摘要:在解與函數(shù)圖象有關(guān)的幾何試題時(shí),往往不像求解純幾何問(wèn)題那么應(yīng)用自如.在求解這類問(wèn)題時(shí)首先應(yīng)根據(jù)函數(shù)解析式求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)(如圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn),兩圖象交點(diǎn)等),其次依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出有關(guān)線段的長(zhǎng)度.最后利用有關(guān)定理、性質(zhì)、公式即可使問(wèn)題獲解.
關(guān)鍵詞:長(zhǎng)度;面積;點(diǎn);坐標(biāo)
作者簡(jiǎn)介:付燕敏(1982-),女,江西省信豐縣人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.一、求函數(shù)圖象中的線段長(zhǎng)度
例1已知y=x2-x-1與x 軸交于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度
解法1依韋達(dá)定理,得:x1+x2+1,x1x2=-1,所以AB=|x2-x1|=(x1+x2)2-4x1x2=12-4·(-1)=5.
解法2設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0),則x1,x2是方程x2--x-1=0的兩根。解此方程得:x=(-1±5)/2,所以AB=|x2-x1|=5.
二、求函數(shù)圖象中的面積問(wèn)題
例2求直線y=3x-2與直線y=2x+3和y軸圍成的圖形的面積.
解設(shè)直線y=3x-2和直線y=2x+3與y軸的交點(diǎn)分別是A、B,則A(0,-2)、B(0,3),AB=5.設(shè)兩直線交點(diǎn)為C,則C的點(diǎn)坐標(biāo)為方程組y=3x-2
y=2x+3的解,即C(5,13).過(guò)C作CD⊥y軸,垂足為D,則CD=5,所以S△CBA=12AB·CD=12×5×5=252.
三、求半角的函數(shù)值
求半角的函數(shù)值問(wèn)題中,一般應(yīng)放在直角三角形中研究,若題設(shè)中沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形和半角關(guān)系,則應(yīng)根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形和利用角平分線的定義或等腰三角形的一個(gè)底角與頂角的外角,以及同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系等,構(gòu)造出半角關(guān)系再注解.
例3已知:如圖3所示,弦AB、AD分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正十二邊形的一邊,延長(zhǎng)AD到C點(diǎn),使2AD=CD,連結(jié)CD交圓O于點(diǎn)E,BC=m,CE=n,且m>n,求tan∠BCD/2.的值.(用m、n表示)
解析連結(jié)OA、OD、OB,作∠BCO的平分線于CF交OB于F,令OD交AB于點(diǎn)G.
因?yàn)锳D、AB分別是圓O內(nèi)接正十二邊形和正三角形的邊.所以弧AD為360°/12=30°,弧ADB為360°/3=120°,
所以∠AOD=30°,∠AOB=120°,所以∠DOB=90°,∠ABO=∠BAO=30°,所以AG=OG,OG:BG;=1∶2,所以AG∶BG=1∶2,
又CD=2AD,所以AD:CD=AG∶BG=1∶2,所以O(shè)D∥BC,所以∠OBC=90°,所以BC是圓O的切線,設(shè)AD=x,圓O的半徑為R,則m2=6x2,n(n+2R)=6x2,
所以m2=n2+2nR, 所以R=(m2-n2)/2n
所以O(shè)C=n+R=m2+n22n
因?yàn)镺F/BF=OC/BC=m2+n22n/m.
所以O(shè)F=m2n22mn·BF,
因?yàn)锽F+OF=OB=R,
所以(1+m2+n22mn)BF=m2-n22n,
所以BF=m2-n22mn·2mn(m+2)2=(m-n)mm+n,
tan∠BCO2=BFBC =(m-n)mm+n/m=m-nm+n.
四、在坐標(biāo)系中,給出幾何或三角形條件求某點(diǎn)坐標(biāo)
根據(jù)幾何條件通過(guò)推理,計(jì)算有關(guān)線段長(zhǎng)度,進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),有時(shí)也可以通過(guò)幾何條件直接建方程,使問(wèn)題獲解.
例4如圖4所示,直線y=-33x+1和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)P(m, 12),且△ABP的面積與ABC的面積相等,求m的值.
解因?yàn)閥=-33x+1.所以x=0時(shí),y=1.y=0時(shí),x=3,所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1).即OA=3,OB=1,AB=OA2+OB2=2.
因?yàn)椤鰽BC為等邊三邊形,邊長(zhǎng)AB=AC=2,
所以S△ABC=34AB2=34×22=3.
過(guò)P作PD⊥Ox,,D為垂足,則OD=m,AD=m-3.
所以S梯形BODP=12(OB+PD)OD=12(1+12),m=34m.
因?yàn)镾△ABP=S△ABC,所以S梯形BODP=S△OAB+S△ABP+S△APD=S△OAB+S△ABC+S△APD=12×1×3+3+12(m-3)12=14(m+53),
即34m=14(m+53).解得:m=53/2.
總之,幾何與代數(shù)的溶為一體,構(gòu)思巧妙,新疑別致,涉及綜合能力強(qiáng),知識(shí)面廣泛,是考查學(xué)生知識(shí)與能力的好題型,求解過(guò)程中要認(rèn)真觀察圖形結(jié)構(gòu),充分利用幾何圖形的性質(zhì),找出幾何量之間的關(guān)系.
參考文獻(xiàn):
[1]沙玉珍. 反比例函數(shù)、幾何圖形聯(lián)袂組新題[J].中學(xué)生數(shù)理化.2013(3):44.