數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練

福建省福州銅盤中學(xué) 馬瓊孝

一、概念的變式訓(xùn)練

數(shù)學(xué)概念的形成，尤其是對概念的內(nèi)涵和外延的理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。概念形成過程中的訓(xùn)練主要是呈現(xiàn)概念的外延，以突出概念的內(nèi)涵，使學(xué)生能深刻、準(zhǔn)確地理解掌握概念。如在學(xué)習(xí)平方根的概念時，可以設(shè)計這樣的變式訓(xùn)練。

例題：16的平方根是___________。

此題主要是理解、掌握平方根的概念。但本節(jié)課還介紹了“正的平方根”和“負(fù)的平方根”這兩個概念，學(xué)生往往區(qū)分不開，所以進行如下變式：

變式1：16的正的平方根是________。16的負(fù)的平方根是________。

這節(jié)課的教學(xué)時，還介紹了符號的表達式，在應(yīng)用時學(xué)生對符號式和文字表達理解不夠深刻，又進行了變式。

變式2：的正的平方根是________。

大多數(shù)學(xué)生得到的答案為4，這正是學(xué)生沒有理解好符號與文字表達的關(guān)系的具體體現(xiàn)。在學(xué)生出錯的基礎(chǔ)上講解，此題要經(jīng)過兩次運算，先算等于4，再算4的正的平方根等于2，學(xué)生大大加深了對符號表達和概念的理解。

變式3：已知a的平方根是±05，則a=________。

再次進行變式訓(xùn)練3學(xué)生對平方根的概念掌握更加靈活，同時也培養(yǎng)了數(shù)學(xué)的逆向思維能力。

二、公式、法則、定理等的變式訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式、法則、定理是數(shù)學(xué)知識中的重要內(nèi)容，它們是解決數(shù)學(xué)問題的重要理論基礎(chǔ)。在教學(xué)中要善于利用變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生掌握公式、法則、定理中的各要素之間的聯(lián)系和本質(zhì)規(guī)律，使學(xué)生能加深理解和靈活運用。如在學(xué)習(xí)圓的切線的判定定理時，我通過下列3個判斷題強調(diào)了定理中的關(guān)鍵要素：過半徑外端、垂直，讓學(xué)生真正理解定理。

(1)經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線.(×)

(2)垂直于半徑的直線是圓的切線. (×)

(3)過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.(√)

又比如，對完全平方公式的新課講授時進行如下的變式訓(xùn)練：

計算：(1)(x +2y )2=___________,

(2)(3 a-b )2=___________,

(3)(- x + 2y )2________,

(4)(- 3 a- b )2=________。

這些訓(xùn)練由淺入深，實實在在的增強了學(xué)生對完全平方公式的內(nèi)化理解，提高了對公式熟練應(yīng)用的程度。

三、題目形式的變式訓(xùn)練

（一）多題一解，培養(yǎng)學(xué)生觸一通類的數(shù)學(xué)思維能力

如在確定二次函數(shù)的解析式教學(xué)時，我設(shè)置了這樣一組變式題目：

例題：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過 A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-3)三點，求這個二次函數(shù)的解析式。從例題出發(fā)，進行了下列變式訓(xùn)練。

變式1：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過一次函數(shù)y=-x-3的圖像與x軸、y軸的交點A、C，并且經(jīng)過點B(1,0)，求這個二次函數(shù)的解析式。

變式2：已知拋物線經(jīng)過兩點B(1,0)、C(0,-3)。且對稱軸是直線x=-1，求這條拋物線的解析式。

對變式1，先讓學(xué)生比較它與例題的已知條件有什么不同？再思考怎樣轉(zhuǎn)化為例題求解，然后討論怎樣求A、C兩點的坐標(biāo)。對變式2，引導(dǎo)學(xué)生抓住“對稱軸是直線x=-1”利用對稱性，求點A的坐標(biāo)。這組題目最終都是通過設(shè)二次函數(shù)一般式，利用三點法建立方程組來求解。通過這組“多題一解”變式訓(xùn)練，抓住本質(zhì)，觸一通類，收到舉一反三的效果。

（二）一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

如在平行四邊行形的判定定理3的教學(xué)時，設(shè)置了這樣一組變式題目：

例題：在平行四邊形ABCD中，E、F分別是OB、OD的中點，四邊形AECF是平行四邊形嗎？請說明理由。（引導(dǎo)學(xué)生分析，完成此例題）

變式1:若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為點E、F三等分對角線BD，其它條件不變，問上述結(jié)論成立嗎？為什么？

變式2:若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為BE=DF，其它條件不變，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式3:若將例題中的已知條件E、F分別是OB、OD的中點改為E、F為直線BD上兩點且BE=DF，結(jié)論成立嗎？為什么？

變式4:在平行四邊形ABCD中，H、G、E、F分別為線段BO、DO、AO、CO的中點，問四邊形EGFH是平行四邊形嗎？為什么？

變式5:在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個點；G、H是對角線BD上的兩點。已知AE=CF，DG=BH，上述結(jié)論仍舊成立嗎？

例題主要是利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這個判定來證明四邊形AECF是平行四邊形。這組變式中E、F位置由線段上變?yōu)橹本€上，由特殊性規(guī)律變?yōu)橐话阈砸?guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生的由特殊到一般的歸納分析能力。由兩點變?yōu)樗狞c層層深入挖掘?qū)W生思維的深度、廣度，讓學(xué)生體會從特殊到一般的過程。

可見，這組變式題“變”的過程中在逐步加深，讓學(xué)生深刻理解平行四邊形的判定定理的應(yīng)用，同時極大的挖掘題目的有用性，達到精講精練，提高課堂的實效性。

四、解題方法的變式訓(xùn)練

解題方法的變式訓(xùn)練也就是“一題多解”，在教學(xué)中老師引導(dǎo)學(xué)生能從不同的角度，知識，思想方法來思考解決同一個問題，使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新，發(fā)散思維。

例題：求證：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。（至少用三種證法）

證法1：把兩個腰連上去，得到一個等腰三角形（底角相等），上面的小三角形和大三角型相似可以證明梯形為等腰梯形。

證法2：在梯形內(nèi)側(cè)作高線，得到兩個直角三角形，通過證2個三角形全等可以證明梯形腰相等。（角角邊）

證法3：在梯形外側(cè)作高線（連成個長方形），同樣可以證2個外面的三角形全等得到梯形兩腰相等。（角邊角）

通過不同角度的證法，既熟練了等腰梯形的判定方法，又開闊了學(xué)生的思路，激活了思維。這樣的例子在中學(xué)數(shù)學(xué)中到處都可以找到。希望老師們能挖掘教材，深入教材，充分利用教材，達到事半功倍的效果。

總之?dāng)?shù)學(xué)變式訓(xùn)練不是為了“變式”而變式，而是要根據(jù)教學(xué)或?qū)W習(xí)的需要，遵循認(rèn)知規(guī)律而設(shè)計，其目的是通過變式訓(xùn)練，把知識轉(zhuǎn)化為能力，形成技能技巧，完成“應(yīng)用——理解——形成技能——培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過程。因此，教學(xué)中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練設(shè)計要巧，要有藝術(shù)性，要把握變式的度，要有目的性，要起到引導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生思維活動的作用。