柯麗香

摘 要：函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。函數(shù)思想是最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想，它具有其他數(shù)學(xué)思想所不及的作用，它是從大量的實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的。在初中階段，講述了函數(shù)的一些最基本、最初步的知識(shí)，但是其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)學(xué)生觀察問(wèn)題、研究問(wèn)題和解決問(wèn)題都是十分有益的。主要探討初中階段有關(guān)二次函數(shù)解析式的求法，理解二次函數(shù)解析式的意義及其三種代表形式，讓“數(shù)”與“形”在解題中充分體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；對(duì)稱性；交點(diǎn)間距離關(guān)系；初中數(shù)學(xué)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。在近幾年中考試卷中，越來(lái)越注重二次函數(shù)，特別是確定二次函數(shù)的解析式占了絕大多數(shù)。這類題目千變?nèi)f化、涉及知識(shí)面廣，與初中代數(shù)的大部分內(nèi)容息息相關(guān)。這就要求首先弄懂二次函數(shù)解析式的意義及其三種代表形式，掌握數(shù)學(xué)思想方法和代數(shù)中各個(gè)部分知識(shí)之間的聯(lián)系，能夠熟練利用函數(shù)圖象，使“數(shù)”與“形”完美結(jié)合。因此，解答這類題目應(yīng)善于選用解析式表達(dá)式，明確題目意義及其圖象特征。以下是幾種常用的確定二次函數(shù)解析式的方法，以具體例子加以闡述：

一、如何運(yùn)用解析式的形式求二次函數(shù)的解析式

二次函數(shù)的解析式一般有三種形式：

①一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

②頂點(diǎn)式：y=a（x+）2+或y=a（x-h）2+k，其中h、k的意義是：當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)取得極值k，（h，k）為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

③交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（b2-4ac≥0）其中x1，x2為圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

例1：拋物線與x軸交于A（-2，0），B（，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-1），求此拋物線的解析式。

分析：若選用解析式的一般式，則需要解一個(gè)三元一次方程組，通過(guò)分析可選用解析式的交點(diǎn)式，即y=a（x+2）（x-），式中a待定，又因其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-1），所以a（0+2）（0-）=-1，

解得a=1，∴y=（x+2）（x-），即y=x2+x-1。

總結(jié)，當(dāng)已知條件含有拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，選用二次函數(shù)解析式中的交點(diǎn)式。

例2：已知二次函數(shù)極大值為8，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），（1，6），求二次函數(shù)的解析式。

分析：當(dāng)已知條件中給出二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)或極植時(shí)，通常采用頂點(diǎn)式，設(shè)出所求函數(shù)的解析式，這樣求解較為簡(jiǎn)單。

解：由二次函數(shù)的極大值為8，可設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）2+8（a<0），又因圖象經(jīng)過(guò)（-2，0），（1，6）兩點(diǎn)，

得：a（-2-h）2+8=0

a（1-h）2+8=6 解得：h1=0

a1=-2 h2=4

a2=-

故所求的二次函數(shù)的解析式為：

y=-2（x-0）2+8或y=-（x-4）2+8

即：y=-2x2+8或y=-x2+x+

總結(jié)：已知對(duì)稱軸、極值或頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，采用頂點(diǎn)式較為簡(jiǎn)便。

二、利用拋物線的對(duì)稱性，將其與有關(guān)知識(shí)相結(jié)合

例3：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=-2，它與直線y=2x+1相切且圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，求函數(shù)的解析式。

分析：解本題的關(guān)鍵在于仔細(xì)分析題意，由對(duì)稱軸x=-2及圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，可知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2-，0）（-2+，0）。這樣利用交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2+）（x+2-），a為待定，再由拋物線與直線y=2x+1相切，可得方程a（x+2+）（x+2-）=2x+1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用Δ=0可以很方便地求出a的值。這樣，本題的解決將會(huì)變得十分簡(jiǎn)單。

解：因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸x=-2，并且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，所以圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2-，0），（-2+，0）。

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2+）（x+2-），a為待定，

由y=2x+1

y=a（x+2+

）（x+2-

）

得a（x+2+）（x+2-）=2x+1

整理得ax2+（4a-2）x+2a-1=0…①

因拋物線與直線y=2x+1相切，所以方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ=（4a-2）2-4a（2a-1）=0即（2a-1）（a-1）=0

解得：a=1或a=

所求二次函數(shù)為

y=（x+2+）（x+2-）或y=（x+2+）（x+2-）

即y=x2+4x+2或y=x2+2x+1

三、利用拋物線與x軸交點(diǎn)間的距離，將其與有關(guān)的知識(shí)相結(jié)合

1.拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)間的距離公式，d=

2.拋物線y=a（x-h）2+k與x軸交點(diǎn)間的距離公式d=2

例4：A、B兩點(diǎn)是二次函數(shù)y=x2-（a+2）x+2a（a>2）的圖象與x軸交于相異的兩個(gè)點(diǎn)，圖象與y軸交于C，△ABC面積為3，求a的值。

解：由公式d=得：

AB==a-2=a-2（a>2）

∵點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2a），故△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)=2a=2a

∵S△ABC=AB·h，∴（a-2）·2a=3

即a2-2a-3=0，解得a=3或a=-1

∵a>2，∴a=-1不符合題意，舍去，只取a=3。

四、利用幾何圖象性質(zhì)

例5：拋物線y=-3x2-2x+k與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A和B（A和B不重合），M為拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求k的值。

解：由公式d=得

AB==1+3k

∵a=-3<0

∴拋物線開(kāi)口向下，M的縱坐標(biāo)為正：

為==

即為△MAB中AB邊上的高。

∵△MAB為等腰直角三角形，

∴AB=即=

∴（-1）=0又∵≠0

∴-1=0解得k=0

五、相關(guān)知識(shí)聯(lián)系的應(yīng)用

這種方法的應(yīng)用要求學(xué)生有牢固的相關(guān)知識(shí)，并能把它們相互聯(lián)系起來(lái)，做到舉一反三。

例6：已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）.

（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，求二次函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)c=5時(shí)，若在函數(shù)值y=1的情況下，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，求此時(shí)二次函數(shù)的解析式；

解：（1）當(dāng)b=2，c=-3時(shí)，二次函數(shù)為：y=x2+2x-3

即y=（x+1）2-4，所以當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)的最小值為-4.

（2）當(dāng)c=5時(shí)，二次函數(shù)為：y=x2+bx+5由題意得：方程x2+bx+5=1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=b2-16=0解得：b1=4，b2=-4，此時(shí)，二次函數(shù)的解析式為：y=x2+4x+5或y=x2-4x+5

注：不論選用哪種形式求拋物線解析式，其結(jié)果都應(yīng)化為一般式。

綜上所述，不論解答哪一類型題目，首先應(yīng)明確題意，掌握雙基知識(shí)及相關(guān)公式，并能善于選擇三種解析式的表達(dá)式，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，有關(guān)函數(shù)解析式的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。

編輯 張珍珍