域上基函數(shù)來逼近原問題的解，而不是單純地采用剖分節(jié)點(diǎn)的數(shù)值來逼近。有限元方法的這些特點(diǎn)，決定了學(xué)習(xí)有限元方法需要較多的基礎(chǔ)知識(shí)，例如變分方法，泛函分析，索伯列夫空間的理論，[5]橢圓邊值問題的現(xiàn)代理論等等。本科生對于有限元方法的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度有限，因此在教學(xué)過程中，要結(jié)合本科學(xué)生的特點(diǎn)，更強(qiáng)調(diào)有限元方法的應(yīng)用層面，在基本了解有限元方法原理的基礎(chǔ)上，重視采用有限元方法來解決簡單的數(shù)學(xué)物理問題。

一、開設(shè)有限元課程的必要性

目前，有限元課程的理論和實(shí)踐的學(xué)習(xí)，主要應(yīng)用于研究生教育。本科生開設(shè)有限元課程的相對較少，以工科學(xué)生對應(yīng)用技術(shù)和軟件操作的學(xué)習(xí)為主。但是，如果學(xué)生僅僅是對照工具書來操作軟件的話，往往會(huì)因?yàn)椴焕斫饫碚摱鴰砀鞣N各樣的錯(cuò)誤。因此，筆者認(rèn)為對本科生開設(shè)有限元課程學(xué)習(xí)相關(guān)的理論和應(yīng)用，是非常必要的。特別是對于希望進(jìn)一步學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，了解部分有限元課程的知識(shí)，對他們進(jìn)入研究生乃至博士生階段的學(xué)習(xí)都是很有幫助的。對于工科生來說，了解有限元知識(shí)，加深對軟件操作的認(rèn)識(shí)，會(huì)使其在廣大應(yīng)聘者中脫穎而出，得到用人單位的青睞。

二、教學(xué)內(nèi)容的安排

由于本科生對于有限元基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度有限，因此任課教師在講授有限元課程的時(shí)候，要幫助他們了解一些簡單的基礎(chǔ)知識(shí)，在此基礎(chǔ)上加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)的培訓(xùn)。

（一）理論知識(shí)的學(xué)習(xí)

首先要復(fù)習(xí)泛函分析的內(nèi)容，泛函分析課程對于本科生來說是難度比較大的課程，通過簡單的復(fù)習(xí)，讓他們對這些基本知識(shí)有較為熟悉的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上，講解索伯列夫空間相關(guān)知識(shí)，對于本科生來說，只要求了解基本定理，不要求掌握定理的證明。

其次變分原理是本科生第一次接觸到的東西，且其在有限元方法的學(xué)習(xí)中占著很重要的位置，是需要重點(diǎn)講解的東西。對于變分原理的教學(xué)目標(biāo)，要求本科生對于簡單的數(shù)學(xué)物理問題：如泊松方程，四階橢圓方程等，寫出相應(yīng)的變分形式。

最后，以簡單的二維泊松方程和三角形單元為例，講解有限元方法的離散。學(xué)習(xí)有限元方法的離散，首先要了解三角形單元上的基函數(shù)；其次，學(xué)習(xí)從單元上剛度矩陣到總體剛度矩陣的過渡，從而得到最后的線性方程組，求出該泊松問題的數(shù)值解。

（二）教學(xué)實(shí)踐

大學(xué)生實(shí)踐能力薄弱是目前普遍存在的問題。特別是一般的普通高校的學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)校的硬件設(shè)施跟不上等問題，往往忽視了實(shí)踐環(huán)節(jié)。在高校中，經(jīng)常會(huì)碰到一些學(xué)生，雖然理論知識(shí)很扎實(shí)，但是動(dòng)手實(shí)踐能力比較差。而教師如果單純地講授理論知識(shí)的話，會(huì)讓學(xué)生似懂非懂，對該課程的學(xué)習(xí)缺乏熱情，久而久之，產(chǎn)生厭學(xué)的情緒。

上機(jī)實(shí)踐是學(xué)習(xí)有限元方法的必要環(huán)節(jié)，通過上機(jī)實(shí)踐，學(xué)生可以加深對于理論的理解。對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，其對MATLAB軟件有較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。建議對于該專業(yè)的學(xué)生，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)MATLAB軟件中自帶的利用有限元方法求解偏微分方程的軟件包：pdetool。但是pdetool有自身的局限性，有時(shí)候需要自己編寫MATLAB程序來用有限元方法來求解。根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，讓本科生自己編寫有限元程序存在一定的難度。筆者的做法是：自己寫一段簡單的有限元程序，讓學(xué)生來讀程序，在一步步讀程序的過程中，學(xué)生會(huì)對有限元方法有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

