輕桿上彈力的方向何時(shí)沿桿？

范學(xué)賢

摘 要：高考物理試題中經(jīng)常涉及物體與輕桿連接的問(wèn)題。對(duì)物體受力分析時(shí)，輕桿上彈力的方向是否沿著桿的方向，學(xué)生對(duì)此常感到困惑。本文淺析歸納輕桿上的彈力沿桿方向的四種情況。

關(guān)鍵詞：彈力方向；沿桿；高考試題

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2017）2-0048-3

1 兩道試題對(duì)比的困惑

題1 如圖1所示，水平輕桿的一端固定在墻內(nèi)，另一端固定一個(gè)質(zhì)量為1.2 kg的小球，水平輕彈簧的拉力為9 N，輕繩與豎直方向的夾角為37 °，輕繩的拉力為10 N（g=10 m/s2），則輕桿對(duì)小球的作用力是（ ）

A.大小為5 N

B.大小為10 N

C.方向與豎直方向成37 °角向右上方

D.方向與豎直方向成37 °角向右下方

題2 （2015·廣東）如圖2所示，三條繩子的一端都系在細(xì)直桿頂端，另一端都固定在水平地面上，將桿豎直緊壓在地面上。若三條繩長(zhǎng)度不同，下列說(shuō)法正確的有（ ）

A.三條繩中的張力都相等

B.桿對(duì)地面的壓力大于自身重力

C.繩子對(duì)桿的拉力在水平方向的合力為零

D.繩子拉力的合力與桿的重力是一對(duì)平衡力

分析 題1中，對(duì)小球受力分析，小球受自身重力G、輕彈簧的拉力F1、輕繩的拉力F2、輕桿的作用力（圖3中沒(méi)畫(huà)出）4個(gè)力的作用，受力見(jiàn)圖3。其中，輕桿作用力情況不能確定。根據(jù)題意，重力與彈簧拉力的合力大小F==15 N。設(shè)F與豎直方向的夾角為θ，sinθ==，則θ=37 °，即方向與豎直方向成37 °角斜向下，該合力與輕繩的拉力恰好在同一條直線上。根據(jù)小球靜止，合力為零可知，輕桿對(duì)小球的彈力大小為5 N，方向與豎直方向成37 °角斜向右上方。故A、C選項(xiàng)正確。本題中由于桿的一端插入墻壁，固定不能動(dòng)，平衡時(shí)桿上的彈力不沿桿。

對(duì)于題2而言：①因?yàn)槿龡l繩的長(zhǎng)度不同， 說(shuō)明沿三條繩上的彈力與豎直方向的夾角不相同。桿保持靜止，在水平方向三條繩上彈力的水平分力的合力應(yīng)為零，故三條繩中的張力大小不相等。A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確。②由于三條繩在豎直方向有向下的拉力，桿在豎直方向合力為零，桿對(duì)地面的壓力大于自身重力。B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B、C選項(xiàng)。

困惑：題2中桿被豎直緊壓在地面上，地面情況未知，平衡時(shí)桿所受地面彈力也可不沿桿。那么，在水平方向三繩拉力水平分力的合力可以不為零。C選項(xiàng)需要商榷。

2 彈力方向沿桿的幾種情況

在對(duì)彈力方向的判定中，輕繩的張力一定沿繩且指向輕繩收縮的方向。而輕桿不僅能承受縱向的作用力（拉力和壓力），還能承受橫向的力。因此與繩相比，分析桿的受力（或桿對(duì)其接觸物的作用力）要復(fù)雜一些。教學(xué)中常見(jiàn)桿的彈力方向不一定沿桿的方向，但學(xué)生對(duì)于什么情況下桿的彈力方向沿著桿的方向不清楚，導(dǎo)致涉及輕桿模型問(wèn)題時(shí)受力分析錯(cuò)誤，得出錯(cuò)誤的結(jié)論?，F(xiàn)舉例說(shuō)明下列幾種情況下桿的彈力方向一定沿桿的方向。

2.1 二力桿受力平衡

滿足下面三個(gè)條件下：第一，桿兩端與其他物體的連接是光滑鉸鏈連接；第二，其他物體對(duì)桿的作用力過(guò)節(jié)點(diǎn)；第三，桿的自重與負(fù)荷相比很小，可忽略不計(jì)[1]。則輕桿僅受到兩個(gè)通過(guò)節(jié)點(diǎn)的力，這樣的桿稱為二力桿[2]。根據(jù)二力平衡原理，在平衡時(shí)，作用于通過(guò)二力桿上兩節(jié)點(diǎn)的外力必等大且方向沿同一直線，所以在平衡時(shí)二力桿受的力必沿桿的縱向。與此相應(yīng)，平衡時(shí)二力桿作用于外界的力也必沿桿的縱向。這是二力桿的基本性質(zhì)?？梢?jiàn)，二力桿的一端或兩端用鉸鏈連接，能自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，否則不成立。

