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      斐波那契數(shù)列的內(nèi)涵和應(yīng)用價(jià)值

      2017-03-08 16:32:52云南省祿勸茂鎮(zhèn)山中心學(xué)校楊順祥
      衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2017年2期
      關(guān)鍵詞:雌蜂那契錄音機(jī)

      云南省祿勸茂鎮(zhèn)山中心學(xué)校 楊順祥

      一、斐波那契數(shù)列的由來

      澳大利亞、新西蘭本來是沒有兔子的。

      1859年,澳大利亞的墨爾本動(dòng)物園從英國運(yùn)來24只兔子供人觀賞。不料,1864年的一天,動(dòng)物園失火,幸免于難的兔子逃到草原上。一望無垠的大草原,不僅飼草豐美,沒有天敵,野兔的繁殖非常快。到1928年,兔子數(shù)量狂增至40億只,遍及澳大利亞的2/3地區(qū)。它們吃莊稼,毀壞新播下的種子,啃嫩樹皮和牙,并且打地洞損壞田地和河堤。它們消耗了牧場(chǎng)牧草和大量灌木,使畜牧業(yè)面臨著滅頂之災(zāi)。問題還在于兔子破壞了植被,又引起了水土流失。一時(shí),兔災(zāi)成害,人民遭殃。新西蘭也引進(jìn)了兔子,32年兔成災(zāi)。

      這些地區(qū)從實(shí)踐中體悟到兔子繁殖的神奇速度問題,其實(shí),早在630年以前,意大利數(shù)學(xué)家斐波那契就從理論上論述了這個(gè)問題,只是那時(shí)沒有引起注意,在他的《算盤書》一書中,就說到了兔子繁殖問題。

      題意是:假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長(zhǎng)成大兔,再過一個(gè)月就能生下一對(duì)小兔,并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔,一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡,問:一對(duì)兔子,一年內(nèi)繁殖成多少對(duì)兔子?

      對(duì)于n=1,2,……12,令Fn表示第n個(gè)月開始時(shí)兔子的總對(duì)數(shù),Bn,An分別是未成年和成年的兔子(簡(jiǎn)稱小兔和大兔)的對(duì)數(shù),則Fn=An+ Bn,

      顯然,F(xiàn)1=1,F(xiàn)2=2,而且從第三個(gè)月開始,每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個(gè)月的兔子總數(shù)之和, 按照這個(gè)規(guī)律寫下去,就得:

      1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。

      這就是斐波那契數(shù)列的通常定義,也就是數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……,這個(gè)數(shù)列又叫黃金數(shù)列。

      列昂那多又名斐波那契,所以這個(gè)數(shù)列稱作斐波那契數(shù)列,其中每一項(xiàng)稱作斐波那契數(shù)。

      二、斐波那契數(shù)列的內(nèi)涵

      1.在斐波那契數(shù)列中,前后兩項(xiàng)的比值是以黃金數(shù)0.618為極限的。

      2.斐波那契數(shù)列的任意相鄰四項(xiàng)滿足。

      3.在斐波那契數(shù)列中或根據(jù)數(shù)列后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和形成的類斐波那契數(shù)列中,有前十項(xiàng)之和等于第七項(xiàng)的11倍。

      4.科學(xué)家發(fā)現(xiàn)無論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是在自然界中都有很多有趣的現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列有關(guān)。

      三、斐波那契數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值

      1.應(yīng)用舉例

      斐波那契數(shù)列的重要價(jià)值還在于它能作為一些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,從而使復(fù)雜的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的數(shù)學(xué)問題的解決上。

      問題一:一枚均勻的硬幣擲10次

      問:不接連出現(xiàn)正面的可能情形共有多少種?

      解:設(shè)將這枚硬幣擲了n次,沒有接連出現(xiàn)正面的數(shù)目為an,則a1= 2 a2=3(正——反,反——正,反——反),a3=5

      一般的,若第n+2次擲出的是反面,則第n+2次中無接連出現(xiàn)正面的數(shù)目是an+1;若第n+2次擲出的是正面,則第n+1次需擲出反面,這樣無接連擲出正面的數(shù)目為an,所以an+2=an+an+1,n=1,2,3……

      這樣,a4=a3+a2=8,a5=a4+a3=13,a6=21,a7=34,a8=55,a9=89,a10=144.

      所以,不接連出現(xiàn)正面的可能情形共有144種。問題二:街頭叫賣聲與斐波那契“街頭叫賣聲”是怎么操作的?有最佳的操作方案嗎?