三、教學(xué)模式

1.教學(xué)時(shí)間和教材建設(shè)。有限元方法課程可放在泛函分析、數(shù)學(xué)物理方程之后。有限元方法課程現(xiàn)有的教材，對于本科生來說比較難，因此在教學(xué)的過程中，需要教師廣泛搜集各種素材，根據(jù)自己的教學(xué)目標(biāo)，相應(yīng)地刪除或者增加部分內(nèi)容，對教材進(jìn)行建設(shè)，使之更適合本科生。

2.教學(xué)方式。20世紀(jì)50年代，美國心理學(xué)家卡爾·羅杰斯提出了“以學(xué)生為中心”[6]的教育理念，對現(xiàn)代教學(xué)改革的實(shí)踐具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，無論在任何教學(xué)活動(dòng)中，都要把學(xué)生放在中心位置。教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生個(gè)體之間的差異和不同的需求，做到因材施教。有限元方法的課程學(xué)習(xí)的重要目的在于應(yīng)用，因此該課程適合采用多媒體來輔助教學(xué)，多媒體教學(xué)方式不僅能把大量的信息更加直觀形象地展示給學(xué)生，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，還可以提高教學(xué)成果。

教學(xué)活動(dòng)是雙方面的活動(dòng)，取決于教師主導(dǎo)性和學(xué)生的主動(dòng)性。因此在發(fā)揮教師主導(dǎo)性的同時(shí)，要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性。興趣是最好的老師，如果學(xué)生對學(xué)習(xí)有著濃厚的興趣的話，往往是事半功倍。學(xué)習(xí)興趣的缺失是當(dāng)下教育，特別是大學(xué)教育最大的問題。作為大學(xué)教師，我們要盡可能地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生熱愛思考研究。具體到有限元方法課程的教學(xué)，可以讓學(xué)生了解本門課程的發(fā)展歷史，問題背景等。從歷史背景的學(xué)習(xí)中，增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心和自豪感。讓學(xué)生把這門課程和其他相關(guān)的課程聯(lián)系起來，比如說有限元課程的學(xué)習(xí)會(huì)牽涉到泛函分析和數(shù)學(xué)物理方程。以前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程重視的是解析解，但是對于那些解析解不容易找到的方程，可以告訴學(xué)生采用有限元方法來數(shù)值求解。

在講授了部分章節(jié)之后，可以引導(dǎo)學(xué)生以討論班的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。對學(xué)生進(jìn)行分組，每一小組負(fù)責(zé)一部分的內(nèi)容。上課的時(shí)候讓學(xué)生講，任課教師在下面聽，通過學(xué)生的講解，教師可以知道學(xué)生對于知識(shí)的掌握程度和薄弱環(huán)節(jié)，做到有的放矢的教學(xué)。在學(xué)生的講解過程中也鍛煉了學(xué)生授課的能力。

四、評價(jià)體系的改革

傳統(tǒng)的評價(jià)學(xué)生的方式是靜態(tài)的，采用統(tǒng)一的試卷來決定一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。但是有限元方法屬于理論和實(shí)際相結(jié)合的學(xué)科，其內(nèi)容涉及面較廣。因此如果有限元方法的考核單純采用筆試，閉卷考試的方式很難全面地評估一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。為了更加全面地評價(jià)學(xué)生，筆者在授課過程中沿用綜合評價(jià)的方式，具體為：（1）平時(shí)作業(yè)，課堂表現(xiàn)占20%；（2）期中考試占20%；（3）上機(jī)實(shí)驗(yàn)占20%；（4）期末考試成績占40%。目前，部分高校沒有開展全校性的期中考試，筆者特意加上期中考試是為了了解學(xué)生的情況，讓任課教師知道學(xué)生的長處和不足之處，從而來制定和改進(jìn)已有的教學(xué)過程。對于上機(jī)實(shí)驗(yàn)部分，可以給學(xué)生一些簡單有限元程序讓其在課下認(rèn)真的學(xué)習(xí)。上機(jī)實(shí)驗(yàn)的時(shí)候，調(diào)換成其他的數(shù)學(xué)物理方程，讓學(xué)生寫出相應(yīng)的MATLAB程序，計(jì)算出該方程的數(shù)值解。

五、結(jié)束語

本文對本科生有限元方法課程的學(xué)習(xí)，分析了其必要性，對于教學(xué)內(nèi)容做了部分調(diào)整，使其適合本科生現(xiàn)有的知識(shí)水平，采用多媒體教學(xué)方式，重視理論和實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)方式，針對有限元方程的課程目標(biāo)，制定了合理的評價(jià)體系。通過實(shí)際教學(xué)實(shí)驗(yàn)，筆者證明本文提出的教學(xué)改革是有效的。

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