淺談高考中冪.對(duì)數(shù)值比較大小

湖南省長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)周南中學(xué) 李仙芝

冪式、對(duì)數(shù)式等數(shù)值比較大小問(wèn)題，利用同底數(shù)、同指數(shù)或同真數(shù)等借助于函數(shù)單調(diào)性或圖象求解．比較函數(shù)值的大小（1）同底冪比大小，則利用指數(shù)函數(shù),同底對(duì)數(shù)比大小則利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；（2）當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；對(duì)數(shù)值比較：當(dāng)（a-1）(N-1)＞0時(shí)，；當(dāng)（a-1）(N-1)＜0時(shí)，logNa＜0，即底和真數(shù)在1同側(cè)，對(duì)數(shù)值為正，1異側(cè)對(duì)數(shù)為負(fù)；（3）對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1或其它值作為為中介值進(jìn)行比較(4). 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論；下面介紹幾種常見(jiàn)方法和題型。

基礎(chǔ)方法1：同底對(duì)數(shù)式或同底指數(shù)式比大小，利用單調(diào)性；不可化同底找中介值比大小

例題1:（1）(文)設(shè)a＝log954，b＝log953，c＝log545，則( )

A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a

C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c

[答案] D

[解析]∵y＝log9x為增函數(shù)，∴l(xiāng)og954＞log953，∴a＞b，又c＝log545＝1＋log59＞2，a＝log954＝1＋log96＜2，∴c＞a＞b，故選D.

變式：（1）已知a＝21.2，

A．c＜b＜a

B．c＜a＜b

C．b＜a＜c

D．b＜c＜a

解析

c＝2log52＝log522＜log55＝1＜20.8＝b，

故c＜b＜a.

基礎(chǔ)方法2：不同底能化同底的盡量化同底，再用單調(diào)性

例題2：

(2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則( )

A．c＞b＞a

B．b＞c＞a

C．a(chǎn)＞c＞b

D．a(chǎn)＞b＞c

答案 D

解析

顯然a＞b＞c.

礎(chǔ)方法3：指數(shù)，對(duì)數(shù)比較大小，找中介值進(jìn)行比較

A.x＜y＜z

B.z＜x＜y

C.z＜y＜x

D.y＜z＜x

答案 D

解析 ∵x＝lnπ＞ln e，∴x＞1.

綜上可得，y＜z＜x

基礎(chǔ)方法4：底數(shù)不同，指數(shù)相同，則構(gòu)造冪函數(shù)

例題4：設(shè)a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是( )

A．a(chǎn)＞b＞c

B．a(chǎn)＜b＜c

C．b＜a＜c

D．a(chǎn)＜c＜b

解析 (1)根據(jù)冪函數(shù)y＝x0.5的單調(diào)性，可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b＜a＜1；

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2＞log0.30.3＝1，即c＞1.

所以b＜a＜c.

基礎(chǔ)方法 5：利用同底數(shù)、同指數(shù)或同真數(shù)等借助于函數(shù)單調(diào)性或圖象求解

例題5：已知a=5log23.4,b=5log43.6,c=(1/5)log30.3( )

A．a(chǎn)＞b＞c

B．b＞a＞c

C．a(chǎn)＞c＞b

D．c＞a＞b

解析：方法一 在同一坐標(biāo)系中

分別作出函數(shù)y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的圖象，如圖所示．

由圖象知：

由于為y=5x增函數(shù)，5log23.4＞(1/5)log30.3＞5log43.6, 即5log23.4＞(1/5)log30.3＞5log43.6

基礎(chǔ)方法6：函數(shù)奇偶性及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算．

例題6：(2015·天津理，7)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)．記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為( )

A．a(chǎn)＜b＜c

B．a(chǎn)＜c＜b

C．c＜a＜b

D．c＜b＜a

[答案] C

[解析] 考查函數(shù)奇偶性及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算．

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2|x－m|－1為偶函數(shù)，所以m＝0，

即f(x)＝2|x|－1，所以

所以c＜a＜b，故選C.

總之，比較幾個(gè)數(shù)（冪或?qū)?shù)）的大小是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)的重要應(yīng)用，在具體解題過(guò)程中，應(yīng)先觀察要比較的數(shù)的特征再選用合適的方法比較大小，有時(shí)需要先結(jié)合冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)要比較的數(shù)進(jìn)行合理的變形，再進(jìn)行大小比較。