      解:(1)操作方法如下。

      操作時(shí),需兩臺(tái)錄音機(jī),相互之間反復(fù)播音和錄音。當(dāng)一臺(tái)錄音機(jī)播音時(shí),另一臺(tái)錄音機(jī)同時(shí)開始錄音,如此方法操作。

      第一步:第一臺(tái)錄音機(jī)先直接錄入一段人的叫賣聲。

      第二步:第一臺(tái)錄音機(jī)播放剛才錄的那段聲音,同時(shí),第二臺(tái)錄音機(jī)錄入這段聲音。

      第三步:第二臺(tái)錄音機(jī)播放剛才錄的那段聲音,同時(shí),第一臺(tái)錄音機(jī)在上次錄的磁道后,接著錄入這段聲音。

      第四步:第一臺(tái)錄音機(jī)播放前兩次錄的那段聲音,同時(shí),第二臺(tái)錄音機(jī)在上次錄的磁道后,接著錄入這兩段聲音。

      如此反復(fù),直到錄到所需要的時(shí)間長(zhǎng)度為止。

      (2)設(shè)將第一步錄入的聲音遍數(shù)記作u1,第二步錄入的聲音遍數(shù)記作u2,在第三步中,總錄入的聲音遍數(shù)記u3,……在第n步中,總錄入的聲音遍數(shù)記un;由上面的操作步驟,得u1=1,u2=1. un=un-1+un+1(n>3)

      (3)若吆喝一遍叫賣聲,連同中間停頓共需10秒鐘,那么錄制一盒長(zhǎng)為1小時(shí)的磁帶只需操作幾步?

      所錄制的長(zhǎng)度依次為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,……

      因?yàn)?77>3600/10,故連續(xù)操作14次就可以錄制一盒可以播放1小時(shí)的磁帶。

      2.雄蜂家族問題

      從蜜蜂的繁殖來看,雄蜂是由未受精卵孵化而成的,只有母親,沒有父親,而雌蜂是由受精卵孵化的,所以有一父一母,因?yàn)榉浜螽a(chǎn)的卵,受精的孵化為雌蜂,未受精的孵化為雄峰。人們?cè)谧匪菪鄯宓淖嫦葧r(shí),一只雄蜂僅有一個(gè)母親,沒有父親,所以兩代的數(shù)目皆為1;而這只雄風(fēng)的母親(雌蜂)必有一父一母,所以第三代的數(shù)目是2;而第三代的雄蜂又僅僅有母親,雌蜂則又有一父一母,所以第四代的數(shù)目是3;按照這個(gè)規(guī)律,則一只雄峰每代的祖先的數(shù)目剛好就是“斐波那契數(shù)列”。

      3.樹木生長(zhǎng)問題

      如果一根樹枝每年長(zhǎng)出一根新枝,而長(zhǎng)出的新枝兩年以后,每年也長(zhǎng)出一根新枝,并且每一條樹枝都按照這個(gè)規(guī)律長(zhǎng)出新枝,這樣,第一年只有主干;第二年有2枝;第三年有3枝;接下去是5枝,8枝,13枝……那么把這些樹枝數(shù)排起來,也構(gòu)成一個(gè)“斐波那契數(shù)列”。

      4.斐波那契數(shù)列與魔術(shù)

      生活中我們常常相信親眼所見,但又常常為自己的眼睛所騙,魔術(shù)就是一個(gè)很好的例子。數(shù)學(xué)中也有這種欺騙我們眼睛的奇妙的數(shù)學(xué)魔術(shù),好多魔術(shù)家運(yùn)用障眼法及數(shù)學(xué)原理,讓我們百思不得其解。

      總之,神奇的斐波那契真的是不可思議,他的發(fā)現(xiàn)不僅讓數(shù)學(xué)又踏入了一個(gè)高峰,更重要的是他對(duì)數(shù)學(xué)及其他領(lǐng)域的貢獻(xiàn),他把人們引入一個(gè)神奇而又神秘的境界,不僅探索它的性質(zhì),尋覓它有生命的數(shù)字秘密,而且繁衍出許多有缺的數(shù)學(xué)游戲,魔術(shù)、拼圖等。斐波那契數(shù)列的內(nèi)涵和它的應(yīng)用價(jià)值還不僅僅是以上所述的這些,在許多領(lǐng)域里它都有廣泛的應(yīng)用。人們掌握的只是些鳳毛麟角,可見這個(gè)黃金數(shù)列的前途是無可限量的。

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