例如：2015年的新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ第21題、江蘇高考第14題，涉及到的輕桿模型，都是物體通過(guò)鉸鏈與輕桿連接，不計(jì)摩擦，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，作用力過(guò)節(jié)點(diǎn)，滿足二力桿的三個(gè)條件，因此桿上的彈力都沿桿的方向。

2.2 重力場(chǎng)中，輕桿在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的“兩個(gè)特殊點(diǎn)”，即最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)所受彈力

在重力場(chǎng)中，當(dāng)輕桿于豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，輕桿運(yùn)動(dòng)到豎直位置時(shí)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)即為“兩個(gè)特殊點(diǎn)”。在這“兩個(gè)特殊點(diǎn)”位置，需要豎直方向上的合力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故輕桿的彈力方向沿桿在豎直方向上。

例1 如圖4所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕桿兩端固定質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球P和Q，在離P球處有一個(gè)光滑固定軸O?，F(xiàn)將桿從水平位置自由釋放，在P球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到最高位置時(shí)，求：

1）小球P的速度大??；

2）輕桿對(duì)小球P彈力大小及方向。

解析 1）兩個(gè)小球P、Q和桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)P球在最高點(diǎn)時(shí)速度為v，P、Q兩球同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相等，Q球運(yùn)動(dòng)圓半徑是P球運(yùn)動(dòng)圓半徑的兩倍，故Q球的速度是P球的速度的兩倍，為2v。由機(jī)械能守恒定律得：

2）在最高點(diǎn)，對(duì)球P受力分析，球P受自身重力和沿桿彈力的二力作用，假設(shè)彈力方向向下，由牛頓第二定律得：

負(fù)號(hào)說(shuō)明假設(shè)彈力方向向下不正確，桿的彈力向上，是支持力。

2.3 物體或小球具有特定的加速度

例2 如圖5所示，固定在小車上的支架的斜桿與豎直桿的夾角為θ，在斜桿下端固定有質(zhì)量為m的小球，下列關(guān)于桿對(duì)球的作用力F的判斷中，正確的是（ ）

A.小車靜止時(shí)，F(xiàn)=mgsinθ，方向沿桿向上

B.小車靜止時(shí)，F(xiàn)=mgcosθ，方向垂直于桿向上

C. 小車向右以加速度a運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定有F=ma/sinθ

D.小車向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)=mg，方向豎直向上

解析 小車靜止或向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，球受到重力和桿的彈力作用，由二力平衡條件可得桿對(duì)球的作用力F=mg，方向豎直向上，故A、B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確。小車向右以加速度a運(yùn)動(dòng)時(shí)，桿對(duì)球的作用力F大小和方向會(huì)隨著向右加速度a大小的變化而變化，只有當(dāng)a=gtanθ時(shí)，此時(shí)桿上彈力沿桿，才有F=，如圖6所示。故C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

【拓展延伸】

本題中，若小車以加速度a向左加速運(yùn)動(dòng)，求桿對(duì)球的作用力F的大小及方向？

解析 小車以加速度a向左加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可知，小球受到的合力水平向左。則桿對(duì)球的作用力F=，方向斜向左上方，與豎直方向的夾角滿足tanα=。

2.4 桿帶著球在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗俾什蛔?，沒(méi)有切向加速度，只有向心加速度，輕桿上彈力提供球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故彈力沿桿指向圓心。

例3 輕細(xì)桿長(zhǎng)為l，一端固定質(zhì)量為m的小球B，另一與球B相同的小球A固定在輕桿的中點(diǎn)，桿被小球分為Ⅰ、Ⅱ兩部分。當(dāng)桿繞桿另一端O點(diǎn)在光滑水平面上做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（如圖7所示），求：桿的Ⅰ段對(duì)球A的拉力與Ⅱ段對(duì)球B的拉力大小之比。

解析 因?yàn)樾∏駻、B都繞O點(diǎn)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，無(wú)切向加速度，輕桿上彈力沿桿提供小球A、B的向心力，它們的角速度相同，設(shè)為ω。桿對(duì)B的拉力為FB，由牛頓第二定律得：

由（1）（2）兩式解得：FA：FB=3：2。

綜上分析可見(jiàn)，2015年廣東高考物理第7題的C選項(xiàng)值得商榷，桿豎直緊壓在地面上，題中地面情況不明確。若地面與桿的摩擦因數(shù)比較大，或地面松軟，那么桿上的彈力就不一定沿桿。若將本題中桿的下端用鉸鏈連接固定在水平面上，桿可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)，或者地面堅(jiān)硬光滑，滿足二力桿的平衡條件，水平方向三力水平分力的合力應(yīng)為零，C選項(xiàng)就無(wú)疑義了。以上僅供同行參考。參考文獻(xiàn)：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程《力學(xué)》（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2005：253.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材開(kāi)發(fā)中心.物理必修1 教師教學(xué)用書(shū)[M].北京：人民教育出版社，2011：156.

[3]2015廣東高考物理真題及參考答案

（欄目編輯 陳 潔）